메타논리학
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1. 개요
메타논리학은 형식 언어와 형식 체계의 속성을 연구하는 논리학의 한 분야이다. 형식 언어, 형식 체계, 증명, 해석, 구문론, 의미론 등의 개념을 다루며, 대상 언어와 메타 언어의 구분을 통해 논리학과 차별된다. 주요 결과로는 칸토어의 정리, 뢰벤하임-스코렘 정리, 괴델의 불완전성 정리 등이 있으며, 20세기 초 형식 언어의 등장과 함께 발전했다.
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| 메타논리학 | |
|---|---|
| 메타논리학 | |
| 학문 분야 | 논리학 |
| 연구 대상 | 논리 체계의 성질 증명 이론 모형 이론 계산 가능성 이론 |
| 세부 분야 | |
| 주요 분야 | 완전성 정리 불완전성 정리 |
| 관련 분야 | 증명 이론 모형 이론 계산 가능성 이론 집합론 |
2. 형식 언어
형식 언어는 기호의 모양과 위치에 따라 정확하게 정의되는 조직화된 기호 집합이다. 따라서 형식 언어는 표현의 의미를 참조하지 않고 정의할 수 있다. 1차 논리는 일부 형식 언어로 표현된다. 형식 문법은 형식 언어에서 어떤 기호와 기호 집합이 공식인지 결정한다.
형식 언어는 고정 알파벳 α에서 문자열(유한 시퀀스)의 집합 ''A''로 형식적으로 정의할 수 있다. 카르납을 비롯한 일부 저자는 언어를 순서쌍 <α, ''A''>로 정의한다.[10] 카르납은 또한 α의 각 요소가 ''A''의 적어도 하나의 문자열에 나타나야 한다고 요구한다.
형성 규칙은 형식 언어의 잘 구성된 식에 대한 정확한 설명이다. 형성 규칙은 잘 형성된 공식을 구성하는 공식 언어의 알파벳에 대한 문자열 집합과 동의어이다. 그러나 의미론은 설명하지 않는다.
2. 1. 정의
형식 언어는 기호의 조직화된 집합이며, 기호의 모양과 위치에 따라 정확하게 정의된다. 따라서 이러한 언어는 표현의 의미에 대한 참조 없이 정의될 수 있다. 즉, 어떤 해석이 할당되기 전, 즉 의미가 부여되기 전에 존재할 수 있다. 일차 논리는 어떤 형식 언어로 표현된다. 형식 문법은 형식 언어에서 어떤 기호와 기호 집합이 공식인지를 결정한다.[3]형식 언어는 고정된 알파벳 α에 대한 문자열(유한 수열)의 집합 ''A''로 형식적으로 정의될 수 있다. 루돌프 카르나프를 포함한 일부 저자는 언어를 순서쌍 <α, ''A''>로 정의한다.[3] 카르납은 또한 α의 각 요소가 ''A''의 문자열 중 적어도 하나에 나타나야 한다고 요구한다.
''형성 규칙''(또는 ''형식 문법'')은 형식 언어의 잘 구성된 공식에 대한 정확한 설명이다. 이것은 잘 구성된 공식을 구성하는 형식 언어의 알파벳에 대한 문자열의 집합과 동의어이다. 그러나 이것은 그들의 의미론 (즉, 그들이 무엇을 의미하는지)을 설명하지 않는다.
2. 2. 형성 규칙
형식 언어는 기호의 조직화된 집합으로, 기호의 모양과 위치에 따라 정확하게 정의된다. 따라서 그러한 언어는 표현의 의미를 참조하지 않고 정의할 수 있다. 1차 논리는 일부 형식 언어로 표현된다. 형식 문법은 형식 언어에서 어떤 기호와 기호 집합이 공식인지 결정한다.형식 언어는 고정 알파벳 α에서 문자열(유한 시퀀스)의 집합 ''A''로 형식적으로 정의할 수 있다. 카르납을 비롯한 일부 저자는 언어를 순서쌍 <α, ''A''>로 정의한다.[10] 그는 또한 α의 각 요소가 ''A''의 적어도 하나의 문자열에 나타나야 한다고 요구한다.
형성 규칙은 형식 언어의 잘 구성된 식에 대한 정확한 설명이다. 그들은 잘 형성된 공식을 구성하는 공식 언어의 알파벳에 대한 문자열 집합과 동의어이다. 그러나 의미론은 설명하지 않는다.
3. 형식 체계
형식 체계는 형식 언어와 추론 규칙 또는 공리 세트로 구성된다. 형식 시스템은 하나 이상의 다른 표현식에서 하나의 표현식을 증명하는 데 사용된다.
형식 체계는 순서 삼중항 <α, , d>로 형식적으로 정의될 수 있으며, 여기서 d는 직접 파생 가능성의 관계이다. 직접 파생 가능성은 문장과 유한하거나 비어 있을 수도 있는 문장 집합 간의 관계이다. 공리는 d의 모든 첫 번째 위치 구성원이 의 구성원이고 모든 두 번째 위치 구성원이 의 유한한 하위 집합이 되도록 선택된다.[1]
3. 1. 형식적 증명
형식 증명은 형식 언어의 잘 구성된 형식(wff)의 나열이며, 마지막 형식은 형식 체계의 정리이다. 정리는 증명 체계에서 선행하는 모든 잘 형성된 공식의 논리적 귀결이다. 잘 형성된 공식이 증명의 일부로 인정받으려면, 증명 순서에서 이전의 잘 형성된 공식에 일부 형식 체계의 연역 장치 규칙을 적용한 결과여야 한다.[1]3. 2. 해석
형식 체계의 '해석'은 형식 체계의 기호에 의미를 부여하고, 문장에 진리값을 부여하는 것이다. 이러한 해석에 대한 연구를 형식적 의미론이라고 한다. '해석을 제공하는 것'은 '모형'을 구성하는 것과 같은 의미이다.[1]4. 주요 구분
메타논리학에서는 다음과 같은 주요 구분이 이루어진다.
- 대상 언어와 메타언어: 형식 언어는 때때로 '대상 언어'라고 불린다. 대상 언어에 대한 진술을 하는 데 사용되는 언어를 '메타언어'라고 한다. 논리학은 형식 체계 내의 증명을 다루는 반면, 메타논리학은 형식 체계에 대한 증명을 다룬다.
- 사용과 언급: '사용'과 '언급'이라는 단어는 단어를 사용하는 것과 그 단어를 언급하는 것 사이의 구분을 나타낸다. 예를 들어, "메타논리학"은 이 문서의 이름이고, 이 문서는 메타논리학에 관한 것이다.
- 유형과 토큰: '유형-토큰 구분'은 추상적인 개념과 그 개념의 특정 인스턴스인 객체를 구분하는 것이다. 예를 들어, 차고에 있는 특정 자전거는 "자전거"라는 유형의 토큰이다.
4. 1. 대상 언어와 메타언어
메타논리학에서 형식 언어는 때때로 '''대상 언어'''라고 불린다. 대상 언어에 대한 진술을 하는 데 사용되는 언어를 '''메타언어'''라고 한다. 이러한 구별은 논리학과 메타논리학의 주요 차이점이다. 논리학이 어떤 형식 언어로 표현된 ''형식 체계 내의 증명''을 다루는 반면, 메타논리학은 어떤 대상 언어에 대한 메타언어로 표현된 ''형식 체계에 대한 증명''을 다룬다.4. 2. 구문론과 의미론
메타논리학에서 '구문론'은 형식 언어나 형식 체계와 관련이 있으며, 그 해석과는 무관하다. 반면 '의미론'은 형식 언어의 해석과 관련이 있다. '구문론적'이라는 용어는 '증명론적'보다 범위가 약간 더 넓으며, 이는 추론 체계가 없는 형식 언어의 속성뿐만 아니라 형식 체계에도 적용될 수 있기 때문이다. '의미론적'은 '모형론적'과 동의어이다.[10]4. 3. 사용과 언급
메타논리학에서 '사용(use)'과 '언급(mention)'이라는 단어는 명사형과 동사형 모두 중요한 구분을 식별하기 위해 기술적인 의미를 갖는다.[2] ''사용-언급 구분''(때로는 ''단어-그 자체 구분''이라고도 함)은 단어(또는 구)를 ''사용''하는 것과 이를 ''언급''하는 것 사이의 구분이다. 일반적으로 표현이 사용되는 것이 아니라 언급되고 있음을 나타내기 위해 인용 부호로 묶거나, 이탤릭체로 인쇄하거나, 줄에 표현 자체만 표시한다. 표현을 인용 부호로 묶으면 표현의 이름을 얻을 수 있으며, 예를 들어 다음과 같다.: '메타논리학'은 이 문서의 이름이다.
: 이 문서는 메타논리학에 관한 것이다.
4. 4. 유형과 토큰
''유형-토큰 구분''은 추상적인 개념과 그 개념의 특정 인스턴스인 객체를 구분하는 메타논리학의 구분이다. 예를 들어, 당신의 차고에 있는 특정 자전거는 "자전거"라고 알려진 유형의 토큰이다. 반면에 당신의 차고에 있는 자전거는 특정 장소에 특정 시간에 있지만, "자전거"는 문장에서 사용된 것처럼 그렇지 않다. "''자전거''는 최근에 더 인기를 얻었다." 이 구분은 형식 언어의 기호의 의미를 명확히 하는 데 사용된다.[10]5. 역사
메타논리학적 질문은 아리스토텔레스 시대부터 제기되었다.[4] 그러나 19세기 말과 20세기 초에 형식 언어가 등장하면서 논리의 기초에 대한 연구가 번성하기 시작했다. 1904년, 다비트 힐베르트는 수학의 기초를 연구하는 과정에서 논리적 개념이 전제된다는 점을 지적했고, 따라서 메타논리적 및 메타수학적 원리에 대한 동시적인 설명이 필요했다. 오늘날 메타논리학과 메타수학은 서로 거의 동의어로 사용되며, 학계에서는 둘 다 수학적 논리에 상당 부분 포함되었다. 덜 수학적인 대안 모델은 찰스 샌더스 퍼스 및 다른 기호학자들의 저술에서 찾을 수 있다.
6. 주요 결과
메타논리학의 주요 결과로는 특정 형식 증명의 모순, 완전성, 결정 가능성 등을 보여주는 형식 체계에 대한 연구가 있다.
형식적 시스템은 형식 언어와 연역적 장치로 구성되며, 이는 변환 규칙이나 공리를 포함할 수 있다. 형식적 시스템은 하나 이상의 다른 표현식에서 하나의 표현식을 파생하는 데 사용된다.[1]
6. 1. 주요 정리
| 연도 | 주요 결과 | 관련 인물/정리 |
|---|---|---|
| 1891 | 자연수의 멱집합의 비가산성 증명 | 칸토어의 정리 |
| 1915 | 뢰벤하임-스코렘 정리 | 레오폴트 뢰벤하임 |
| 일계 단항 술어 논리의 일관성 증명 | 레오폴트 뢰벤하임 | |
| 일계 단항 술어 논리의 의미론적 완전성 증명 및 결정 가능성 증명 | 레오폴트 뢰벤하임 | |
| 1918 | 진리 함수적 명제 논리의 의미론적 완전성 증명[5] | 파울 베르나이스 |
| 1919 | 뢰벤하임-스코렘 정리 | 토럴프 스콜렘 |
| 1920 | 진리 함수적 명제 논리의 일관성 증명[2] | 에밀 포스트 |
| 진리 함수적 명제 논리의 의미론적 완전성 증명[2] | 에밀 포스트 | |
| 진리 함수적 명제 논리의 구문론적 완전성 증명[2] | 에밀 포스트 | |
| 진리 함수적 명제 논리의 결정 가능성 증명[2] | 에밀 포스트 | |
| 1928 | 일계 술어 논리의 일관성 증명 | 다비트 힐베르트, 빌헬름 아커만 |
| 1930 | 일계 술어 논리의 의미론적 완전성 증명 | 괴델의 완전성 정리 |
| 1931 | 괴델의 제1 불완전성 정리 | 쿠르트 괴델 |
| 괴델의 제2 불완전성 정리 | 쿠르트 괴델 | |
| 1930년대 | 타르스키의 정의 불가능성 정리 | 쿠르트 괴델, 타르스키 |
| 1934 | 시퀀트 계산의 절단 제거 정리 증명 | 겐첸의 Hauptsatz |
| 1936 | 일계 술어 논리의 무결정성 증명 | 처치의 정리 |
참조
[1]
서적
Introduction to Logic
https://books.google[...]
Routledge
2001
[2]
서적
Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic
University of California Press
1996
[3]
서적
Introduction to Symbolic Logic and its Applications
https://books.google[...]
1958
[4]
간행물
Aristotle's Logic
https://plato.stanfo[...]
Metaphysics Research Lab, Stanford University
2023-08-28
[5]
서적
Reflections on Kurt Gödel
https://books.google[...]
[6]
논문
Introduction to Logic
https://doi.org/10.4[...]
2002-09-11
[7]
서적
Metalogic : an introduction to the metatheory of standard first order logic
http://worldcat.org/[...]
University of California Press
1973
[8]
서적
Introduction to Logic
https://books.google[...]
Routledge
2001
[9]
서적
Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic
https://books.google[...]
University of California Press
1973
[10]
서적
Introduction to Symbolic Logic and its Applications
https://books.google[...]
1958
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