포괄적 필터

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 라시오바-시코르스키 보조정리
4. 응용
- 4.1. 강제법
5. 역사
참조

1. 개요

포괄적 필터는 원순서 집합의 필터로, 모든 공시작 집합과 교차한다. 집합론에서는 '조밀 집합'을 공시작 집합으로 부르기도 한다. 원순서 집합의 집합족에 대해 일반화된 개념인 $\mathcal D$ -포괄적 필터와 포괄적 순서 아이디얼, $\mathcal D$ -포괄적 순서 아이디얼도 정의된다. 라시오바-시코르스키 보조정리는 가산 개의 공시작 집합을 가진 원순서 집합에 대해 $\mathcal D$ -포괄적 필터의 존재성을 보장한다. 포괄적 필터는 강제법에서 표준 추이적 모형을 다루는 데 사용되며, 라시오바와 시코르스키는 이를 사용하여 괴델의 완전성 정리를 증명했다.

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포괄적 필터
설명
일반적인 설명	신호 처리에서 일반적인 필터는 선형 시불변 시스템이며 주파수 응답은 모든 주파수에 대해 유한하고 비영입니다.
대체 이름	포괄적인 필터
특징
속성	선형 시불변 유계 입력 유계 출력 안정성 주파수 응답은 모든 주파수에서 유한하고 비영입니다.
적용
사용 분야	신호 처리, 통신 시스템, 제어 시스템
설계
설계 방법	다양한 방법 존재 (예: 버터워스 필터, 체비쇼프 필터, 베셀 필터)
구현
구현 방식	아날로그 회로 디지털 신호 처리 (DSP) 소프트웨어
같이 보기
관련 항목	필터 (신호 처리) 선형 시불변 시스템 주파수 응답 버터워스 필터 체비쇼프 필터 베셀 필터

2. 정의

원순서 집합 $(P,\lesssim)$ 가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 $F\subseteq P$ 를 $P$ 의 '''포괄적 필터'''(generic filter^영어)라 부른다.^[1]

모든 공시작 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여, $D\cap F\ne\varnothing$

집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합(dense set^영어)’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서

P

속의 집합족

\mathcal D\subseteq\mathcal P(P)

가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터

F\subseteq P

를 '''

\mathcal D

-포괄적 필터'''(

\mathcal D

-generic filter^영어)라고 부른다.

모든 $D\in\mathcal D$ 에 대하여, $D\cap F\ne\varnothing$

마찬가지로, 원순서 집합

(P,\lesssim)

에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼

I\subseteq P

를 '''포괄적 순서 아이디얼'''(generic order ideal^영어)이라 부른다.

모든 공종 집합 $D\subseteq P$ 에 대하여, $D\cap I\ne\varnothing$

마찬가지로 '''

\mathcal D

-포괄적 순서 아이디얼'''을 정의할 수 있다.

3. 성질

(주어진 문단에는 '성질' 섹션에 대한 내용이 없으므로, 빈칸으로 출력합니다.)

3. 1. 라시오바-시코르스키 보조정리

ZFC을 가정하면 다음이 성립한다.

:"'''라시오바-시코르스키 보조정리'''

:원순서 집합

(P,\lesssim)

와 가산 개의 공시작 집합들로 이루어진 집합족

\mathcal D\subseteq\mathcal P(P)

가 주어졌다고 하자. 그렇다면

\mathcal D

-포괄적 필터

F\subseteq P

가 존재한다.

:또한, 임의의 원소

x\in P

에 대해서

x\in F

인

\mathcal D

-포괄적 필터

F\subseteq P

가 존재한다."

\mathcal D=\{D_1,D_2,\dots\}

라고 하자. 그렇다면, 원소열

(x_i)_{i=0}^\infty\in P

을 다음과 같이 정의한다.

$x_0=x$
$x_i\in P$ 가 주어졌을 때, $D_{i+1}$ 이 공시작 집합이므로, $x_{i+1}\lesssim x_i$ 인 $x_{i+1}\in D_{i+1}$ 를 선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

:

F=\uparrow\{x_0,x_1,x_2,\dots\}=\bigcup_{i=0}^\infty\uparrow\{x_i\}

는

\mathcal D

-일반 필터이다. (여기서

\uparrow

는 상폐포를 뜻한다.)

4. 응용

강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형을 다루는 경우가 흔하며, 이 경우 포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.^[1]

4. 1. 강제법

흔히, 강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형

\langle M,\in\rangle

을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합

P

속의,

M

의 원소인 공시작 집합들의 집합

:

\mathcal D=\operatorname{Coinit}(P,\lesssim)\cap M

에 대한

\mathcal D

-포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.^[1]

5. 역사

라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 Helena Rasiowa|헬레나 라시오바^pl와 Roman Sikorski|로만 시코르스키^pl가 증명하였다.^[2] 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.

참조

_[1] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
_[2] 논문 A proof of the completeness theorem of Gödel https://eudml.org/do[...] 1950

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