민코프스키 거리

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1. 개요

민코프스키 거리는 두 점 사이의 거리를 정의하는 거리 척도이며, p차 민코프스키 거리는 두 점 X와 Y 사이의 거리를 나타내는 수식으로 정의된다. p가 1 이상일 때 민코프스키 거리는 거리의 성질을 만족하며, p가 1, 2, 무한대로 갈 때 각각 맨해튼 거리, 유클리드 거리, 체비셰프 거리에 해당한다. 이 거리는 기계 학습 및 인공지능 분야에서 데이터 포인트 간의 유사성을 비교하는 데 활용된다.

민코프스키 거리

개요

종류	거리 척도
분야	수학, 컴퓨터 과학
창시자	헤르만 민코프스키
관련 항목	유클리드 거리, 맨해튼 거리, 체비쇼프 거리

정의

수식 기호	d(x,y)
정의	p ≥ 1일 때, 두 점 사이의 거리 = (Σ \|xᵢ - yᵢ\|ᵖ)^(1/p)
설명	p 값에 따라 다양한 거리 척도를 일반화함. p = 2일 경우 유클리드 거리, p = 1일 경우 맨해튼 거리, p = ∞일 경우 체비쇼프 거리가 됨.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. p 값에 따른 거리
3. 응용

2. 정의

수학에서 민코프스키 거리(Minkowski distance^영어) 또는 민코프스키 메트릭(Minkowski metric^영어)은 노름 벡터 공간에서 거리를 재는 방법으로, 유클리드 거리와 맨해튼 거리를 일반화한 것이다.

차수 $p$ 인 민코프스키 거리는 $\mathbb{R}^n$ 공간 상의 두 점 $X = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 와 $Y = (y_1,y_2,\ldots,y_n)$ 사이의 거리 $D(X,Y)$ 를 다음과 같이 정의한다.
: $D\left(X,Y\right) = \biggl(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\biggr)^{\frac{1}{p}}$

여기서 $x_i$ 와 $y_i$ 는 각 점의 $i$ 번째 좌표이고, $n$ 은 공간의 차원이며, $p$ 는 민코프스키 거리의 차수를 나타내는 매개변수이다. 일반적으로 $p \ge 1$ 일 때 거리 공간의 공리를 만족하며, $p$ 값에 따라 거리의 성질이 달라진다. 대표적인 예로는 맨해튼 거리( $p=1$ ), 유클리드 거리( $p=2$ ), 체비셰프 거리( $p \to \infty$ ) 등이 있다. $p$ 값에 따른 구체적인 거리의 종류와 성질은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

2.1. p 값에 따른 거리

민코프스키 거리의 차수를 " $p$ (단, $p$ 는 정수)"라고 할 때, 두 점 $X = (x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 와 $Y = (y_1,y_2,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n$ 사이의 거리는 다음과 같이 정의된다.
: $D\left(X,Y\right) = \biggl(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\biggr)^{\frac{1}{p}}.$

$p \geq 1$ 일 때, 민코프스키 거리는 거리의 조건을 만족하며, 이는 민코프스키 부등식의 결과이다. 반면 $p < 1$ 일 때는 삼각 부등식을 만족하지 않아 거리라고 할 수 없다. 예를 들어, $(0, 0)$ 과 $(1, 1)$ 사이의 거리는 $2^{1/p} > 2$ 이지만, 이 두 점과 점 $(0, 1)$ 사이의 거리는 각각 $1$ 이 되어 삼각 부등식( $1+1 \ge 2^{1/p}$ )이 성립하지 않기 때문이다. 하지만 이 경우에도 $1/p$ 지수를 제거하면 거리를 얻을 수 있으며, 이 거리는 F-노름이기도 하다.

민코프스키 거리는 주로 $p$ 가 1 또는 2일 때 사용된다.
* $p=1$ 일 때는 맨해튼 거리가 된다.
* $p=2$ 일 때는 유클리드 거리가 된다.

$p$ 가 무한대에 접근하는 극한의 경우, 체비셰프 거리를 얻는다. 이는 각 좌표 차이의 절댓값 중 가장 큰 값과 같다.
: $\lim_{p \to \infty}{\biggl(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\biggr)^\frac{1}{p}} = \max_{i=1}^n |x_i-y_i|.$

마찬가지로, $p$ 가 음의 무한대에 접근하는 경우, 각 좌표 차이의 절댓값 중 가장 작은 값과 같아진다.
: $\lim_{p \to -\infty}{\biggl(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\biggr)^\frac{1}{p}} = \min_{i=1}^n |x_i-y_i|.$

민코프스키 거리는 두 점 $P$ 와 $Q$ 사이의 성분별 차이에 대한 멱평균의 배수로 해석할 수도 있다.

다음 그림은 다양한 $p$ 값에 따라 중심에서 거리가 1인 점들의 집합, 즉 단위 원(레벨 집합)의 형태가 어떻게 변하는지를 보여준다.

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3. 응용

민코프스키 거리는 기계 학습 및 인공지능 분야에서 매우 유용하게 사용된다. 많은 인기 있는 기계 학습 알고리즘은 두 데이터 포인트의 유사성을 비교하기 위해 특정 거리 척도를 사용한다. 분석되는 데이터의 특성에 따라 다양한 척도를 사용할 수 있다. 민코프스키 거리는 여러 데이터 포인트 벡터 간의 크기 유사성을 결정하려는 수치 데이터 세트에 가장 유용하다.