반복 강제법

1. 개요

반복 강제법은 ZFC의 표준 추이적 모형 M과 순서수 μ가 주어졌을 때 정의되는 구조로, 집합 D, 원순서 집합의 이름, 최소 원소, 집합족 I로 구성된다. 이 구조는 부분 순서 집합들의 열 Pα를 초한 귀납법으로 정의하고, 유한 지지 또는 가산 지지 반복 강제법 구조로 분류될 수 있다. 반복 강제법은 모형 확장 및 수슬린 가설의 독립성 증명에 활용되며, 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움에 의해 1971년에 도입되었다.

2. 정의

반복 강제법은 다음과 같이 정의된다.

이후 이어지는 하위 섹션에서는 $M$ 속의 $\backslash mu$ 단계 반복 강제법 구조에 대한 정의와 구성 요소들을 자세히 설명한다. 또한, 집합족 $\backslash mathcal\{I\}$가 유한 집합인 경우 유한 지지 반복 강제법, 가산 집합인 경우 가산 지지 반복 강제법으로 정의한다.

2.1. μ-단계 반복 강제법 구조

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
* 순서수 $\backslash mu\backslash in\; M\backslash cap\backslash operatorname\{Ord\}$

$M$ 속의 $\backslash mu$ 단계 반복 강제법 구조($\backslash mu$-段階反復強制法構造, $\backslash mu$-step iterated forcing strucure in $M$^영어)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

* $M$의 원소인 집합 $D\backslash in\; M$
* $M$의 원소인 . $(\backslash dot\; Q\_\backslash beta,\backslash dot\backslash lesssim\_\backslash beta)$는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 $P\_\backslash beta$-이름이다.
* 각 에 대하여, $\backslash dot\backslash bot\_\backslash beta$는 $(\backslash dot\; Q\_\backslash beta,\backslash dot\backslash lesssim\_\backslash beta)$의 유일한 최소 원소이다.
* 집합족 $\backslash mathcal\; I\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(\backslash mu)$. 또한, $\backslash mathcal\; I$는 $\backslash mathcal\; P(\backslash mu+1)$ 속의 순서 아이디얼을 이룬다.
* $\backslash mathcal\; I$는 $\backslash mu$의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.

:$\backslash operatorname\{supp\}\_\backslash lambda\backslash colon\; D^\backslash lambda\backslash to\; \backslash mathcal\; P(\backslash lambda)$
:$\backslash operatorname\{supp\}\_\backslash lambda\backslash colon\; p\backslash mapsto\; \backslash left\backslash \{\backslash alpha\backslash in\backslash lambda\backslash colon\; p\_\backslash alpha\backslash ne\backslash dot\backslash bot\_\backslash mu\backslash right\backslash \}$

그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열 $(P\_\backslash alpha)\_\{\backslash alpha\backslash le\backslash mu\}$을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p\in D^\lambda
\colon\qquad
p\in P_\lambda \iff \begin{cases}
\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\
\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)
\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)
& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}

:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p,q\in P_\lambda\colon
\qquad
p\le q\iff
\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\
\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}

임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash beta\backslash le\backslash mu$에 대하여, 함수 $\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$를 다음과 같이 정의하자.

:$\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash colon\; P\_\backslash alpha\backslash to\; P\_\backslash beta$
:

만약 $\backslash mathcal\; I$가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)이라고 한다.

만약 $\backslash mathcal\; I$가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)이라고 한다.

2.2. 지지 (Support)

만약 $\backslash mathcal\; I$가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)라고 한다.

만약 $\backslash mathcal\; I$가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)라고 한다.

2.3. 부분 순서 집합 P_λ

다음과 같은 부분 순서 집합들의 열 $(P\_\backslash alpha)\_\{\backslash alpha\backslash le\backslash mu\}$을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p\in D^\lambda
\colon\qquad
p\in P_\lambda \iff \begin{cases}
\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\
\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)
\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)
& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}


:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p,q\in P_\lambda\colon
\qquad
p\le q\iff
\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\
\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}

임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash beta\backslash le\backslash mu$에 대하여, 함수 $\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash colon\; P\_\backslash alpha\backslash to\; P\_\backslash beta$
:

2.4. 함수 ι_αβ

임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash beta\backslash le\backslash mu$에 대하여, 함수 $\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$를 다음과 같이 정의한다.
:$\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash colon\; P\_\backslash alpha\backslash to\; P\_\backslash beta$
:

2.5. 유한/가산 지지 반복 강제법

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 순서수 $\backslash mu\backslash in\; M\backslash cap\backslash operatorname\{Ord\}$가 주어졌을 때, $M$ 속의 $\backslash mu$ 단계 반복 강제법 구조는 다음 데이터로 구성된다.

* $M$의 원소인 집합 $D\backslash in\; M$
* $M$의 원소인 . 여기서 $(\backslash dot\; Q\_\backslash beta,\backslash dot\backslash lesssim\_\backslash beta)$는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 $P\_\backslash beta$-이름이다.
* 각 에 대하여, $\backslash dot\backslash bot\_\backslash beta$는 $(\backslash dot\; Q\_\backslash beta,\backslash dot\backslash lesssim\_\backslash beta)$의 유일한 최소 원소이다.
* 집합족 $\backslash mathcal\; I\backslash subseteq\backslash mathcal\; P(\backslash mu)$. $\backslash mathcal\; I$는 $\backslash mathcal\; P(\backslash mu+1)$ 속의 순서 아이디얼을 이루며, $\backslash mu$의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

다음과 같은 함수열을 정의한다.

:$\backslash operatorname\{supp\}\_\backslash lambda\backslash colon\; D^\backslash lambda\backslash to\; \backslash mathcal\; P(\backslash lambda)$
:$\backslash operatorname\{supp\}\_\backslash lambda\backslash colon\; p\backslash mapsto\; \backslash left\backslash \{\backslash alpha\backslash in\backslash lambda\backslash colon\; p\_\backslash alpha\backslash ne\backslash dot\backslash bot\_\backslash mu\backslash right\backslash \}$

그러면 부분 순서 집합들의 열 $(P\_\backslash alpha)\_\{\backslash alpha\backslash le\backslash mu\}$을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p\in D^\lambda
\colon\qquad
p\in P_\lambda \iff \begin{cases}
\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\
\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)
\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)
& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}

:$$
\forall\lambda\le\mu
\forall p,q\in P_\lambda\colon
\qquad
p\le q\iff
\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\
\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda
\end{cases}

임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash beta\backslash le\backslash mu$에 대하여, 함수 $\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash colon\; P\_\backslash alpha\backslash to\; P\_\backslash beta$
:

만약 $\backslash mathcal\; I$가 유한 집합이라면, 이를 유한 지지 반복 강제법 구조(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)라고 한다. 만약 $\backslash mathcal\; I$가 가산 집합이라면, 이를 가산 지지 반복 강제법 구조(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)라고 한다.

3. 성질

다음과 같은 성질이 성립한다.

* 임의의 $p\backslash in\; P\_\backslash beta$ 및 에 대하여, $p\backslash restriction\backslash gamma\backslash in\; P\_\backslash beta$이다.
* 임의의 및 에 대하여, $p\_\backslash gamma\backslash in\backslash operatorname\{dom\}(\backslash pi\_\backslash gamma)$이다.

3.1. 반복 강제법 모형

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
* $\backslash mathcal\; I$ 지지 $\backslash mu$ 단계 반복 강제법 구조
* $P\_\backslash mu$의 $M$-포괄적 순서 아이디얼 $G\backslash subseteq\; P\_\backslash mu$

이 경우, 임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash mu$에 대하여
:$G\_\backslash alpha=\backslash iota\_\{\backslash alpha\backslash mu\}^\{-1\}(G)\backslash subseteq\; P\_\backslash alpha$
를 정의한다. (특히 $G\_\backslash mu=G$이다.) 그렇다면, 임의의 $\backslash alpha\backslash le\backslash beta\backslash le\backslash mu$에 대하여
:$M[G\_\backslash alpha]\backslash subseteq\; M[G\_\backslash beta]$
이다. 즉,
:$M\backslash subseteq\; M[G\_0]\backslash subseteq\; M[G\_1]\backslash subseteq\backslash cdots\backslash subseteq\; M[G\_\backslash omega]\backslash subseteq\; M[G\_\{\backslash omega+1\}]\backslash subseteq\backslash cdots\backslash subseteq\; M[G\_\backslash mu]=M[G]$
이다.

4. 역사

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움이 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.