민코프스키 부등식

1. 개요

민코프스키 부등식은 수학의 여러 분야에서 사용되는 부등식으로, 대수적 형태, Lₚ 공간의 형태, 적분 형태 등 다양한 형태로 표현된다. 특히, 측도 공간에서의 가측 함수에 대한 Lₚ 공간에서 삼각 부등식으로 사용되어 Lₚ 공간이 복소 벡터 공간임을 증명하는 데 기여한다. 또한, 횔더 부등식과 유사하게 유한 차원 벡터 공간에서도 적용 가능하며, 적분 형태는 토넬리의 정리와 횔더 부등식을 사용하여 증명된다. 민코프스키 부등식은 일반화된 형태와 역 부등식도 존재하며, 거듭제곱 평균의 오목성을 증명하는 데 활용된다.

2. 대수적 형태

1 ≤ p ≤ ∞일 때 임의의 실수 x₁, ..., xₙ^영어와 y₁, ..., yₙ^영어에 대해 민코프스키 부등식의 대수적 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. 이는 가장 초등적인 형태이다.

:$\backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; |x\_k\; +\; y\_k|^p\; \backslash right)^\{1/p\}\; \backslash le\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; |x\_k|^p\; \backslash right)^\{1/p\}\; +\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; |y\_k|^p\; \backslash right)^\{1/p\}.$

이는 셈측도 공간에 대해 쓴 꼴이다.

3. Lₚ 공간의 형태

1 < p < ∞ 일 때 측도 μ가 주어진 측도 공간 X에 대하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측 함수일 때, 측도 μ에 대한 Lₚ 공간 Lₚ(μ)에서는 민코프스키 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash |f+g\backslash |\_p\; \backslash le\; \backslash |f\backslash |\_p\; +\; \backslash |g\backslash |\_p.$

이 형태 때문에 이 부등식이 민코프스키 삼각 부등식이라 불리는 것이다. 이를 이용하면 Lₚ(μ)가 복소 벡터 공간이 된다는 것은 분명하다.

4. 적분 형태

(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 측도 공간이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n 가측 함수라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다.

:$\backslash left[\backslash int\_\{X\}\backslash left(\backslash int\_\{Y\}F(x,y)\backslash ,d\backslash nu(y)\backslash right)^pd\backslash mu(x)\backslash right]^\{1/p\}\; \backslash le\; \backslash int\_\{Y\}\backslash left(\backslash int\_\{X\}F(x,y)^p\backslash ,d\backslash mu(x)\backslash right)^\{1/p\}d\backslash nu(y).$

이 부등식은 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다. p=1인 경우 이 부등식은 토넬리의 정리에서 바로 증명된다. 1 < p 에 대한 증명은 토넬리의 정리와 횔더 부등식을 사용하며, 기본적으로 앞의 형태들과 유사한 아이디어를 사용한다.

5. 일반화

민코프스키 부등식은 거듭제곱 함수 x^p 외에 다른 함수 φ(x)로 일반화할 수 있다. 일반화된 부등식은 다음과 같다.

:$$\backslash phi^\{-1\}\backslash left(\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash phi(x\_i\; +\; y\_i)\backslash right)\; \backslash leq\; \backslash phi^\{-1\}\backslash left(\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash phi(x\_i)\backslash right)\; +\; \backslash phi^\{-1\}\backslash left(\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash phi(y\_i)\backslash right).$$

Mulholland 등은 φ에 대한 다양한 충분 조건을 찾았다. 예를 들어, x ≥ 0에 대해 Mulholland가 제시한 충분 조건은 다음과 같다.

# φ(x)는 연속적이고 엄격하게 증가하며, φ(0) = 0이다.
# φ(x)는 x의 볼록 함수이다.
# logφ(x)는 log(x)의 볼록 함수이다.

6. 역 부등식

일 때, 역 부등식이 성립한다.

:$$\backslash |f+g\backslash |\_p\; \backslash ge\; \backslash |f\backslash |\_p\; +\; \backslash |g\backslash |\_p$$

예시 $f=-1,\; g=1$ 및 $p\; =\; 1$에서 알 수 있듯이, $f$와 $g$가 모두 음수가 아니라는 제약 조건이 더 필요하다.

:

역 부등식은 표준 민코프스키 부등식과 동일한 논리를 따르지만, 이 범위에서 횔더 부등식 또한 반전된다는 점을 이용한다.

역 민코프스키 부등식을 사용하여, 조화 평균 및 기하 평균과 같이 $p\; \backslash leq\; 1$인 거듭제곱 평균이 오목하다는 것을 증명할 수 있다.

7. 증명

민코프스키 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 증명할 수 있다.

1 < p < ∞인 경우, 측도 μ가 주어진 측도 공간 X에서 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측 함수일 때, 측도 μ에 대한 $L\_p$ 공간 $L\_p(\backslash mu)$에서 민코프스키 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash |f+g\backslash |\_p\; \backslash le\; \backslash |f\backslash |\_p\; +\; \backslash |g\backslash |\_p.$

(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 측도 공간이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n 가측 함수라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다. 이를 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다.

:$\backslash left[\backslash int\_\{X\}\backslash left(\backslash int\_\{Y\}F(x,y)\backslash ,d\backslash nu(y)\backslash right)^pd\backslash mu(x)\backslash right]^\{1/p\}\; \backslash le\; \backslash int\_\{Y\}\backslash left(\backslash int\_\{X\}F(x,y)^p\backslash ,d\backslash mu(x)\backslash right)^\{1/p\}d\backslash nu(y).$

p=1인 경우 이 부등식은 토넬리의 정리에서 바로 증명된다. 따라서 1
증명 과정은 "증명 과정" 하위 섹션에 상세히 나와있다.

7.1. 증명 과정

$f$와 $g$가 모두 유한한 $p$-노름을 가지면 $f+g$도 유한한 $p$-노름을 갖는다는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$|f\; +\; g|^p\; \backslash leq\; 2^(|f|^p\; +\; |g|^p).$

여기서 $h(x)\; =\; |x|^p$가 $\backslash Reals^+$에서 볼록 함수라는 사실을 이용한다 ($p>1$인 경우). 볼록성의 정의에 의해

:$\backslash left|\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; f\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; g\backslash right|^p\; \backslash leq\; \backslash left|\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; |f|\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; |g|\backslash right|^p\; \backslash leq\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}|f|^p\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; |g|^p.$

따라서

:$|f+g|^p\; \backslash leq\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}|2f|^p\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}|2g|^p\; =\; 2^|f|^p\; +\; 2^|g|^p.$

이제, $\backslash |f\; +\; g\backslash |\_p$가 0이면 민코프스키 부등식이 성립한다. $\backslash |f\; +\; g\backslash |\_p$가 0이 아니라고 가정하고, 삼각 부등식과 횔더 부등식을 사용하면 다음을 얻는다.

: $$
\begin{align}
\|f + g\|_p^p &= \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu \\
&= \int |f + g| \cdot |f + g|^ \, \mathrm{d}\mu \\
&\leq \int (|f| + |g|)|f + g|^ \, \mathrm{d}\mu \\
&=\int |f||f + g|^ \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^ \, \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left(\left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^} + \left(\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^}\right)\left(\int |f + g|^ \, \mathrm{d}\mu\right)^} && \text{ 횔더 부등식} \\
&= \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right )\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}
\end{align}

양변에 $\backslash frac\{\backslash |f\; +\; g\backslash |\_p\}\{\backslash |f\; +\; g\backslash |\_p^p\}$를 곱하면 민코프스키 부등식을 얻는다.

8. 응용

민코프스키 부등식은 Lp 공간이 완비 거리 공간임을 증명하는 데 사용된다. 이 부등식은 확률론, 통계학, 정보 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

1측도 μ가 주어진 측도 공간 X에 대하여 f, g가 X에서 [0, ∞]로 가는 가측 함수일 때, 측도 μ에 대한 $L\_p$ 공간 $L\_p(\backslash mu)$에서 민코프스키 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

* $\backslash |f+g\backslash |\_p\; \backslash le\; \backslash |f\backslash |\_p\; +\; \backslash |g\backslash |\_p.$

이 형태는 민코프스키 삼각 부등식이라고도 불린다. 이를 이용하면 $L\_p(\backslash mu)$ 가 복소 벡터 공간이 된다는 것은 분명하다.

(X, m, μ)와 (Y, n, ν)를 σ-유한 측도 공간이라 하고 F를 X×Y 위에서 정의된 m×n 가측 함수라 하자. 그러면 1≤p<∞인 경우 다음과 같은 적분 형태 민코프스키 부등식이 성립한다. 이 부등식은 '민코프스키 적분부등식'이라고도 한다.

* $\backslash left[\backslash int\_\{X\}\backslash left(\backslash int\_\{Y\}F(x,y)\backslash ,d\backslash nu(y)\backslash right)^pd\backslash mu(x)\backslash right]^\{1/p\}\; \backslash le\; \backslash int\_\{Y\}\backslash left(\backslash int\_\{X\}F(x,y)^p\backslash ,d\backslash mu(x)\backslash right)^\{1/p\}d\backslash nu(y).$

p=1인 경우 이 부등식은 토넬리의 정리에서 바로 증명된다. 따라서 증명은 1