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반응저항

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1. 개요

반응저항은 교류 회로에서 전류의 흐름을 방해하는 현상으로, 주파수에 따라 유도 리액턴스와 용량 리액턴스로 구분된다. 유도 리액턴스는 코일에 의해 발생하며, 전류의 변화에 반대하는 방향으로 기전력을 유도하여 전류의 흐름을 억제한다. 용량 리액턴스는 커패시터의 충전 및 방전 과정에서 발생하며, 전압 변화에 대한 저항으로 작용한다. 반응저항은 저항과 유사하게 전류 흐름을 제한하지만, 위상 변화, 전력 저장, 주파수 의존성 등의 차이점을 가진다. 임피던스는 교류 회로에서 저항, 유도 리액턴스, 용량 리액턴스를 모두 포함하는 개념이며, 복소수로 표현된다.

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반응저항
개요
정의교류 회로에서 인덕터 또는 커패시터에 의해 발생하는 전류의 흐름을 방해하는 정도를 나타내는 전기적 특성
설명리액턴스는 저항과 유사하게 전류의 흐름을 억제하지만, 에너지를 소모하지 않고 저장한다는 점에서 차이가 있음.
리액턴스는 주파수에 따라 변하며, 인덕터와 커패시터는 서로 반대 방향으로 작용함.
기호X
단위 (Ω)
SI 차원L M T I
종류
유도성 리액턴스인덕터에 의해 발생하는 리액턴스. 주파수가 증가함에 따라 증가함.
용량성 리액턴스커패시터에 의해 발생하는 리액턴스. 주파수가 증가함에 따라 감소함.
계산
유도성 리액턴스 (X_L)X_L = 2πfL (여기서 f는 주파수, L은 인덕턴스)
용량성 리액턴스 (X_C)X_C = 1/(2πfC) (여기서 f는 주파수, C는 커패시턴스)
임피던스
설명저항(R)과 리액턴스(X)를 합한 값으로, 교류 회로에서 전류의 흐름을 방해하는 정도를 나타냄.
계산임피던스 (Z) = R + jX (여기서 j는 허수 단위)
회로 방정식
전압과 전류의 관계V(t) = L(dI/dt) + RI + (1/C)∫I dt

2. 리액턴스의 종류

리액턴스는 주파수 특성에 따라 유도 리액턴스와 용량 리액턴스로 나뉜다.

=== 유도 리액턴스 (Inductive Reactance) ===

교류 전원과 코일을 연결했을 때에 코일의 유도 기전력에 의해 반응저항이 발생한다. 이때 전류와 전압의 관계식은 다음과 같다.

:I=-\frac{V_0}{\omega L}\cos{\omega t}

여기서 위상차를 무시하면

:I=\frac{1}{\omega L}V_0

이므로 \omega L=2\pi fL 은 저항의 역할을 한다. 이를 코일의 '''유도 반응저항'''이라 하며, X_L 로 표기한다.

유도 리액턴스는 인덕터가 나타내는 특성이며, 전류가 주위에 자기장을 생성한다는 사실에 기초하여 존재한다. AC 회로(이 개념은 전류가 변화할 때마다 적용됨)에서 이 자기장은 앞뒤로 진동하는 전류의 결과로 끊임없이 변화한다. 이러한 자기장의 변화는 동일한 전선에서 다른 전류가 흐르도록 유도하여(역기전력), 자기장을 생성하는 원래 전류의 흐름에 반대하는 방향으로 흐르게 한다(렌츠의 법칙). 따라서, ''유도 리액턴스''는 소자를 통과하는 전류의 변화에 대한 반대 현상이다.

AC 회로의 이상적인 인덕터의 경우, 전류 흐름의 변화에 대한 억제 효과는 교류 전압에 비해 교류의 지연 또는 위상 이동을 초래한다. 구체적으로, 이상적인 인덕터(저항이 없는)는 전류가 전압보다 1/4 주기 또는 90° 뒤쳐지게 한다.

전력 시스템에서 유도 리액턴스(및 용량성 리액턴스, 그러나 유도 리액턴스가 더 일반적임)는 AC 송전선의 전력 용량을 제한할 수 있다. 전압과 전류가 위상이 맞지 않으면 전력이 완전히 전달되지 않기 때문이다. 즉, 위상이 맞지 않는 시스템에서도 전류가 흐르지만, 특정 시간에는 실제 전력이 전달되지 않는다. 이는 순간 전류가 양수이고 순간 전압이 음수이거나 그 반대의 경우, 즉 음수 전력 전달을 의미하기 때문이다. 따라서 전력 전달이 "음수"일 때는 실제 작업이 수행되지 않는다. 그러나 시스템의 위상이 맞지 않더라도 전류는 계속 흐르며, 이로 인해 전류 흐름으로 인해 송전선이 가열된다. 결과적으로, 송전선은 어느 정도까지만 가열될 수 있으며(그렇지 않으면 열로 인해 금속 송전선이 너무 많이 팽창하여 물리적으로 너무 많이 처질 것이다), 따라서 송전선 운영자는 주어진 선을 통해 흐를 수 있는 전류량에 대한 "상한"을 가지며, 과도한 유도 리액턴스는 선의 전력 용량을 제한할 수 있다. 전력 공급자는 사용 패턴에 따라 위상을 이동하고 손실을 최소화하기 위해 콘덴서를 사용한다. 한국의 전력 시스템에서도 유도 리액턴스는 송전선로의 전력 용량을 제한하는 요인이 될 수 있으며, 이를 보상하기 위해 전력용 콘덴서를 사용하기도 한다.

유도 리액턴스 X_L은 비례하며 정현파 신호의 주파수 f와 인덕턴스 L에 비례하며, 이는 인덕터의 물리적 형상에 따라 달라진다.

:X_L = \omega L = 2\pi f L.

실효값 A 및 주파수 f의 정현파 AC 전압원과 직렬로 연결된 인덕턴스 L을 통과하는 평균 전류는 다음과 같다.

:I_L = {A \over \omega L} = {A \over 2\pi f L}.

구형파는 정현파 고조파에서 여러 진폭을 가지므로, 실효값 A 및 주파수 f의 구형파 AC 전압원과 직렬로 연결된 인덕턴스 L을 통과하는 평균 전류는 다음과 같다.

:I_L = {A \pi^2 \over 8 \omega L} = {A\pi \over 16 f L}

따라서 구형파에 대한 유도 리액턴스가 AC 사인파에 대한 리액턴스보다 약 19% 작게 보인다 X_L = {16 \over \pi} f L.

유한한 치수를 가진 모든 도체는 인덕턴스를 갖는다. 인덕턴스는 전자기 코일의 여러 턴에 의해 더 커진다. 패러데이의 유도 법칙은 전류 루프를 통과하는 자기 선속 밀도 \scriptstyle{B}의 변화율로 인한 역기전력 \mathcal{E} (전류에 반대하는 전압)을 제공한다.

:\mathcal{E} = -{{d\Phi_B} \over dt}

N개의 루프로 구성된 코일로 이루어진 인덕터의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\mathcal{E} = -N{d\Phi_B \over dt}.

역기전력은 전류 흐름에 대한 반대의 근원이다. 일정한 직류는 변화율이 0이므로, 인덕터를 단락으로 본다(일반적으로 낮은 저항률의 재료로 만들어진다). 교류는 주파수에 비례하는 시간 평균 변화율을 가지며, 이는 주파수에 따라 유도 리액턴스가 증가하는 원인이 된다.

전적으로 리액턴스 성분만 있는 소자(즉, 기생 저항이 0인 소자)에 걸리는 전압의 위상은 용량성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 뒤지고, 유도성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 앞선다. 저항과 리액턴스를 모두 알지 못하면 전압과 전류의 관계를 결정할 수 없다.

용량성 및 유도성 리액턴스에 대한 부호가 다른 이유는 임피던스 내의 위상 인자 e^{\pm \mathbf{j}{\frac{\pi}{2}}} 때문이다.

:\begin{align}

\mathbf{Z}_C &= {1 \over \omega C}e^{-\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\left({ -\frac{1}{\omega C}}\right) = \mathbf{j}X_C \\

\mathbf{Z}_L &= \omega Le^{\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\omega L = \mathbf{j}X_L\quad

\end{align}

반응성 소자의 경우, 소자에 걸리는 정현파 전압은 소자를 통과하는 정현파 전류와 90도(\tfrac{\pi}{2} 위상차) 위상차를 갖는다. 이 소자는 회로에서 에너지를 번갈아 흡수하고 다시 회로로 에너지를 반환하므로 순수 리액턴스는 전력을 소비하지 않는다.

인덕턴스에 교류 전원을 연결하면, 전원 전압과 반대 방향의 자기 유도 기전력이 발생한다. 이때, 인덕터의 전압 전류비(진폭비)는

(ω: 각주파수, ''L'': 자기 인덕턴스)

로 나타내어 유사 저항으로 간주할 수 있다. 이 전압 전류비 X_L 을 '''유도성 리액턴스'''(inductive reactance)라고 한다.

이때 전원 전압의 위상은 인덕터를 흐르는 전류보다 π/2 rad (90도) 앞선다.

※ 저항 성분이 없고 유도성 리액턴스뿐인 이상적인 코일에 직류 전원을 연결한 경우, 위의 식의 각주파수가 0이 되므로 저항이 0Ω, 즉 단락 상태가 된다.

=== 유도 리액턴스 유도 과정 (한국어 문서 기반) ===

교류 전원과 코일을 연결한 회로에서

: V_0\sin{\omega t} = L\frac{dI}{dt}

과 같은 관계가 성립한다. 양변을 t에 대하여 적분하면 다음과 같다.

: \int V_0\sin{\omega t}dt = \int LdI

: -\frac{1}{\omega}V_0\cos{\omega t} = LI

: \therefore I = -\frac{V_0}{\omega L}\cos{\omega t}

=== 용량 리액턴스 (Capacitive Reactance) ===

교류 전원과 축전기를 연결했을 때 축전기의 자체 충전 및 방전의 반복에 의해 반응저항이 발생한다. 이때 전류와 전압의 관계식은 다음과 같다.

:I = \omega CV_0 \cos{\omega t}

여기서 위상차를 무시하면

:I=\omega CV_0

이므로 \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC} 은 저항의 역할을 한다. 이를 축전기의 '''용량 반응저항'''이라 하며, X_C 로 표기한다.

커패시터는 도체 두 개가 절연체 (유전체라고도 함)로 분리되어 구성된다.

''용량성 리액턴스''는 소자 양단의 전압 변화에 대한 저항이다. 용량성 리액턴스 X_C는 신호 주파수 f (또는 각주파수 \omega)와 커패시턴스 C에 반비례한다.[3]

문헌에서 커패시터에 대한 리액턴스를 정의하는 데는 두 가지 선택이 있다. 하나는 임피던스의 허수부로서 리액턴스에 대한 균일한 개념을 사용하는 것으로, 이 경우 커패시터의 리액턴스는 음수,[3][4][5]

:X_C = -\frac {1} {\omega C} = -\frac {1} {2\pi f C}.

또 다른 선택은 용량성 리액턴스를 양수로 정의하는 것이다,[6][7][8]

:X_C = \frac {1} {\omega C} = \frac {1} {2\pi f C}.

그러나 이 경우 커패시터의 임피던스에 음수 부호를 추가해야 한다. 즉, Z_c=-jX_c이다.

f=0에서 커패시터의 리액턴스 크기는 무한대가 되어 개방 회로처럼 동작하며 (절연체를 통해 어떠한 전류도 흐르지 못하게 한다). 주파수가 증가함에 따라 리액턴스의 크기는 감소하여 더 많은 전류가 흐르게 된다. f\infty에 가까워짐에 따라 커패시터의 리액턴스는 0에 접근하여 단락 회로처럼 동작한다.

직류 전압을 커패시터에 가하면 한쪽에는 양의 전하가 축적되고 다른 쪽에는 음의 전하가 축적된다. 축적된 전하로 인한 전기장은 전류에 대한 저항의 원천이다. 전하와 관련된 전위가 가해진 전압과 정확히 균형을 이루면 전류는 0이 된다.

AC 전원(이상적인 AC 전류원)에 의해 구동되는 커패시터는 전위 차이가 극성을 변경하고 전하가 소스에 반환되기 전에 제한된 양의 전하만 축적한다. 주파수가 높을수록 축적되는 전하가 적고 전류에 대한 저항이 작아진다.

전적으로 리액턴스 성분만 있는 소자(즉, 기생 저항이 0인 소자)에 걸리는 전압의 위상은 용량성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 뒤지고, 유도성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 앞선다. 저항과 리액턴스를 모두 알지 못하면 전압과 전류의 관계를 결정할 수 없다.

용량성 및 유도성 리액턴스에 대한 부호가 다른 이유는 임피던스 내의 위상 인자 e^{\pm \mathbf{j}{\frac{\pi}{2}}} 때문이다.

:\begin{align}

\mathbf{Z}_C &= {1 \over \omega C}e^{-\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\left({ -\frac{1}{\omega C}}\right) = \mathbf{j}X_C \\

\mathbf{Z}_L &= \omega Le^{\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\omega L = \mathbf{j}X_L\quad

\end{align}

반응성 소자의 경우, 소자에 걸리는 정현파 전압은 소자를 통과하는 정현파 전류와 90도(\tfrac{\pi}{2} 위상차) 위상차를 갖는다. 이 소자는 회로에서 에너지를 번갈아 흡수하고 다시 회로로 에너지를 반환하므로 순수 리액턴스는 전력을 소비하지 않는다.

캐패시터 (콘덴서)에 교류 전원을 연결하면 전원의 전압이 변화하기 때문에 콘덴서는 충전·방전을 반복하며, 전압의 변화 속도(시간 미분)에 비례하는 전류가 흐른다. 이때 캐패시터의 전압 전류비(진폭비)는

:X_C=\frac{1}{\omega C}

(ω:각 주파수, ''C'':정전 용량)

으로 표시되며, 의사적인 저항으로 간주할 수 있다. 이 전압 전류비 X_C를 '''용량성 리액턴스''' (capacitive reactance)라고 한다.

이때 전압의 위상은 캐패시터에 흐르는 전류보다 π/2 rad (90도) 늦다.

또한, X_C의 부호를 상기 식과 같이 정하는 경우, 임피던스의 허수부로서의 리액턴스와는 부호가 달라진다.

※직류 전원을 연결한 경우, 상기 식의 각 주파수가 0이 되므로 용량성 리액턴스는 ∞Ω이 된다. 즉, 개방 상태가 되어 충분한 충전 시간 경과 후의 정상 상태에서는 전류는 0이다.

=== 용량 리액턴스 유도 과정 (한국어 문서 기반) ===

교류 전원과 축전기를 연결한 회로에서 전하량(Q)과 전압(V_0 \sin{\omega t}) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:Q = CV_0 \sin{\omega t}

양변을 t에 관해 미분하면 전류를 얻을 수 있다.

:I = \omega CV_0 \cos{\omega t}

2. 1. 유도 리액턴스 (Inductive Reactance)

교류 전원과 코일을 연결했을 때에 코일의 유도 기전력에 의해 반응저항이 발생한다. 이때 전류와 전압의 관계식은 다음과 같다.

:I=-\frac{V_0}{\omega L}\cos{\omega t}

여기서 위상차를 무시하면

:I=\frac{1}{\omega L}V_0

이므로 \omega L=2\pi fL 은 저항의 역할을 한다. 이를 코일의 '''유도 반응저항'''이라 하며, X_L 로 표기한다.

유도 리액턴스는 인덕터가 나타내는 특성이며, 전류가 주위에 자기장을 생성한다는 사실에 기초하여 존재한다. AC 회로(이 개념은 전류가 변화할 때마다 적용됨)에서 이 자기장은 앞뒤로 진동하는 전류의 결과로 끊임없이 변화한다. 이러한 자기장의 변화는 동일한 전선에서 다른 전류가 흐르도록 유도하여(역기전력), 자기장을 생성하는 원래 전류의 흐름에 반대하는 방향으로 흐르게 한다(렌츠의 법칙). 따라서, ''유도 리액턴스''는 소자를 통과하는 전류의 변화에 대한 반대 현상이다.

AC 회로의 이상적인 인덕터의 경우, 전류 흐름의 변화에 대한 억제 효과는 교류 전압에 비해 교류의 지연 또는 위상 이동을 초래한다. 구체적으로, 이상적인 인덕터(저항이 없는)는 전류가 전압보다 1/4 주기 또는 90° 뒤쳐지게 한다.

전력 시스템에서 유도 리액턴스(및 용량성 리액턴스, 그러나 유도 리액턴스가 더 일반적임)는 AC 송전선의 전력 용량을 제한할 수 있다. 전압과 전류가 위상이 맞지 않으면 전력이 완전히 전달되지 않기 때문이다. 즉, 위상이 맞지 않는 시스템에서도 전류가 흐르지만, 특정 시간에는 실제 전력이 전달되지 않는다. 이는 순간 전류가 양수이고 순간 전압이 음수이거나 그 반대의 경우, 즉 음수 전력 전달을 의미하기 때문이다. 따라서 전력 전달이 "음수"일 때는 실제 작업이 수행되지 않는다. 그러나 시스템의 위상이 맞지 않더라도 전류는 계속 흐르며, 이로 인해 전류 흐름으로 인해 송전선이 가열된다. 결과적으로, 송전선은 어느 정도까지만 가열될 수 있으며(그렇지 않으면 열로 인해 금속 송전선이 너무 많이 팽창하여 물리적으로 너무 많이 처질 것이다), 따라서 송전선 운영자는 주어진 선을 통해 흐를 수 있는 전류량에 대한 "상한"을 가지며, 과도한 유도 리액턴스는 선의 전력 용량을 제한할 수 있다. 전력 공급자는 사용 패턴에 따라 위상을 이동하고 손실을 최소화하기 위해 콘덴서를 사용한다. 한국의 전력 시스템에서도 유도 리액턴스는 송전선로의 전력 용량을 제한하는 요인이 될 수 있으며, 이를 보상하기 위해 전력용 콘덴서를 사용하기도 한다.

유도 리액턴스 X_L은 비례하며 정현파 신호의 주파수 f와 인덕턴스 L에 비례하며, 이는 인덕터의 물리적 형상에 따라 달라진다.

:X_L = \omega L = 2\pi f L.

실효값 A 및 주파수 f의 정현파 AC 전압원과 직렬로 연결된 인덕턴스 L을 통과하는 평균 전류는 다음과 같다.

:I_L = {A \over \omega L} = {A \over 2\pi f L}.

구형파는 정현파 고조파에서 여러 진폭을 가지므로, 실효값 A 및 주파수 f의 구형파 AC 전압원과 직렬로 연결된 인덕턴스 L을 통과하는 평균 전류는 다음과 같다.

:I_L = {A \pi^2 \over 8 \omega L} = {A\pi \over 16 f L}

따라서 구형파에 대한 유도 리액턴스가 AC 사인파에 대한 리액턴스보다 약 19% 작게 보인다 X_L = {16 \over \pi} f L.

유한한 치수를 가진 모든 도체는 인덕턴스를 갖는다. 인덕턴스는 전자기 코일의 여러 턴에 의해 더 커진다. 패러데이의 유도 법칙은 전류 루프를 통과하는 자기 선속 밀도 \scriptstyle{B}의 변화율로 인한 역기전력 \mathcal{E} (전류에 반대하는 전압)을 제공한다.

:\mathcal{E} = -{{d\Phi_B} \over dt}

N개의 루프로 구성된 코일로 이루어진 인덕터의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:\mathcal{E} = -N{d\Phi_B \over dt}.

역기전력은 전류 흐름에 대한 반대의 근원이다. 일정한 직류는 변화율이 0이므로, 인덕터를 단락으로 본다(일반적으로 낮은 저항률의 재료로 만들어진다). 교류는 주파수에 비례하는 시간 평균 변화율을 가지며, 이는 주파수에 따라 유도 리액턴스가 증가하는 원인이 된다.

전적으로 리액턴스 성분만 있는 소자(즉, 기생 저항이 0인 소자)에 걸리는 전압의 위상은 용량성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 뒤지고, 유도성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 앞선다. 저항과 리액턴스를 모두 알지 못하면 전압과 전류의 관계를 결정할 수 없다.

용량성 및 유도성 리액턴스에 대한 부호가 다른 이유는 임피던스 내의 위상 인자 e^{\pm \mathbf{j}{\frac{\pi}{2}}} 때문이다.

:\begin{align}

\mathbf{Z}_C &= {1 \over \omega C}e^{-\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\left({ -\frac{1}{\omega C}}\right) = \mathbf{j}X_C \\

\mathbf{Z}_L &= \omega Le^{\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\omega L = \mathbf{j}X_L\quad

\end{align}

반응성 소자의 경우, 소자에 걸리는 정현파 전압은 소자를 통과하는 정현파 전류와 90도(\tfrac{\pi}{2} 위상차) 위상차를 갖는다. 이 소자는 회로에서 에너지를 번갈아 흡수하고 다시 회로로 에너지를 반환하므로 순수 리액턴스는 전력을 소비하지 않는다.

인덕턴스에 교류 전원을 연결하면, 전원 전압과 반대 방향의 자기 유도 기전력이 발생한다. 이때, 인덕터의 전압 전류비(진폭비)는

(ω: 각주파수, ''L'': 자기 인덕턴스)

로 나타내어 유사 저항으로 간주할 수 있다. 이 전압 전류비 X_L 을 '''유도성 리액턴스'''(inductive reactance)라고 한다.

이때 전원 전압의 위상은 인덕터를 흐르는 전류보다 π/2 rad (90도) 앞선다.

※ 저항 성분이 없고 유도성 리액턴스뿐인 이상적인 코일에 직류 전원을 연결한 경우, 위의 식의 각주파수가 0이 되므로 저항이 0Ω, 즉 단락 상태가 된다.

2. 1. 1. 유도 리액턴스 유도 과정 (한국어 문서 기반)

교류 전원과 코일을 연결한 회로에서

: V_0\sin{\omega t} = L\frac{dI}{dt}

과 같은 관계가 성립한다. 양변을 t에 대하여 적분하면 다음과 같다.

: \int V_0\sin{\omega t}dt = \int LdI

: -\frac{1}{\omega}V_0\cos{\omega t} = LI

: \therefore I = -\frac{V_0}{\omega L}\cos{\omega t}

2. 2. 용량 리액턴스 (Capacitive Reactance)

교류 전원과 축전기를 연결했을 때 축전기의 자체 충전 및 방전의 반복에 의해 반응저항이 발생한다. 이때 전류와 전압의 관계식은 다음과 같다.

:I = \omega CV_0 \cos{\omega t}

여기서 위상차를 무시하면

:I=\omega CV_0

이므로 \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC} 은 저항의 역할을 한다. 이를 축전기의 '''용량 반응저항'''이라 하며, X_C 로 표기한다.

커패시터는 도체 두 개가 절연체 (유전체라고도 함)로 분리되어 구성된다.

''용량성 리액턴스''는 소자 양단의 전압 변화에 대한 저항이다. 용량성 리액턴스 X_C는 신호 주파수 f (또는 각주파수 \omega)와 커패시턴스 C에 반비례한다.[3]

문헌에서 커패시터에 대한 리액턴스를 정의하는 데는 두 가지 선택이 있다. 하나는 임피던스의 허수부로서 리액턴스에 대한 균일한 개념을 사용하는 것으로, 이 경우 커패시터의 리액턴스는 음수, [3][4][5]

:X_C = -\frac {1} {\omega C} = -\frac {1} {2\pi f C}.

또 다른 선택은 용량성 리액턴스를 양수로 정의하는 것이다,[6][7][8]

:X_C = \frac {1} {\omega C} = \frac {1} {2\pi f C}.

그러나 이 경우 커패시터의 임피던스에 음수 부호를 추가해야 한다. 즉, Z_c=-jX_c이다.

f=0에서 커패시터의 리액턴스 크기는 무한대가 되어 개방 회로처럼 동작하며 (절연체를 통해 어떠한 전류도 흐르지 못하게 한다). 주파수가 증가함에 따라 리액턴스의 크기는 감소하여 더 많은 전류가 흐르게 된다. f\infty에 가까워짐에 따라 커패시터의 리액턴스는 0에 접근하여 단락 회로처럼 동작한다.

직류 전압을 커패시터에 가하면 한쪽에는 양의 전하가 축적되고 다른 쪽에는 음의 전하가 축적된다. 축적된 전하로 인한 전기장은 전류에 대한 저항의 원천이다. 전하와 관련된 전위가 가해진 전압과 정확히 균형을 이루면 전류는 0이 된다.

AC 전원(이상적인 AC 전류원)에 의해 구동되는 커패시터는 전위 차이가 극성을 변경하고 전하가 소스에 반환되기 전에 제한된 양의 전하만 축적한다. 주파수가 높을수록 축적되는 전하가 적고 전류에 대한 저항이 작아진다.

전적으로 리액턴스 성분만 있는 소자(즉, 기생 저항이 0인 소자)에 걸리는 전압의 위상은 용량성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 뒤지고, 유도성 리액턴스의 경우 전류보다 \tfrac{\pi}{2} 라디안 앞선다. 저항과 리액턴스를 모두 알지 못하면 전압과 전류의 관계를 결정할 수 없다.

용량성 및 유도성 리액턴스에 대한 부호가 다른 이유는 임피던스 내의 위상 인자 e^{\pm \mathbf{j}{\frac{\pi}{2}}} 때문이다.

:\begin{align}

\mathbf{Z}_C &= {1 \over \omega C}e^{-\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\left({ -\frac{1}{\omega C}}\right) = \mathbf{j}X_C \\

\mathbf{Z}_L &= \omega Le^{\mathbf{j}{\pi \over 2}} = \mathbf{j}\omega L = \mathbf{j}X_L\quad

\end{align}

반응성 소자의 경우, 소자에 걸리는 정현파 전압은 소자를 통과하는 정현파 전류와 90도(\tfrac{\pi}{2} 위상차) 위상차를 갖는다. 이 소자는 회로에서 에너지를 번갈아 흡수하고 다시 회로로 에너지를 반환하므로 순수 리액턴스는 전력을 소비하지 않는다.

캐패시터 (콘덴서)에 교류 전원을 연결하면 전원의 전압이 변화하기 때문에 콘덴서는 충전·방전을 반복하며, 전압의 변화 속도(시간 미분)에 비례하는 전류가 흐른다. 이때 캐패시터의 전압 전류비(진폭비)는

:X_C=\frac{1}{\omega C}

(ω:각 주파수, ''C'':정전 용량)

으로 표시되며, 의사적인 저항으로 간주할 수 있다. 이 전압 전류비 X_C를 '''용량성 리액턴스''' (capacitive reactance)라고 한다.

이때 전압의 위상은 캐패시터에 흐르는 전류보다 π/2 rad (90도) 늦다.

또한, X_C의 부호를 상기 식과 같이 정하는 경우, 임피던스의 허수부로서의 리액턴스와는 부호가 달라진다.

※직류 전원을 연결한 경우, 상기 식의 각 주파수가 0이 되므로 용량성 리액턴스는 ∞Ω이 된다. 즉, 개방 상태가 되어 충분한 충전 시간 경과 후의 정상 상태에서는 전류는 0이다.

2. 2. 1. 용량 리액턴스 유도 과정 (한국어 문서 기반)

교류 전원과 축전기를 연결한 회로에서 전하량(Q)과 전압(V_0 \sin{\omega t}) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:Q = CV_0 \sin{\omega t}

양변을 t에 관해 미분하면 전류를 얻을 수 있다.

:I = \omega CV_0 \cos{\omega t}

3. 리액턴스와 저항의 비교

반응저항은 동일한 전압에서 더 큰 반응저항이 더 작은 전류를 유발한다는 점에서 저항과 유사하다. 반응저항만 있고 저항이 없는 소자들로만 구성된 회로는 저항으로만 구성된 회로와 동일한 방식으로 처리할 수 있다.[2] 그러나 반응저항과 저항 사이에는 몇 가지 중요한 차이점이 있다. 첫째, 반응저항은 위상을 변경하여 소자를 통과하는 전류가 소자에 인가된 전압의 위상에 비해 사이클의 4분의 1만큼 이동한다. 둘째, 순수 반응성 소자에서는 전력이 소모되지 않고 대신 저장된다. 셋째, 반응저항은 음수가 될 수 있으므로 서로 '상쇄'될 수 있다. 마지막으로, 반응저항을 갖는 주요 회로 소자(커패시터 및 인덕터)는 주파수에 따라 반응저항이 달라지는 반면, 저항기는 적어도 이상적인 경우에는 모든 주파수에서 동일한 저항을 갖는다.[2]

"반응저항"이라는 용어는 1893년 5월 10일 프랑스 엔지니어 M. Hospitalier가 "L'Industrie Electrique"에서 처음 제안했다. 이는 1894년 5월 미국 전기 기술자 협회(American Institute of Electrical Engineers)에서 공식적으로 채택되었다.[2]

4. 임피던스 (Impedance)

임피던스(\mathbf{Z})는 교류 회로에서 저항, 유도 리액턴스, 용량 리액턴스를 모두 포함하는 포괄적인 저항 개념이다.[5] 임피던스는 복소수로 표현되며, 실수부는 저항(R), 허수부는 리액턴스(X)를 나타낸다. \mathbf{Z} = R + \mathbf{j}X.[5]

회로에 커패시터와 인덕터가 직렬로 연결되면, 전체 회로 임피던스에 대한 기여는 서로 반대이다. 커패시턴스 리액턴스 X_C와 인덕턴스 리액턴스 X_L은 전체 리액턴스 X에 기여한다.[5][7]

:{X = X_L + X_C = \omega L -\frac {1} {\omega C}}


  • X_L은 유도성 리액턴스로, 옴 단위로 측정된다.
  • X_C는 용량성 리액턴스로, 옴 단위로 측정된다.
  • \omega는 각 주파수로, Hz 단위 주파수의 2\pi배이다.


X_LX_C가 정의에 의해 모두 양수라고 가정하면, 중간 공식이 차이로 변경된다.[7]

:{X = X_L - X_C = \omega L -\frac {1} {\omega C}}

하지만 최종 값은 동일하다.[7]

  • \scriptstyle X > 0이면, 전체 리액턴스를 유도성이라고 한다.
  • \scriptstyle X = 0이면, 임피던스는 순수 저항성입니다.
  • \scriptstyle X < 0이면, 전체 리액턴스를 용량성이라고 한다.


리액턴스 성분만 있는 소자(즉, 기생 저항이 0인 소자)에 걸리는 전압의 위상은 용량성 리액턴스의 경우 전류보다 90도(\tfrac{\pi}{2} 라디안) 뒤지고, 유도성 리액턴스의 경우 전류보다 90도(\tfrac{\pi}{2} 라디안) 앞선다.[5]

참조

[1] 서적 The Benchtop Electronics Reference Manual https://archive.org/[...] Tab Books 1987
[2] 간행물 Reactance https://ieeexplore.i[...] 1894-01-12
[3] 서적 Basic Engineering Circuit Analysis John Wiley & Sons, Inc. 2002
[4] 서적 Engineering Circuit Analysis McGraw-Hill 2007
[5] 서적 Introduction to Circuit Analysis and Design Springer 2011
[6] 서적 The Art of Electronics 2015
[7] 서적 Hughes Electrical and Electronic Technology Pearson 2012
[8] 서적 Circuit Analysis: Theory and Practice Cengage Learning 2012



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