스택 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 스킴 위치 위의 스택
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 대수적 스택 위의 준연접층
7. 다른 종류의 스택
참조

1. 개요

스택(stack)은 주어진 위치(site)에 대해 정의되는 올범주(fibered category)의 일종으로, 특히 대수기하학에서 스킴(scheme)의 범주 위에 그로텐디크 위상을 가하여 얻는 위치 위의 스택을 다룬다. 스택은 준스택, 스택, 준군 스택, 준군 스택, 전스택 등으로 분류되며, 그중 아틴 스택과 들리뉴-멈퍼드 스택은 대수적 스택의 중요한 예시이다. 스택은 모듈라이 공간, 몫 대수 스택, 게르브 등 다양한 수학적 대상들을 연구하는 데 사용되며, 스킴, 대수적 공간, 들리뉴-멈퍼드 스택 등은 스택의 특수한 경우로 간주된다. 스택의 개념은 그로텐디크에 의해 처음 제시되었으며, 들리뉴와 멈퍼드에 의해 영어 문헌에 도입되었다.

2. 정의

위치 $\mathcal C$ 위의 올범주 $\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal C$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''준스택'''(prestack^영어, préchamp|프레샹^프랑스어)이라고 한다.

모든 내림 데이터가 충실충만하다.

만약

\mathcal E\to\mathcal C

가 다음 조건을 만족시킨다면, '''스택'''이라고 한다.

모든 내림 데이터가 효과적이다.

'''준군 준스택'''(prestack fibered in groupoids^영어)은 모든 올이 준군인 준스택이다. '''준군 스택'''(stack fibered in groupoids^영어)은 모든 올이 준군인 스택이다.

스택은 스키마와 대수적 공간을 일반화하며 특히 모듈라이 공간 연구에 유용한 대수적 스택(아르틴 스택)과 델리뉴-멈포드 스택의 기본적인 구조이다.

2. 1. 스킴 위치 위의 스택

대수기하학에서는 스킴의 범주 위에 각종 그로텐디크 위상을 가하여 얻는 위치(특히 에탈 위치) 위의 스택을 다룬다.

에탈 위치 위의 스택의 사상

X\to Y

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''표현 가능 사상'''(表現可能寫像, representable morphism^영어)이라고 한다.

모든 스킴 $S$ 에 대하여, 올곱 $Y\times_XS$ 은 스킴을 이룬다. 여기서 스택의 올곱은 2-범주 위의 당김이다.

스킴 사상의 경우, 다양한 성질들이 정의돼 있다. 밑 전환에 대하여 불변이고, 공역에 대하여 국소적인 스킴 사상의 조건 P에 대하여, 에탈 위치 위의 스택의 표현 가능 사상

X\to Y

이 다음 조건을 만족시킨다면, 스택 사상 역시 조건 P를 만족시킨다고 한다.

: 임의의 스킴

S

및 스택 사상

S\to X

에 대하여, 스킴 사상

Y\times_XS\to S

는 조건 P를 만족시킨다.

'''아틴 스택'''(Artin stack^영어)은 에탈 위치 위의 준군 스택

X

가운데, 다음 두 조건을 만족하는 것이다.^[13]

(대각 사상의 표현 가능성) $X$ 위의 대각 사상 $X\to X\times X$ 은 표현 가능 사상이다.
어떤 스킴 $U$ 로부터 $X$ 로 가는 전사 매끄러운 사상 $U\to F$ 가 존재한다. (이를 '''좌표근방계'''(atlas^영어)라고 한다.)

'''들리뉴-멈퍼드 스택'''(Deligne–Mumford stack^영어)은 다음 조건을 만족시키는 아틴 스택

X

이다.^[11]

어떤 스킴 $U$ 로부터 $X$ 로 가는 전사 에탈 사상 $U\to F$ 가 존재한다. (이를 '''좌표근방계'''(atlas^영어)라고 한다.)

'''대수적 공간'''(algebraic space^영어)은 다음 조건을 만족시키는 에탈 위치 위의 (집합 값의) 층이다.

어떤 스킴 $U$ 로부터 $X$ 로 가는 전사 에탈 사상 $U\to F$ 가 존재한다.

즉, 대수적 공간은 모든 올이 (작은) 이산 범주를 이루는 들리뉴-멈퍼드 스택이다.

3. 성질

임의의 위치 위에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:올범주 ⊇ 준스택 ⊇ 스택

스킴의 에탈 위치 위에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:스택 ⊋ 준군 스택 ⊋ 아틴 스택 ⊋ 들리뉴-멈퍼드 스택 ⊋ 대수적 공간 ⊋ 스킴

4. 예

그로텐디크 위상을 가진 범주 $C$ 로부터의 모든 층 $\mathcal{F}:C^{op} \to Sets$ 는 정식으로 스택으로 변환될 수 있다. 대상 $X \in \text{Ob}(C)$ 에 대해, 집합 $\mathcal{F}(X)$ 대신 객체가 $\mathcal{F}(X)$ 의 원소이고 사상이 항등 사상인 군이 있다.

더 구체적인 예로, 스택(또는 전스택)은 이러한 층의 변형으로 구성될 수 있다.

4. 1. 스킴

에탈 위치 위의 조각 범주

\operatorname{\acute Et}/S

는

\operatorname{\acute Et}

위의 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다. 스킴을 스택으로 간주하는 경우, 사실 이 조각 범주를 뜻하는 것이다.

h

를 반변 공변자라고 하면,

$h: (Sch/S)^{op} \to Sets$

이 공변자는 다음 범주

H

를 결정한다.

객체는 스킴 $X$ 와 $X \to S$ 에서의 원소 $x \in h(X)$ 로 구성된 쌍 $(X\to S, x)$ 이다.
사상 $(X\to S, x) \to (Y\to S,y)$ 는 $(Sch/S)$ 에서 $h(\phi)(y) = x$ 인 사상 $\phi:X \to Y$ 로 구성된다.

잊혀진 공변자

p:H \to (Sch/S)

를 통해, 범주

H

는

(Sch/S)

에 대한 섬유화된 범주이다. 예를 들어,

X

가

(Sch/S)

에 있는 스킴이면, 이는 반변 공변자

h = \operatorname{Hom}(-, X)

를 결정하고, 해당 섬유화된 범주는 '''스킴에 연관된 스택'''이다. 준 콤팩트 대각선을 가진 모든 스킴

X

는 '''스킴에 연관된 대수적 스택'''

X

이다.

4. 2. 모듈라이 스택

모듈라이 공간은 종종 스택으로 정의하는 것이 가장 좋다. 예를 들어, 주어진 종수와 구멍 수를 갖는 안정 곡선의 모듈라이 공간은 들리뉴-멈퍼드 스택을 이룬다.^[3] 벡터 다발, 주 다발 등 다양한 기하학적 대상의 모듈라이 공간이 스택으로 구성될 수 있다.

군 스킴(group scheme) G에 대해, 주 G-다발(principal G-bundle)의 모듈라이 스택은 BG로 표기하며, 분류 스택이라고 불린다.

\mathbf{B}G(Y)

범주는 ''Y'' 위의 올이 정확히

\operatorname{Bun}_G(Y)

, 즉 ''Y'' 위의 주

G

-다발 범주이기 때문에 이렇게 명명되었다.

\operatorname{Bun}_G(Y)

자체도 ''Y'' 위의 주 ''G''-다발의 모듈 스택으로 간주될 수 있다.

게르브는 국소적으로 비어 있지 않은 군체 안의 스택이다. 예를 들어 군

G

에 대해 자명한 게르브

BG

는 각 스킴에 해당 스킴 위의 주

G

-다발의 군체를 할당한다.

4. 3. 기타 예시

가중 투영 공간을 구성하는 것은

\mathbb{A}^{n+1} - \{0\}

을

\mathbb{G}_m

-작용으로 몫 다양체를 취하는 것을 포함한다. 특히, 작용은 튜플을 다음과 같이 전송한다.

:

$g \cdot(x_0,\ldots, x_n) \mapsto (g^{a_0}x_0,\ldots,g^{a_n}x_n)$

이 작용의 몫은 가중 투영 공간

\mathbb{WP}(a_0,\ldots, a_n)

를 제공한다. 이는 대신 스택 몫으로 간주될 수 있으므로 가중 투영 스택^[4]은 다음과 같다.

:

$\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n) := [\mathbb {A}^{n}-\{0\} / \mathbb{G}_m]$

선다발

f \in \Gamma(\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n),\mathcal{O}(a))

에서 가중 다항식의 소멸 궤적을 취하면 스택 가중 투영 다양체가 생성된다.

스태키 곡선 또는 오비곡선은 곡선의 사상을 일반 점 위의 덮개의 모노드로미 군으로 스택 몫을 취함으로써 구성할 수 있다. 예를 들어, 일반적으로 에탈 사상인 다음 사상을 고려해 볼 수 있다.

:

$\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])$

영역의

\mu_5

에 의한 스택 몫은

x/y

차트에서 5차 단위근에서 안정자 군

\mathbb{Z}/5

를 갖는 스태키 점을 가진 스태키

\mathbb{P}^1

을 제공한다.

비아핀 스택의 예시는 두 개의 스태키 원점을 가진 반직선이다. 이는

[\mathbb{G}_m/ (\mathbb{Z}/2)] \to [\mathbb{A}^1/(\mathbb{Z}/2)]

의 두 포함 사상의 코리미트로 구성될 수 있다.

5. 역사

알렉산더 그로텐디크는 내림 이론을 연구하면서 스택 개념을 처음 고안했다.^[6] 그는 자기 동형의 존재가 모듈라이 공간의 존재를 방해한다는 사실을 발견하고, 1959년 11월 5일 장피에르 세르에게 보낸 편지에서 이 문제를 언급했다.^[7]

모듈라이 공간을 스킴 대신 스택으로 일반화하면 자기 동형을 포함하는 모듈라이 스택을 구성할 수 있다.

1963년~1964년 《마리 숲 대수기하학 세미나》(SGA)에서 피에르 들리뉴는 스택(champ|샹^프랑스어)이라는 용어를 처음 사용했다.^[8] 1965년에는 장 지로(Jean Giraud)가 출판된 문헌에서 최초로 "스택"(champ|샹^프랑스어)이라는 용어를 사용했다.^[10]

1969년, 피에르 들리뉴와 데이비드 멈퍼드는 영어 문헌에 "스택"(stack|스택^영어) 용어를 도입하고 들리뉴-멈퍼드 스택을 정의했다.^[11] 1974년, 마이클 아틴은 아틴 스택을 도입했다.^[13]

6. 대수적 스택 위의 준연접층

대수적 스택 위에서, 스킴 위의 준연접층 범주와 유사한 준연접층 범주를 구성할 수 있다.

준연접층은 대략 고리 위의 가군층처럼 보이는 층이다. "지역적으로"라는 의미를 결정하는 것은 그로텐디크 위상 선택과 관련이 있으며, 여러 가지 선택이 가능하지만 모두 문제점을 가지고 있어 완전히 만족스럽지 않다. 그로텐디크 위상은 스택이 이 위상에서 국소적으로 아핀이 되도록 충분히 강해야 한다. 스킴은 자리스키 위상에서 국소적으로 아핀이므로 세르가 발견했듯이 이는 스킴에 적합한 선택이며, 대수적 공간과 들린-멈포드 스택은 에탈 위상에서 국소적으로 아핀이므로 일반적으로 이러한 것들에 대해 에탈 위상을 사용하며, 대수적 스택은 매끄러운 위상에서 국소적으로 아핀이므로 이 경우 매끄러운 위상을 사용할 수 있다. 일반적인 대수적 스택의 경우 에탈 위상에는 충분한 열린 집합이 없다. 예를 들어, G가 매끄러운 연결 군이면 분류 스택 BG의 유일한 에탈 덮개는 BG 복사본의 합집합이며, 이는 준연접층의 올바른 이론을 제공하기에 충분하지 않다.^[5]

대수적 스택에 대해 매끄러운 위상을 사용하는 대신 종종 리스-에탈 위상(Lisse-Etale)이라고 하는 수정된 위상을 사용하며, 매끄러운 위상과 동일한 열린 집합을 갖지만 열린 덮개는 매끄러운 사상이 아닌 에탈 사상으로 주어진다. 이는 일반적으로 동등한 준연접층 범주로 이어지는 것으로 보이지만 사용하기 더 쉽다. 예를 들어, 대수적 공간에서 에탈 위상과 비교하기가 더 쉽다. 리스-에탈 위상에는 미묘한 기술적 문제가 있다. 스택 간의 사상은 일반적으로 해당 토포이 간의 사상을 제공하지 않는다. (문제는 토포이의 기하학적 사상에 필요한 일련의 수반 함자 ''f''_*, ''f''*를 구성할 수 있지만 함자 ''f''*는 일반적으로 좌 완전하지 않다는 것이다.^[5]) 이는 스택 사상 아래에서 준연접층의 풀백을 구성하려면 추가적인 노력이 필요함을 의미한다.

더 미세한 위상을 사용하는 것도 가능하다. 대부분의 합리적인 "충분히 큰" 그로텐디크 위상은 동등한 준연접층 범주로 이어지는 것으로 보이지만 위상이 클수록 처리하기 더 어려우므로 충분한 열린 집합이 있는 한 일반적으로 더 작은 위상을 사용하는 것을 선호한다. 예를 들어, 큰 fppf 위상은 리스-에탈 위상과 본질적으로 동일한 준연접층 범주로 이어지지만 미묘한 문제가 있다. 이 위상에서 준연접층을 O_''X'' 가군으로 자연스럽게 임베딩하는 것은 완전하지 않다 (일반적으로 핵을 보존하지 않는다).

7. 다른 종류의 스택

'''미분 가능 스택'''과 '''위상 스택'''은 기본 범주를 각각 매끄러운 다양체와 위상 공간으로 대체하여 정의한다.

더 일반적으로, ''n''-스택은 (''n''-1)-범주에서 값을 취하는 일종의 층이다. 1-층은 층과 동일하며, 2-층은 스택과 동일하다. 이를 고차 스택이라고 부른다.

유도 스택은 비이산적 객체에 스택 이론을 전개한 것으로, 스펙트럼 스택이라고도 한다.

참조

_[1] 논문 A Luna étale slice theorem for algebraic stacks 2020
_[2] 간행물 Lectures on the Moduli Stack of Vector Bundles on a Curve Springer Basel 2009-01-29
_[3] 웹사이트 Moduli of Stable Maps, Gromov-Witten Invariants, and Quantum Cohomology http://w3.impa.br/~m[...]
_[4] arXiv Smooth toric DM stacks 2009-09-22
_[5] 저널 Sheaves on Artin stacks
_[6] 저널 Technique de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats http://www.numdam.or[...] 1959-12
_[7] 서적 Correspondance Grothendieck–Serre Société Mathématique de France 2001
_[8] 서적 Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1963–64. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Tome 3 Springer
_[9] 서적 Arithmetical algebraic geometry. Proceedings of a conference held at Purdue University, December 5–7, 1963 http://www.mathcs.em[...] Harper & Row 2016-02-23
_[10] 저널 Cohomologie non abélienne 1965
_[11] 저널 The irreducibility of the space of curves of given genus http://www.numdam.or[...]
_[12] 저널 What is … a stack? http://www.ams.org/n[...] 2003-04
_[13] 저널 Versal deformations and algebraic stacks

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