유니터리 작용소

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 등거리 변환 및 공등거리 변환과의 관계
3. 성질
- 3.1. 선형성
4. 예시
5. 일반화
참조

1. 개요

유니터리 작용소는 힐베르트 공간에서 정의되는 유계 선형 작용소로, 작용소와 그 에르미트 수반의 곱이 항등 작용소와 같아지는 경우를 말한다. 이는 전사 함수이며 내적을 보존하는 등거리 변환이자, 전사 등거리 변환과 동치이다. 유니터리 작용소의 스펙트럼은 단위 원 위에 놓이며, 유한 차원 실수 힐베르트 공간에서는 직교 행렬, 복소 힐베르트 공간에서는 유니터리 행렬과 같다. 푸리에 변환, 시프트 연산자, 양자 논리 게이트 등이 유니터리 작용소의 예시이며, 단위적 *-환에서의 유니터리 원소 개념으로 일반화될 수 있다.

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유니터리 작용소
개요
복소 벡터 공간에서 유니타리 변환은 두 벡터 사이의 각도를 보존한다.
분야	함수 해석학
정의	사상 유니타리 연산자 힐베르트 공간 에서 경계 선형 연산자 : →
성질	전사, 내적 보존
정의
힐베르트 공간 H 위에서의 유니타리 연산자 U	전사(surjective)인 경계 선형 연산자 임의의 x, y ∈ H에 대해 ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩을 만족
성질
유니타리 연산자 U	UU = UU = I (여기서 U는 U의 에르미트 수반이고 I는 항등 연산자) U는 가역적이고, U−1 = U U의 노름은 1 U는 정규 연산자 U의 고윳값의 절댓값은 1
유니타리 연산자의 집합	힐베르트 공간 위에서의 유니타리 연산자는 군을 이룬다.
스펙트럼 정리	모든 유니타리 연산자는 어떤 측도 공간 에 대한 L2() 공간 위의 곱셈 연산자와 유니타리 동치이다.
유한 차원 힐베르트 공간
행렬 표현	복소수체에 대한 유한 차원 힐베르트 공간 위에서, 유니타리 연산자는 유니타리 행렬로 표현된다. 실수체에 대한 유한 차원 힐베르트 공간 위에서, 유니타리 연산자는 직교 행렬로 표현된다.
같이 보기
관련 항목	반유니타리 연산자 유니타리 행렬 직교 행렬

2. 정의

힐베르트 공간 $(\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle)$ 위의 유계 작용소 $U\colon\mathcal H\to\mathcal H$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유계 작용소를 '''유니터리 작용소'''라고 한다.

$U^\dagger U=UU^\dagger=I$ ( $U^\dagger$ 는 $U$ 의 에르미트 수반)
$U$ 는 전사 함수이며, 모든 $u,v\in\mathcal H$ 에 대하여 $\langle Uu|Uv\rangle=\langle u|v\rangle$ 이다.
$U$ 의 상은 $\mathcal H$ 의 조밀 집합이며, 모든 $u,v\in\mathcal H$ 에 대하여 $\langle Uu|Uv\rangle=\langle u|v\rangle$ 이다.

이 정의에서 정의역과 공역이 다를 수 있도록 허용하면 힐베르트 공간의 범주에서 동형 사상의 개념이 포착된다. 등거리 변환은 코시 수열을 보존하므로 힐베르트 공간의 완비성이 보존된다.^[3]

유니터리 작용소는 힐베르트 공간의 자기 동형 사상이며, 작용소가 작용하는 공간의 구조(벡터 공간 구조, 내적, 그리고 위상)를 보존한다. 주어진 힐베르트 공간에서 자기 자신으로 가는 모든 유니터리 작용소의 군은 힐베르트 군이라고 불리며,

\operatorname{Hilb}(\mathcal H)

또는

U(\mathcal H)

로 표기한다.

2. 1. 등거리 변환 및 공등거리 변환과의 관계

힐베르트 공간 위의 유계 작용소

U\colon\mathcal H\to\mathcal H

에 대한 유니터리 작용소의 정의에서 상에 대한 조건을 생략하면 '''등거리 변환'''이 된다.^[1] 등거리 변환은

U^\dagger U=I

를 만족하지만,

UU^\dagger=I

는 만족하지 않을 수 있다.

UU^\dagger=I

만 만족하는 작용소는 '''공등거리 변환'''(Coisometry)이라고 한다.^[6] 따라서 유니터리 작용소는 등거리 변환이자 공등거리 변환인 유계 선형 작용소이다.^[1]

3. 성질

유니터리 작용소의 스펙트럼은 단위 원 위에 놓인다. 즉, 스펙트럼에 포함되는 모든 복소수 λ에 대해 |λ| = 1이 성립한다. 이는 정규 작용소에 대한 스펙트럼 정리의 결과이다. 정리에 따르면, U는 어떤 유한한 측도 공간에서 보렐 가측 함수 f를 곱하는 것과 유니터리 동치이다. UU* = I는 |f(x)|² = 1, μ-a.e.를 의미한다. 이는 f의 본질적인 치역, 즉 U의 스펙트럼이 단위 원 위에 놓인다는 것을 보여준다.

선형 사상이 전사이면서 등거리 사상이면 유니터리 사상이다. (분극 항등식을 사용하여 "만약" 부분을 증명할 수 있다.)

3. 1. 선형성

유니터리 작용소 정의에서 선형성 조건은 그 의미를 바꾸지 않고 삭제할 수 있는데, 이는 내적의 선형성과 양의 정부호 성질로부터 유도될 수 있기 때문이다.

:

\begin{align}\| \lambda U(x) -U(\lambda x) \|^2 &= \langle \lambda U(x) -U(\lambda x), \lambda U(x)-U(\lambda x) \rangle \\[5pt]&= \| \lambda U(x) \|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \langle U(\lambda x), \lambda  U(x) \rangle - \langle \lambda U(x), U(\lambda  x) \rangle \\[5pt]&= |\lambda|^2 \| U(x)\|^2 + \| U(\lambda x) \|^2 - \overline{\lambda} \langle U(\lambda x), U(x) \rangle - \lambda  \langle U(x), U(\lambda x) \rangle \\[5pt]&= |\lambda|^2 \| x \|^2 + \| \lambda x \|^2 - \overline{\lambda} \langle \lambda x, x \rangle - \lambda \langle x, \lambda x \rangle \\[5pt]&= 0\end{align}

마찬가지로, 다음을 얻는다.

:

\| U(x+y)-(Ux+Uy)\| = 0.

4. 예시

항등 함수는 항상 유니터리 작용소이다.^[4] 유한 차원 실수 힐베르트 공간에서 유니터리 작용소는 직교행렬이고, 유한 차원 복소 힐베르트 공간에서 유니터리 작용소는 유니터리 행렬이다.^[4]

힐베르트 공간 $\mathcal H$ 의 기저 $\mathcal B\subset\mathcal H$ 위의 대칭군 $\operatorname{Sym}(\mathcal B)$ 의 원소 $\sigma\in\operatorname{Sym}(\mathcal B)$ 로부터 유도되는 선형변환은 유니터리 작용소이다.

유클리드 공간 위의 복소수 L² 공간 $L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)$ 위의 푸리에 변환 연산자는 유니터리 작용소이다. (파르세발 정리)

복소수의 벡터 공간에서, 절댓값이 1인 복소수 (예: )를 곱하는 것은 유니터리 작용소이다.

정수로 인덱싱된 수열 공간에서의 양방향 시프트는 유니터리이다. 단방향 시프트는 등거리 변환이지만 유니터리 작용소는 아니다.

5. 일반화

단위적 **-환에서, 어떤 원소 U가 다음 성질을 만족하면 유니터리 원소라고 부른다.

: ''U''^∗''U'' = ''UU''^∗ = ''I'' ^[7]

여기서 ''I''는 단위 원소이다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적 Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems Marcel Dekker

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