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범함수 연결이론

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목차

1. 개요

범함수 연결 이론(TFC)은 일반적인 보간법 문제를 범함수 형태로 확장하여, 주어진 제약 조건을 만족하는 모든 가능한 함수를 표현하는 방법이다. 이는 미분방정식과 경계값 문제 해결에 활용되며, 텍사스 A&M 대학교의 다니엘 모타리 교수가 개발한 해석적 방법을 통해 구현된다. TFC는 단일 변수 및 다변수, 무한 제약 조건, 상/편미분, 미적분 방정식 등 다양한 문제에 적용 가능하며, 신경망과의 결합을 통해 효율성을 높인다. TFC는 스펙트럼 방법과 달리 분석적으로 제약 조건을 충족하며, 라그랑주 승수법과 비교하여 추가 변수 없이 제약 조건을 다룰 수 있다는 장점이 있다.

2. 일반 보간법에서 범함수 보간법으로 (From interpolation to functional interpolation)

TFC(범함수 연결 이론)는 일반적인 보간법(Interpolation) 문제를 범함수 형태로 확장하여, 주어진 제약 조건을 만족하는 모든 가능한 함수를 표현한다.[1] 이는 미분방정식(Differential equation)과 경계값 문제(Boundary value problem, BVP)로 나타낼 수 있다.

n개의 제약 조건이 일관성을 가지는 경우, 함수는 이러한 제약 조건들을 보간하여 단항식(monomials)의 집합, \{1, x, x^2, \cdots, x^{n-1}\}같은 n개의 선형적으로 독립된 보조 함수(linearly independent support functions)의 형태로 나타낸다. 선택된 보조 함수의 집합은 주어진 제약 조건과 일치할 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있다. 예를 들어, y (-1) = y (+1) = 0과 \dfrac{d y}{d x}\bigg|_{x = 0} = 1 같은 제약 조건들은 \{1, x, x^2\}와 같은 보조 함수를 사용했을 때 불일치한다. 만약 보조 함수들이 제약 조건과 일치할 경우 일반 보간법 문제를 해결할 수 있으며, 모든 제약 조건을 만족시키는 함수인 보간법을 얻을 수 있다. 다른 보조 함수의 집합을 사용하면 다른 종류의 보간 함수(Interpolant)의 결과가 나타난다.

이러한 한계는 텍사스 A&M 대학(Texas A&M University)의 다니엘 모타리(Daniele Mortari) 교수가 고안해낸 범함수 보간법을 위한 해석적 방법(Analytical Framework)을 통해 해결되었다.[2] 이 접근법에서는 주어진 제약 조건을 임의의 프로그램 자유 함수(Free function) g(\mathbf{x}) 표현을 만족시키는 범함수 f \big(\mathbf{x}, g (\mathbf{x})\big)로 구성되어있다. 제약 조건 함수로 불리는 이 범함수는 모든 발생 가능한 보간 함수를 완벽히 표현한다.

함수 및 범함수 보간법 순서도(Function and functional interpolation flowchart)


범함수 보간법(Functional Interpolation)이 범함수를 통해 표현된 보간 함수 집단을 생성하는 동안, 한 번의 보간 함수 과정에서는 단일 보간 함수를 생성한다. 이러한 범함수는 본질적으로 주어진 제약 조건을 만족하는 함수의 하위 공간을 정의하며, 문제 풀이의 공간을 제약 조건이 최적화된 문제가 위치한 곳으로 효과적으로 줄인다. 제약조건 최적화(Constrained optimization) 문제들은 범함수들을 사용함으로서 비제약 문제(Unconstrained)들로 재구성(Reformulated)될 수 있다.

TFC는 점, 도함수, 적분과 이들의 선형적인 조합을 포함하는 단일 변수(Univariate)의 제약 조건을 다룬다.[3] 또한 이 이론은 무한(Infinite)하고 다변수(Multivariate)의 제약 조건을 수용하여 확장되며 상미분(Ordinary), 편미분(Partial), 미적분(Integro-differential) 방정식을 푸는데 적용된다. 단일 변수의 TFC는 아래의 2개의 형태 중 하나로 표현된다:

:

\begin{cases}

f \big(x, g (x)\big) = g (x) + \displaystyle\sum_{j = 1}^n \eta_j \big(x, g (x)\big) \, s_j (x) \\

f \big(x, g (x)\big) = g (x) + \displaystyle\sum_{j = 1}^n \phi_j \big(x, \mathbf{s}(x)\big) \, \rho_j\big(x, g (x)\big),

\end{cases}



선형적인 제약 조건의 수는 n으로 표현하고, g (x)는 자유 함수(Free function), s_j(x)는 사용자가 정의한 선형 독립 ''보조 함수''(Linearly independent support functions)들을 나타낸다. \eta_j(x, g(x))항들은 ''범함수(Functional)의 계수(Coefficient)''이며, \phi_j(x) 는 각각의 제약을 1과 0의 값으로 나타내는 ''스위칭(Switching) 함수''들이다. 그리고 \rho_j\big(x, g(x)\big)항은 자유 함수(Free function)로 제약 조건들을 표현하는 ''전사 범함수(Projection functionals)''들이다.

2. 1. 제약 조건의 일관성 (Consistency of constraints)

2. 2. 보조 함수 (Support functions)

2. 3. 범함수 보간법 (Functional Interpolation)

범함수 보간법은 주어진 제약 조건을 만족하는 함수를 자유 함수(Free function)를 포함하는 범함수 형태로 표현한다. 이 범함수는 제약 조건을 만족하는 모든 가능한 함수를 표현하며, 자유 함수를 변경하여 다양한 형태의 함수를 생성할 수 있다.[2]

텍사스 A&M 대학교(Texas A&M University)의 다니엘 모타리(Daniele Mortari) 교수가 개발한 해석적 방법(Analytical Framework)을 통해, 주어진 제약 조건을 만족하는 범함수를 구성할 수 있다. 이 범함수는 임의의 프로그램 자유 함수 g(\mathbf{x})를 포함하며, g(\mathbf{x})를 변경함으로써 불연속적이거나 부분적으로 정의된 함수를 포함한 전체 함수 집합을 생성할 수 있다.

범함수 보간법은 주어진 제약 조건을 만족하는 함수의 하위 공간을 정의하며, 이를 통해 제약조건 최적화(Constrained optimization) 문제를 비제약 문제(Unconstrained problem)로 재구성하여 더 간단하고 효율적인 해결 방법을 제공한다.[2] 이는 정확성, 견고함, 신뢰성을 향상시킨다.

범함수 연결이론(TFC)은 이러한 변환 과정을 체계적으로 수행하는 프레임워크를 제공하며, 단일 변수 및 다변수, 무한 제약 조건, 상/편미분, 미적분 방정식을 포함한 다양한 문제에 적용될 수 있다.[3]

단일 변수의 경우 TFC는 다음 두 가지 형태 중 하나로 표현된다:[1][3]

:

\begin{cases}

f \big(x, g (x)\big) = g (x) + \displaystyle\sum_{j = 1}^n \eta_j \big(x, g (x)\big) \, s_j (x) \\

f \big(x, g (x)\big) = g (x) + \displaystyle\sum_{j = 1}^n \phi_j \big(x, \mathbf{s}(x)\big) \, \rho_j\big(x, g (x)\big),

\end{cases}



여기서 n은 선형 제약 조건의 수, g(x)는 자유 함수, s_j(x)는 사용자가 정의한 선형 독립 보조 함수, \eta_j(x, g(x))는 범함수의 계수, \phi_j(x)는 스위칭 함수, \rho_j\big(x, g(x)\big)는 전사 범함수를 나타낸다.

3. 유리함수 예제 (A rational example)

TFC가 보간법을 생성하는 방법을 설명하기 위해, 제약조건 $\dot{y}(x_1) = \dot{y}_1$과 $\dot{y}(x_2) = \dot{y}_2$을 고려하면, 이러한 제약조건들을 만족시키는 보간함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\dot{y}(x_1) = \dot{y}_1$ 과 $\dot{y}(x_2) = \dot{y}_2$을 만족하는 보간함수.

:

f_a (x) = \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_1 + \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_2,



이러한 보간법의 특성으로 도함수는 다음과 같다.

:보간법의 도함수.

:

\delta (x) = g (x) - \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_1) - \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_2),



$x_1$과 $x_2$에서 $g(x)$함수는 사라진다. 따라서 $f_a (x)$함수에 $\delta (x)$함수를 더함으로서 $g(x)$와 상관없이 제약조건들을 여전히 만족하는 범함수를 얻을 수 있다.

:제약조건들을 만족하는 범함수.

:

f \big(x, g (x)\big) = f_a (x) + \delta (x) = \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_1 + \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_2 + g (x) - \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_1) - \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_2),



이러한 특성으로 이 범함수는 제약조건 범함수(Constrained functional)로도 불린다. 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$가 의도한 대로 작동하기 위한 핵심적인 요구사항은 $\dot{g} (x_1)$항과 $\dot{g} (x_2)$항이 정의되어야 한다는 것이다. 우선 이 조건이 충족되면, $g(x)$의 무한한 유연성(infinite flexibility) 덕분에 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$는 특정한 제약조건을 넘어 어떠한 임의의 값을 자유롭게 얻을 수 있다. 중요한 점은 이 유연성은 이 문제에서 선택된 특정한 제약조건에 국한되지 않는다는 것이다. 대신에 어떠한 제약조건의 집합에 보편적(Universiality)으로 적용된다. 이러한 보편성은 TFC가 어떻게 범함수 보간을 수행하는지 설명해준다. 주어진 제약조건을 충족하는 동시에 선택된 $g(x)$를 통해 다른곳에서 완벽한 자유로운 행동을 허용한다. 본질적으로는 이 예제는 제약조건 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$가 주어진 제약조건을 만족하는 모든 가능한 함수를 포착하여 넓은 범위의 다양한 보간 문제를 다루는 TFC의 능력과 보편성을 보여주는 것을 입증한다.

예제: 2개의 절대적 제약조건들과 하나의 상대적 제약조건을 사용한 단일변수 제약조건의 범함수의 움직임

3. 1. 제약 조건 범함수 (Constrained functional)

TFC가 보간법을 생성하는 방법을 설명하기 위해, 제약조건 $\dot{y}(x_1) = \dot{y}_1$과 $\dot{y}(x_2) = \dot{y}_2$을 고려하면, 이러한 제약조건들을 만족시키는 보간함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

f_a (x) = \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_1 + \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_2,



이러한 보간법의 특성으로 도함수는 다음과 같다.

:

\delta (x) = g (x) - \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_1) - \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_2),



$x_1$과 $x_2$에서 $g(x)$함수는 사라진다. 따라서 $f_a (x)$함수에 $\delta (x)$함수를 더함으로서 $g(x)$와 상관없이 제약조건들을 여전히 만족하는 범함수를 얻을 수 있다.

:

f \big(x, g (x)\big) = f_a (x) + \delta (x) = \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_1 + \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{y}_2 + g (x) - \dfrac{x (2 x_2 - x)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_1) - \dfrac{x (x - 2 x_1)}{2 (x_2 - x_1)} \, \dot{g} (x_2),



이러한 특성으로 이 범함수는 제약조건 범함수(Constrained functional)로도 불린다. 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$가 의도한 대로 작동하기 위한 핵심적인 요구사항은 $\dot{g} (x_1)$항과 $\dot{g} (x_2)$항이 정의되어야 한다는 것이다. 우선 이 조건이 충족되면, $g(x)$의 무한한 유연성(infinite flexibility) 덕분에 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$는 특정한 제약조건을 넘어 어떠한 임의의 값을 자유롭게 얻을 수 있다. 중요한 점은 이 유연성은 이 문제에서 선택된 특정한 제약조건에 국한되지 않는다는 것이다. 대신에 어떠한 제약조건의 집합에 보편적(Universiality)으로 적용된다. 이러한 보편성은 TFC가 어떻게 범함수 보간을 수행하는지 설명해준다. 주어진 제약조건을 충족하는 동시에 선택된 $g(x)$를 통해 다른곳에서 완벽한 자유로운 행동을 허용한다. 본질적으로는 이 예제는 제약조건 범함수 $f\big(x, g(x)\big)$가 주어진 제약조건을 만족하는 모든 가능한 함수를 포착하여 넓은 범위의 다양한 보간 문제를 다루는 TFC의 능력과 보편성을 보여주는 것을 입증한다.

4. TFC의 적용 (Applications of TFC)

TFC는 전단형 및 혼합 도함수(mixed derivative)문제, 분수 연산자(fractional operators) 분석,[4] 곡면 공간(curved space)에서의 경계값 문제(BVP) 측지선(geodesics)에 대한 결정,[5] 연속성(continuation) 방법들의 기여를 포함한 다양한 응용분야에 확장 및 적용되어왔다.[6][7] 또한, TFC는 간접 최적 제어(optimal control),[8][9] 경질 화학 반응속도론(chemical kinetics)[10]의 모델링 그리고 역학 연구(epidemiological dynamics)에도 적용되었다.[11] TFC는 천체역학분야로 확정되어 이 분야에서 유명한 경계값 문제(BVP)인 Lambert의 문제가 효율적으로 해결된다.[12] 또한, 이것은 다른 분야들 중에서 비선형 최적화(nonlinear programming)[13]과 구조역학(structural mechanics)[14][15], 복사 전달(radiative transfer)[16]분야에서 잠재력을 입증했다. 효율적인 무료 파이썬(Python) TFC 툴박스(Toolbox)는 https://github.com/leakec/tfc에서 사용할 수 있다.

주목할 점은 신경망(neural networks)에서의 TFC의 적용이 뛰어난 효율성을 보여준것이다.[17][18] 특히 고차원의 문제(high-dimensional problems)들을 해결하고 가끔 전통적인 신경망으로 제약조건 제거과정을 해결할때 어려움을 격는것을 물리정보 신경망(physics-informed neural networks)[19]의 최적화 과정(optimization process)을 통해 성능을 향상시킨다. 이 기능은 계산 효율성과 정확성을 크게 향상시켜 복잡한 문제를 더욱 쉽게 해결할 수 있다. TFC는 동적시스템(dynamical systems)에서 물리적 발견을 위해 물리정보 신경망과 기호적 회기분석(symbolic regression) 기법[20]과 함께 사용되어 왔다.[21][22]

4. 1. 전단형 및 혼합 도함수 문제 (Shear and mixed derivative problems)

TFC는 전단형 및 혼합 도함수(mixed derivative) 문제, 분수 연산자(fractional operators) 분석,[4] 곡면 공간(curved space)에서의 경계값 문제(BVP) 측지선(geodesics) 결정,[5] 연속성(continuation) 방법들의 기여를 포함한 다양한 응용분야에 확장 및 적용되어왔다.[6][7] 또한, TFC는 간접 최적 제어(optimal control),[8][9] 경질 화학 반응속도론(chemical kinetics)[10]의 모델링 그리고 역학 연구(epidemiological dynamics)에도 적용되었다.[11] TFC는 천체역학분야로 확정되어 이 분야에서 유명한 경계값 문제(BVP)인 Lambert의 문제가 효율적으로 해결된다.[12]

4. 2. 분수 연산자 분석 (Fractional calculus analysis)

TFC는 분수 연산자(fractional operators) 분석에도 활용될 수 있다.[4]

4. 3. 곡면 공간에서의 경계값 문제 (Boundary value problems in curved space)

TFC는 곡면 공간(curved space)에서의 경계값 문제(BVP) 측지선(geodesics) 결정과 같은 기하학적 문제 해결에도 적용될 수 있다.[5]

4. 4. 신경망과의 결합 (Combination with Neural Networks)

범함수 연결 이론(TFC)은 신경망(neural networks)과의 결합을 통해 뛰어난 효율성을 보여준다.[17][18] 특히 고차원 문제 해결과 물리정보 신경망(physics-informed neural networks)[19]의 최적화 과정(optimization process)을 통해 성능을 향상시켜, 전통적인 신경망에서 제약 조건 제거 과정의 어려움을 극복한다. 이러한 기능은 계산 효율성과 정확성을 크게 향상시켜 복잡한 문제를 더욱 쉽게 해결할 수 있도록 돕는다.

TFC는 동적시스템(dynamical systems)에서 물리적 발견을 위해 물리정보 신경망과 기호적 회기분석(symbolic regression) 기법[20]과 함께 사용되어 왔다.[21][22]

5. 스펙트럼 방법과의 차이점 (Difference with spectral methods)

언뜻 보기에, TFC와 스펙트럼 방법은 제약조건 최적화 문제를 해결하는 접근방식에서 유사하게 보일 수 있다. 그러나 둘 사이에는 근본적인 차이가 있다.


  • '''문제풀이의 표현(Representation of solutions)''': 스펙트럼 방법은 문제풀이를 기저 함수의 합으로 나타내는 반면, TFC는 자유함수(Free function)를 기본 함수의 합으로 표현한다. 이러한 차이를 통해 TFC는 분석적으로 제약조건을 충족할 수 있으며, 스펙트럼 방법은 제약조건을 추가 데이터로 취급하여 잔차(Residual)에 따라 정확도로 근사한다.
  • '''경계값 문제에서의 계산적 접근(Computational approach in BVP)''': 선형 경계값 문제에서는 두 방법의 계산 전략은 상당히 다르다. 스펙트럼 문제들은 경계값 문제를 풀기쉬운 초기값 문제로 재구성하기 위해 전형적으로 shooting method같은 반복법을 사용한다. 반대로, TFC는 선형 최소자승법을 통해 반복절차의 필요성을 우회하는 것으로 문제를 직접 해결한다.


두 방법 모두 잔차벡터(Residual vector)가 선택된 기저함수들과 직교하도록 보장하는 갈라킨 법와 잔차벡터(Residual vector)의 노름공간(Norm)을 최소화하는 선점법 둘중 하나를 사용하여 최적화를 수행할수있다.

5. 1. 문제 해결 표현 (Representation of solutions)

스펙트럼 방법(spectral methods)은 해를 기저 함수(basis functions)의 합으로 나타내는 반면, TFC는 자유 함수(Free function)를 기본 함수의 합으로 표현한다. 이러한 차이를 통해 TFC는 분석적으로 제약 조건을 충족할 수 있으며, 스펙트럼 방법(Spectral methods)은 제약 조건을 추가 데이터로 취급하여 잔차(Residual)에 따라 정확도로 근사한다.

5. 2. 경계값 문제에서의 계산적 접근 (Computational approach in BVP)

언뜻 보기에, TFC와 스펙트럼 방법은 제약조건 최적화 문제를 해결하는 접근방식에서 유사하게 보일 수 있다. 그러나 둘 사이에는 근본적인 차이가 있다.

  • '''문제풀이의 표현(Representation of solutions)''': 스펙트럼 방법은 문제풀이를 기본함수의 합으로 나타내는 반면, TFC는 자유함수(Free function)를 기본 함수의 합으로 표현한다. 이러한 차이를 통해 TFC는 분석적으로 제약조건을 충족할 수 있으며, 스펙트럼 방법은 제약조건을 추가 데이터로 취급하여 잔차(Residual)에 따라 정확도로 근사한다.
  • '''경계값 문제에서의 계산적 접근(Computational approach in BVP)''': 선형 경계값 문제에서는 두 방법의 계산 전략은 상당히 다르다. 스펙트럼 문제들은 경계값 문제를 풀기 쉬운 초기값 문제로 재구성하기 위해 전형적으로 shooting method같은 반복법을 사용한다. 반대로, TFC는 선형 최소자승법을 통해 반복 절차의 필요성을 우회하는 것으로 문제를 직접 해결한다.


두 방법 모두 잔차벡터(Residual vector)가 선택된 기저함수들과 직교하도록 보장하는 갈라킨 법와 잔차벡터(Residual vector)의 노름공간(Norm)을 최소화하는 선점법 둘 중 하나를 사용하여 최적화를 수행할 수 있다.

6. 라그랑주 승수법과의 차이점 (Difference with Lagrange multipliers technique)

라그랑주 승수법(Lagrange multipliers)은 최적화 문제(optimization problem)에서 제약조건들을 두기 위해 널리 사용되는 접근 방식이다. 이 기술은 제약조건들의 시행간 계산하기위한 승수(multipliers)로 불리는 추가 변수(variables)를 사용한다. 이러한 승수의 계산은 어떤 경우에는 간단하지만, 다른 경우에은 어렵거나 실질적으로 불가능할 수 있으며, 이것은 문제에 상당한 복잡성을 더할 수 있다. 이와 대조적으로, TFC는 새로운 변수를 추가하지 않으면서 문제풀이의 어려움에 직면하지않고 제약조건의 범함수의 도출을 가능하게 한다. 그러나 라그랑주 승수법은 부등식 제약조건(inequality constraints)을 다루는 장점을 가지고 있고 이것은 현재 TFC에서 부족한 능력이다.

두 접근법의 주목할 만한 한계는 특히 비 볼록함수(non-convex) 문제의 맥락속에서 보장된 전역적 최적해(global optimum)가 아닌 국소 최적해(local optima)에 해당하는 솔루션을 생성하는 경향이 있다. 결과적으로, 획득한 문제해결 방법의 질과 전역적인 타당성을 평가하고 확인하기위해 추가의 검증절차 또는 대체 방법이 필요할수도 있다. 요약하자면, TFC가 라그랑주 승수법을 완전히 대체하지는 않지만, 제약조건이 등식으로만 제한되면서 승수 계산이 지나치게 복잡하거나 불가능해지는 경우 강력한 대안이 될수있다.

6. 1. 라그랑주 승수법의 한계 (Limitations of Lagrange Multipliers)

라그랑주 승수법은 최적화 문제에서 제약조건을 설정하기 위해 널리 사용되는 방법이다. 이 방법은 제약조건을 적용하기 위해 승수(multipliers)라고 불리는 추가 변수를 도입한다. 이러한 승수 계산은 어떤 경우에는 간단하지만, 다른 경우에는 어렵거나 실질적으로 불가능할 수 있으며, 이는 문제에 상당한 복잡성을 더할 수 있다.

반면, 범함수 연결이론(TFC)은 새로운 변수를 추가하지 않고도 제약조건을 만족하는 범함수를 도출할 수 있게 한다. 그러나 라그랑주 승수법은 부등식 제약조건을 다룰 수 있는 반면, TFC는 현재 등식 제약 조건만 처리 가능하다는 한계가 있다.

두 접근 방식 모두 비볼록함수(non-convex) 문제에서 보장된 전역적 최적해(global optimum)가 아닌 국소 최적해에 해당하는 솔루션을 생성하는 경향이 있다. 따라서, 획득한 문제 해결 방법의 질과 전역적인 타당성을 평가하고 확인하기 위해 추가적인 검증 절차 또는 대체 방법이 필요할 수 있다. TFC가 라그랑주 승수법을 완전히 대체하지는 않지만, 제약 조건이 등식으로만 제한되고 승수 계산이 지나치게 복잡하거나 불가능한 경우 강력한 대안이 될 수 있다.

참조

[1] 논문 Theory of Functional Connections Subject to Shear-Type and Mixed Derivatives 2022-01
[2] 논문 The Theory of Connections: Connecting Points 2017-12
[3] 논문 Theory of Functional Connections Applied to Linear ODEs Subject to Integral Constraints and Linear Ordinary Integro-Differential Equations 2021-09
[4] 논문 Theory of Functional Connections Extended to Fractional Operators 2023-01
[5] 논문 Using the Theory of Functional Connections to Solve Boundary Value Geodesic Problems 2022-08
[6] 논문 A TFC-based homotopy continuation algorithm with application to dynamics and control problems https://www.scienced[...] 2022-02-01
[7] 논문 Low-energy Earth–Moon transfers via Theory of Functional Connections and homotopy https://link.springe[...] 2024-06
[8] 논문 Time-energy optimal landing on planetary bodies via theory of functional connections https://www.scienced[...] 2022-06-15
[9] 서적 The Use of Artificial Intelligence for Space Applications Springer Nature Switzerland 2023
[10] 논문 Physics-informed neural networks and functional interpolation for stiff chemical kinetics https://doi.org/10.1[...] 2022-06-01
[11] 논문 Physics-Informed Neural Networks and Functional Interpolation for Data-Driven Parameters Discovery of Epidemiological Compartmental Models 2021-01
[12] 논문 Application of the Theory of Functional Connections to the Perturbed Lambert's Problem 2024-09
[13] 논문 Theory of functional connections applied to quadratic and nonlinear programming under equality constraints https://www.scienced[...] 2022-05-01
[14] 논문 Analysis of Timoshenko–Ehrenfest beam problems using the Theory of Functional Connections https://www.scienced[...] 2021-11-01
[15] 논문 Analysis of nonlinear Timoshenko–Ehrenfest beam problems with von Kármán nonlinearity using the Theory of Functional Connections https://www.scienced[...] 2023-03-01
[16] 논문 Solutions of Chandrasekhar's basic problem in radiative transfer via theory of functional connections https://www.scienced[...] 2021-01-01
[17] 논문 Deep Theory of Functional Connections: A New Method for Estimating the Solutions of Partial Differential Equations 2020-03
[18] 논문 Extreme theory of functional connections: A fast physics-informed neural network method for solving ordinary and partial differential equations https://www.scienced[...] 2021-10-07
[19] 논문 Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations https://www.scienced[...] 2019-02-01
[20] 웹인용 MilesCranmer/PySR https://github.com/M[...] 2024-11-21
[21] 논문 AI-Aristotle: A physics-informed framework for systems biology gray-box identification 2024-03-12
[22] 논문 AI-Lorenz: A physics-data-driven framework for Black-Box and Gray-Box identification of chaotic systems with symbolic regression https://www.scienced[...] 2024-11-01


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