완비 불 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 순서론적 정의
- 2.2. 위상수학적 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

완비 불 대수는 완비 격자인 불 대수이다. κ-완비 불 대수는 크기 κ 미만의 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 불 대수이며, ℵ₀-완비 불 대수는 불 대수와 같고, ℵ₁-완비 불 대수는 시그마 대수라고 한다. 불 대수 B에 대응하는 스톤 공간 Spec(B)에서 임의의 열린집합 U의 폐포가 열린집합이면 B를 완비 불 대수라고 정의할 수도 있다. 완비 불 대수는 모든 부분 집합의 상한과 하한을 가지며, 무한 드 모르간 법칙과 무한 분배 법칙이 성립한다. 시코르스키 확장 정리는 불 대수 준동형을 확장할 수 있음을 보여준다. 완비 불 대수는 완비 격자, 완비 헤이팅 대수, 시그마 대수를 함의한다. 멱집합, 정칙 열린집합, 가측 집합의 대수 등이 완비 불 대수의 예시이며, 시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키에 의해 증명되었다.

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완비 불 대수
완비 불 대수
정의
유형	격자
추가 속성	불 대수
특성	모든 부분 집합이 최소 상한과 최대 하한을 가짐
예시
예시	멱집합 대수 완비 원자 불 대수
속성
완비성	완비 불 대수는 모든 부분 집합에 대해 결합 법칙을 만족함
분포 법칙	완비 불 대수는 무한 분포 법칙을 만족함
관련 개념
관련 개념	불 대수 완비 격자 완비 원자 불 대수
참고 문헌
참고 문헌	(영어) 완비 불 대수 관련 참고 문헌

2. 정의

완비 불 대수는 순서론적 정의와 위상수학적 정의, 두 가지 방식으로 정의할 수 있다.

2. 1. 순서론적 정의

완비 격자인 불 대수이다. 두 완비 불 대수 사이의 '''완비 불 대수 준동형'''은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 함수이다.

마찬가지로, 임의의 기수 κ에 대하여, '''κ-완비 불 대수'''는 크기 κ 미만의 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 불 대수이며, '''κ-완비 불 대수 준동형'''은 크기 κ 미만의 상한과 하한을 보존하는 불 대수 준동형이다. ℵ₀-완비 불 대수는 불 대수와 같은 개념이며, ℵ₁-완비 불 대수는 '''시그마 대수'''라고 한다.

2. 2. 위상수학적 정의

불 대수와 불 대수 준동형의 범주는 스톤 공간과 연속 함수의 범주의 반대 범주이다. 이 경우, 불 대수

B

에 대응하는 스톤 공간

\operatorname{Spec}(B)

이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면

B

를 '''완비 불 대수'''라고 한다.

임의의 열린집합 $U\subseteq\operatorname{Spec}(B)$ 의 폐포는 열린집합이다.

3. 성질

완비 불 대수는 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는다는 중요한 성질을 가진다. 완비 불 대수에서 무한 분배 법칙이 성립하는 것은 멱집합과 동형이 될 조건과 동치이다.^[2] 무한 드 모르간 법칙 역시 완비 불 대수에서 성립한다.^[1] 불 대수가 완비 불 대수가 되는 것은 그 소 아이디얼의 스톤 공간이 극단적으로 비연결 공간일 때와 동치이다.

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

\|				완비 격자	⇐	완비 헤이팅 대수	⇐	완비 불 대수
\|								⇓
\|				⇓		⇓		시그마 대수
\|								⇓
원순서 집합	⇐	부분 순서 집합	⇐	유계 격자	⇐	헤이팅 대수	⇐	불 대수

3. 2. 기초적 성질

임의의 완비 불 대수

B

의 원소

b\in B

및 부분 집합

A\subseteq B

에 대하여, 다음이 성립한다.

(무한 분배 법칙) $\textstyle b\land\bigvee A=\bigvee_{a\in A}(b\land a)$
(무한 분배 법칙) $\textstyle b\lor\bigwedge A=\bigwedge_{a\in A}(b\lor a)$
(무한 드 모르간 법칙) $\textstyle\lnot\bigvee A=\bigwedge_{a\in A}(\lnot a)$
(무한 드 모르간 법칙) $\textstyle\lnot\bigwedge A=\bigvee_{a\in A}(\lnot a)$ ^[1]

완비 불 대수의 모든 부분 집합은 정의에 따라 상한을 가지며, 하한 (최대 하한)도 갖는다. 완비 불 대수에서 무한 분배 법칙이 모두 성립하는 것은 그 대수가 어떤 집합의 멱집합과 동형일 때와 동치이다.^[2] 무한 드 모르간 법칙은 완비 불 대수에서 성립한다. 불 대수가 완비 불 대수인 것은 소 아이디얼의 스톤 공간이 극단적으로 비연결 공간일 때와 동치이다.

시코르스키 확장 정리에 따르면, ''A''가 불 대수 ''B''의 부분 대수이고 ''A''에서 완비 불 대수 ''C''로의 준동형 사상이 존재한다면, 이 사상은 ''B''에서 ''C''로 확장될 수 있다.

3. 3. 크기

기수 κ에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[1]^[2]^[3]

B|=κ인 완비 불 대수 B가 존재한다.

B|=κ인 시그마 대수(

\aleph_1

-완비 불 대수) B가 존재한다.

* κ가 무한 기수라면,

\kappa^{\aleph_0}=\kappa

이다. κ가 유한 기수라면,

\kappa=2^n

인 기수 n이 존재한다.

3. 4. 시코르스키 확장 정리 (Sikorski extension theorem)

불 대수

\tilde B

의 부분 불 대수

B\subseteq\tilde B

와 완비 불 대수

C

, 그리고 불 대수 준동형

f\colon B\to C

가 주어졌다고 하자. '''시코르스키 확장 정리'''(Sikorski extension theorem^영어)에 따르면,

f=\tilde f|_B

가 성립하는 불 대수 준동형

\tilde f\colon\tilde B\to C

가 존재한다.

이는 만약 ''A''가 불 대수 ''B''의 부분 대수이고, ''A''에서 완비 불 대수 ''C''로의 준동형 사상이 존재한다면, 이 사상은 ''B''에서 ''C''로의 사상으로 확장될 수 있다는 것을 의미한다.

3. 5. 매장 가능성

부분 순서 집합 $(P,\le)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 '''분리 부분 순서 집합'''(separative poset^영어)이라고 한다.

임의의 $x,y\in P$에 대하여, $x\not\le y$라면, 임의의 $z\le x$에 대하여, $\{z,y\}$는 하계를 갖지 않는다.^[4]
$P\cong S$가 되는 완비 불 대수 $B$와 부분 집합 $S\subseteq B\setminus\{\bot_B\}$가 존재한다.^[4] ($\cong$은 순서 동형이다.)

3. 6. 범주론적 성질

완비 격자와 완비 격자 준동형의 범주

\operatorname{CompLat}

의 충만한 부분 범주인 완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주

\operatorname{CompBoolAlg}

는 구체적 범주이다.

망각 함자

:

\operatorname{CompBoolAlg}\to\operatorname{Set}

는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, 자유 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다.^[5]^[6]^[7]^[8] 그러나 임의의 기수

\kappa

에 대하여,

\kappa

-완비 불 대수 및

\kappa

-완비 불 대수 준동형의 범주

\operatorname{CompBoolAlg}_\kappa

의 경우 자유 대상이 존재한다.

특히,

\operatorname{CompBoolAlg}

는 쌍대 완비 범주가 아니다. 선택 공리를 완화하지 않으면 집합에 의해 생성된 자유 불 대수 완비 불 대수는 존재하지 않는다(집합이 유한한 경우 제외).

완비 불 대수에서 집합으로의 망각 함자는 좌 인접 함자를 갖지 않는데, 이는 연속 함자이고 불 대수의 범주가 완비 범주임에도 불구하고 그렇다. 이는 Freyd의 인접 함자 정리에서 "해 집합 조건"이 필요하다는 것을 보여준다.

집합 ''X''가 주어지면, 이 집합에 의해 생성된 자유 불 대수 ''A''를 구성한 다음 그 완비화 ''B''를 취할 수 있다. 그러나 ''B''는 ''X''에 의해 생성된 "자유" 완비 불 대수가 아니다(''X''가 유한하거나 AC가 생략되지 않는 한). 왜냐하면 ''X''에서 자유 불 대수 ''C''로의 함수는 일반적으로 ''B''에서 ''C''로의 (상한을 보존하는) 불 대수의 사상으로 확장될 수 없기 때문이다.

반면에, 임의의 고정된 기수 κ에 대해, 주어진 집합에 의해 생성된 자유(또는 보편) κ-완비 불 대수가 존재한다.

4. 예

모든 유한 불 대수는 완비 대수이다.^[3]
주어진 집합의 부분 집합 대수는 완비 불 대수이다.
모든 위상 공간의 정칙 열린 집합은 완비 불 대수를 형성한다. 특히 강제 부분 순서 집합을 위상 공간(주어진 요소 이하의 모든 요소 집합으로 구성된 위상의 기저)으로 간주하여, 해당 정칙 열린 대수가 주어진 강제 부분 순서 집합에 의한 일반 확장과 동일한 부울값 모형을 형성하는 데 사용될 수 있기 때문에 중요하다.
σ-유한 측도 공간의 모든 가측 부분 집합의 대수는 영 집합을 modulo로 하여 완비 불 대수이다. 측도 공간이 르베그 가측 집합의 σ-대수를 갖는 단위 구간일 때, 이 부울 대수는 난수 대수라고 한다.
가산 기저를 가진 위상 공간에서 모든 베어 집합의 부울 대수는 희소 집합을 modulo로 하여 완비 대수이며, 위상 공간이 실수일 때 이 대수를 칸토어 대수라고 부른다.

4. 1. 멱집합

모든 유한 불 대수는 완비 불 대수이다. 모든 유한 불 대수는 완비 대수이다.^[3] 주어진 집합의 멱집합은 완비 불 대수이다.^[3]

4. 2. 위상 수학

위상 공간

X

의 정칙 열린집합들의 족은 완비 불 대수를 이룬다.^[1] 특히 강제법에서 사용되는 정칙 열린 대수는 부분 순서 집합을 위상 공간(주어진 요소 이하의 모든 요소 집합으로 구성된 위상의 기저)으로 간주하여, 일반 확장과 동일한 부울값 모형을 형성하는 데 사용될 수 있다.^[1]

4. 3. 측도론

σ-유한 측도 공간의 가측 부분 집합들의 대수는 영 집합을 modulo로 하여 완비 불 대수를 이룬다. 르베그 가측 집합의 σ-대수로 구성된 단위 구간의 부울 대수는 난수 대수라고 한다.^[1] 가산 기저를 가진 위상 공간에서 모든 베어 집합의 부울 대수는 희소 집합을 modulo로 하여 완비 대수이며, 실수 위상 공간에서 이 대수를 칸토어 대수라고도 한다.^[1]

4. 4. 완비가 아닌 불 대수

무한 집합의 모든 부분 집합 중 유한하거나 유한 여집합을 갖는 대수는 불 대수이지만 완비는 아니다.^[1]
측도 공간의 모든 가측 부분 집합의 대수는 ℵ₁-완비 불 대수이지만 일반적으로 완비는 아니다.^[2]
완비가 아닌 불 대수의 또 다른 예는 자연수의 모든 집합의 부울 대수 P(ω)를 유한 부분 집합의 이상 ''Fin''으로 나눈 것이다.^[3] P(ω)/Fin으로 표시되는 결과는 자연수의 모든 동치류로 구성되며, 여기서 관련 동치 관계는 두 자연수 집합의 대칭 차이가 유한하면 동치라는 것이다.^[3] 부울 연산은 유사하게 정의된다.^[3] 예를 들어, ''A''와 ''B''가 P(ω)/Fin의 두 동치류인 경우, A ∧ B를 a ∩ b의 동치류로 정의하며, 여기서 ''a''와 ''b''는 각각 ''A''와 ''B''의 일부 (임의의) 요소이다.^[3]

:이제 a₀, a₁, …을 서로소인 무한 자연수 집합이라고 하고, ''A''₀, ''A''₁, …을 P(ω)/Fin에서 해당 동치류라고 하자.^[3] 그러면 P(ω)/Fin에서 ''A''₀, ''A''₁, …의 임의의 상한 ''X''가 주어지면, ''X''의 대표에서 각 ''a''_''n''의 한 요소를 제거하여 "더 작은" 상한을 찾을 수 있다.^[3] 따라서 ''A''_''n''에는 상한이 없다.^[3]

5. 역사

시코르스키 확장 정리는 폴란드 수학자 로만 시코르스키(Roman Sikorski, 1925~1983)가 증명하였다.^[9]

참조

_[1] 저널 A note on complete Boolean algebras 1958
_[2] 저널 Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras http://msp.org/pjm/1[...] 1972
_[3] 저널 Counting Boolean algebras 1971
_[4] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
_[5] 저널 Infinite Boolean polynomials I http://pldml.icm.edu[...] 1964
_[6] 저널 On the non-existence of free complete Boolean algebras http://pldml.icm.edu[...] 1964
_[7] 서적 On the nonexistence of free complete Boolean algebras http://resolver.calt[...] 캘리포니아 공과대학교 1962
_[8] 저널 New proof of a theorem of Gaifman and Hales 1966-03
_[9] 서적 Boolean algebras Springer-Verlag 1960

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