정칙 국소환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 다른 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
4. 예
- 4.1. 정칙 국소환이 아닌 예
5. 응용
6. 역사
7. 특징
참조

1. 개요

정칙 국소환은 가환 뇌터 국소환의 한 종류로, 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재하거나, 극대 아이디얼의 차원이 환의 차원과 일치하는 등의 조건을 만족한다. 정칙 국소환은 대수기하학에서 스킴의 정칙성을 정의하는 데 사용되며, 모든 국소화와 완비화가 정칙 국소환이다. 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이며, 체, 이산 값 매김환, 형식적 멱급수환 등이 이에 해당한다.

2. 정의

가환 뇌터 국소환 $(R,\mathfrak m,K)$ 에 대하여, 다음 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 '''정칙 국소환'''이라고 한다. (여기서 $\mathfrak m$ 은 $R$ 의 유일한 극대 아이디얼이며, $K=R/\mathfrak m$ 은 그 잉여류체이다.)

극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 은 $\dim R$ 개의 원소들로 생성된다 ( $\dim R$ 는 크룰 차원).
크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, $\mathfrak m$ 은 최소한 $\dim R$ 개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
$\dim_K\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim R$ 이다. 여기서 $\dim_K$ 는 $K$ -벡터 공간의 차원이다.
$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ 는 $\operatorname{Spec}R$ 의 유일한 닫힌 점 $\mathfrak m$ 에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}R$ 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
$R$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다.
: $\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} < \infty$
$R$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 $\dim R$ 이하이다.
: $\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} \le \dim R$

'''정칙 스킴'''은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. '''정칙환'''(正則環, regular ring^영어)

R

는 아핀 스킴

\operatorname{Spec}R

가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다.

A

가 극대 아이디얼

\mathfrak{m}

을 갖는 Noether 국소환일 때, 정칙 국소환의 정의는 다음과 같다.

$\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ 라고 하자. 여기서 $n$ 은 가능한 가장 작게 선택된다. $A$ 가 다음을 만족할 때 정칙환이다.
: $\dim A = n\,$ , 여기서 차원은 크룰 차원이다. 최소 생성원 $a_1, \ldots, a_n$ 은 ''정칙 매개변수 시스템''이라고 한다.
$k = A / \mathfrak{m}$ 을 $A$ 의 잉여류체라고 하자. $A$ 가 다음을 만족할 때 정칙환이다.
: $\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A\,$ , 여기서 두 번째 차원은 크룰 차원이다.
$\mbox{gl dim } A := \sup \{ \operatorname{pd} M \mid M \text{ is an }A\text{-module} \}$ 를 $A$ 의 전역 차원이라고 하자(즉, 모든 $A$ 가군의 사영 차원의 상한). $A$ 가 다음을 만족할 때 정칙환이다.
: $\mbox{gl dim } A < \infty\,$ , 이 경우, $\mbox{gl dim } A = \dim A$ 이다.

가환대수학에서 '''정칙환'''은 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환 노에터 환이다. 즉, 이러한 모든 국소화는 최대 아이디얼의 최소 생성자 수가 크룰 차원과 같다는 속성을 갖는다.

"정칙환"이라는 용어의 기원은 아핀 대수다양체가 비특이(즉, 모든 점이 정칙점)인 것은 해당 정칙 함수의 환이 정칙인 경우와 동치라는 사실에 있다.

정칙환의 경우, 크룰 차원은 전역 호몰로지 차원과 일치한다.

장 피에르 세르는 정칙환을 ''유한'' 전역 호몰로지 차원을 갖는 가환 노에터 환으로 정의했다. 그의 정의는 무한 크룰 차원의 정칙환을 허용하는 위의 정의보다 더 강력하다.

정칙환의 예시로는 체 (차원 0)와 데데킨트 정역이 있다. 만약 ''A''가 정칙이라면, ''A''[''X'']도 정칙이며 차원은 ''A''보다 1만큼 크다.

특히, 만약

k

가 체, 정수환 또는 주 아이디얼 정역이라면, 다항식 환

k[X_1, \ldots,X_n]

는 정칙이다. 체의 경우, 이것은 힐베르트 사잇값 정리이다.

정칙환의 임의의 국소화 역시 정칙이다.

정칙환은 약환이다. 하지만 정역일 필요는 없다. 예를 들어, 두 정칙 정역의 곱은 정칙이지만 정역은 아니다.^[5]

2. 1. 다른 정의

뇌터 국소환 ''A''의 완비화가 단일 혼합(영 아이디얼의 임베딩된 소인자가 없고, 각 최소 소수 ''p''에 대해

\dim \widehat{A}/p = \dim \widehat{A}

)이고 ''A''의 중복도가 1이면, ''A''는 정칙환이다.^[1] (그 역은 항상 참이다: 정칙 국소환의 중복도는 1이다.) 이 기준은 교차의 국소환이 교차가 횡단적 교차일 때 정칙환이라는 대수 기하학의 기하학적 직관에 해당한다.

양의 표수 ''p''의 뇌터 국소환

R

은 프로베니우스 사상

R \to R, r \mapsto r^p

가 평탄하고

R

이 환원환일 때에만 정칙환이다.

3. 성질

정칙 국소환의 국소화와 완비화는 정칙 국소환이다. 국소 가환환이 정칙 국소환이 될 필요충분조건은 그 완비화가 정칙 국소환인 것이다.^[5] 아우슬랜더-부흐스바움 정리에 따라 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.^[6]

체를 포함하는 정칙 국소환 $R$ 는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환과 동형이다. 즉, 다음과 같다.

: $R\cong\operatorname{Frac}(R)x_1,\dots,x_{\dim R}$

정칙환은 약환이다.^[5]

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

		이산 값매김환
		∩
체	⊂	정칙 국소환	⊂	고런스틴 국소환	⊂	코언-매콜리 국소환	⊂	뇌터 국소 가환환
		∩
		유일 인수 분해 정역

모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 '''오슬랜더-북스바움 정리'''(Auslander–Buchsbaum theorem^영어)라고 한다.^[6]

4. 예

모든 체는 0차원 정칙 국소환이며, 0차원 정칙 국소환은 체이다.
모든 이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이며, 1차원 정칙 국소환은 이산 값매김환이다. 특히 $k$ 가 체이고 $X$ 를 부정원이라 할 때 형식적 멱급수환 $k X$ 는 1차원 정칙 국소환이다.
더 일반적으로 $k$ 가 체이고 $X_1, \dots, X_d$ 를 부정원이라 할 때 형식적 멱급수환 $kX_1, \dots, X_d$ 는 $d$ 차원 정칙 국소환이다.
$p$ 를 유리 소수라고 하면, p진 정수환은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이며, 체를 포함하지 않는다.
$\mathbb{Z}$ 를 정수환이라 하고 $X$ 를 부정원이라 하면 국소화 $\mathbb{Z} X_{(2, X)}$ 는 2차원 정칙 국소환이며 체를 포함하지 않는다.
코헨 구조 정리(en:Cohen structure theorem)에 의해 완비된 등표수 $d$ 차원 정칙 국소환으로 체를 포함하는 것은 어떤 체 위의 형식적 멱급수환이다.

4. 1. 정칙 국소환이 아닌 예

체

K

에 대하여 국소 가환환

K[x]/(x^2)

를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼

(x)

은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.^[1]

호몰로지 대수학적으로,

K[x]/(x^2)

는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.^[1]

:

\dotsm \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \to K \to 0

따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.^[1]

대수기하학적으로,

K[x]/(x^2)

는 아핀 직선

\mathbb A^1_K = \operatorname{Spec}K[x]

속의 원점

\operatorname{Spec} (K[x]/(x)) \hookrightarrow \operatorname{Spec}K[x]

의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다.^[1]

환

A=k[x]/(x^2)

은 유한 차원이지만 유한 전역 차원을 갖지 않으므로 정칙 국소환이 아니다.^[1] 예를 들어 위와 같은 무한 분해가 존재한다.^[1]

다른 특성화를 사용하면,

A

는 정확히 하나의 소 아이디얼

\mathfrak{m}=\frac{(x)}{(x^2)}

를 가지므로, 환의 크룰 차원은

0

이지만,

\mathfrak{m}^2

은 영 아이디얼이므로

\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2

은

k

차원이 최소

1

이다. (사실

x + \mathfrak{m}

이 기저이므로

1

과 같다.)^[1]

5. 응용

대수기하학에서, 완전체 위 대수다양체 $V$ 가 점 $x\in V$ 에서 비특이일 필요충분조건은 싹의 국소환 $\mathcal O_{V,x}$ 가 정칙 국소환인 것이다.^[7] ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위 아핀 대수다양체 $V\subset K^n$ 속 점 $x\in V$ 에서, 국소환 $\mathcal O_{V,x}$ 의 정칙성은 야코비 행렬의 계수로 판별할 수 있다.^[7] 만약 $V$ 가 다항식 $f_1,\dots,f_m\in K[x_1,\dots,x_n]$ 의 영점들의 교집합이라면, $x\in K^n$ 에서 $m\times n$ 야코비 행렬 $(\partial f_i/\partial x^j)|_x$ 의 계수가 $n-\dim V$ 일 때 국소환 $\mathcal O_{V,x}$ 가 정칙 국소환이 된다. 즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치한다.

6. 역사

볼프강 크룰이 1937년에 정칙 국소환의 개념을 도입하였다.^[8] 몇 년 후 오스카 자리스키는 정칙 국소환이 대수다양체 상의 매끄러운 점에 해당한다는 것을 보였다.^[3]^[4] 호몰로지 대수학 기법이 도입되기 전에는 이 방향으로 알려진 것이 거의 없었다. 1950년대에 이러한 기법이 도입되자, 오슬랜더와 북스바움은 모든 정칙 국소환이 유일 인수 분해 정역임을 증명했다. 정칙 국소환의 호몰로지적 특성을 발견한 사람은 장피에르 세르였다.

7. 특징

차원 $d$ 의 뇌터 국소환 $(A, \mathfrak{m})$ 에 대해, 다음은 동치이다.^[1]

$A$ 는 정칙 국소환이다.
$\mathfrak{m}$ 은 $d$ 개의 원소로 생성된다.
$\mathrm{gr}_{\mathfrak{m}}\,A \simeq k[X_1, X_2, \dots, X_d]$ . (단, 우변은 $d$ 개의 부정원 다항식 대수이며, 동형은 $k = A/\mathfrak{m}$ 위의 등급환으로서의 것이다.)
전역 차원이 유한하다. ( $\operatorname{gl\,dim}A < \infty$ )
전역 차원과 크룰 차원이 일치한다. ( $\operatorname{gl\,dim}A = d$ )

극대 아이디얼

\mathfrak{m}

을 갖는 Noether 국소환

A

에 대해 다음은 동치이다.

$\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$ 라고 하자. 여기서 $n$ 은 가능한 가장 작게 선택된다. 그러면 $A$ 는 $\dim A = n\,$ 를 만족할 때 정칙환이다.
$k = A / \mathfrak{m}$ 을 $A$ 의 잉여류체라고 하자. 그러면 $A$ 는 $\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A\,$ 를 만족할 때 정칙환이다.
$\mbox{gl dim } A$ 를 $A$ 의 전역 차원이라고 하자(즉, 모든 $A$ 가군의 사영 차원의 상한). 그러면 $A$ 는 $\mbox{gl dim } A < \infty\,$ 를 만족할 때 정칙환이다.

가환 뇌터 국소환

(R,\mathfrak m,K)

에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이다.

극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 은 $\dim R$ 개의 원소들로 생성된다 ( $\dim R$ 는 크룰 차원).
$\dim_K\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim R$ 이다. 여기서 $\dim_K$ 는 $K$ -벡터 공간의 차원이다.

R

위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 가지며,

\dim R

이하이다.

: $\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} < \infty$
: $\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} \le \dim R$

참조

_[1] 서적 Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen Springer Verlag 1988
_[2] 논문 Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III
_[3] 논문 Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0
_[4] 논문 The concept of a simple point of an abstract algebraic variety
_[5] 웹사이트 Is a regular ring a domain https://math.stackex[...]
_[6] 저널 Unique factorization in regular local rings 1959
_[7] 서적 Algebraic Geometry Springer 1977
_[8] 저널 Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche Ⅲ. Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie 1937

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