모멘트 문제

3. 고전적 모멘트 문제

어떤 측도 공간 $X$ 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 $\backslash \{u\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}\backslash in\; L^1(X)$이 주어졌다고 하자. '''모멘트 문제'''는 주어진 수열 $\backslash \{m\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$에 대해 다음 두 가지 질문을 다루는 문제이다.

• '''존재 문제''': $\backslash int\_X\; u\_i\; f\; =\; m\_i$ 를 모든 $i\backslash in\; I$에 대해 만족하는 함수 $f$가 존재하는가?
• '''유일성 문제''': 위 조건을 만족하는 함수 $f$가 존재한다면, 그 함수는 유일한가? 만약 유일하지 않다면, 이러한 함수 $f$들의 공간은 어떤 형태인가?

• '''함부르거 모멘트 문제'''(Hamburger moment problem^영어): 측도 $\backslash mu$의 지지 집합이 실수 전체($X=\backslash mathbb\; R$)이고, 함수열이 $u\_i=x^i\backslash qquad(i=0,1,2,\backslash dots)$인 경우이다.
• '''스틸티어스 모멘트 문제'''(Stieltjes moment problem^영어): 측도 $\backslash mu$의 지지 집합이 음이 아닌 실수 전체($X=[0,\backslash infty)$)이고, 함수열이 $u\_i=x^i\backslash qquad(i=0,1,2,\backslash dots)$인 경우이다.
• '''하우스도르프 모멘트 문제'''(Hausdorff moment problem^영어): 측도 $\backslash mu$의 지지 집합이 닫힌 구간 $[0,1]$(또는 일반성의 손실 없이 다른 유계 닫힌 구간)이고, 함수열이 $u\_i=x^i\backslash qquad(i=0,1,2,\backslash dots)$인 경우이다.

3. 1. 함부르거 모멘트 문제 (Hamburger moment problem)

4. 삼각 모멘트 문제

모멘트 문제는 복소해석학으로 확장되어 삼각 모멘트 문제가 되기도 한다. 이 문제에서는 행렬이 토플리츠 행렬로 대체되며, 측도 μ의 지지 집합은 실수선 대신 복소 단위 원이다.

5. 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식 (Chebyshev–Markov–Krein inequality)

'''체비쇼프-마르코프-크레인 부등식'''(Chebyshev–Markov–Krein inequality^영어)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

$X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, $\backslash mu$가 $X$ 위의 측도이며, 라고 하자. $U\backslash subset\backslash mathcal\; C(X;\backslash mathbb\; R)$가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, $U$가 모든 $x\backslash in\; X$에 대하여 $f(x)>0$인 함수 $f$를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

$V(U,\backslash mu)$가 다음 조건을 만족하는 측도 $\backslash nu$들의 집합이라고 하자.

:$\backslash int\_Xu\backslash ,d\backslash mu=\backslash int\_Xu\backslash ,d\backslash nu\backslash qquad\backslash forall\; u\backslash in\; U$

:

임의의 $f\backslash in\; L^1(X,\backslash mu;\backslash mathbb\; R)$에 대하여, '''체비쇼프-마르코프-크레인 부등식'''은 다음 집합의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

:$\backslash left\backslash \{\backslash nu\backslash in\; V(U,\backslash mu)\backslash colon\; \backslash int\_Xf\backslash ,d\backslash nu\backslash right\backslash \}$

이 경우, 다음이 성립한다.

:$\backslash inf\_\{\backslash nu\backslash in\; V(U,\backslash mu)\}\backslash int\_Xf\backslash ,d\backslash nu=\backslash sup\_\{u\backslash in\; U,\backslash ,u\backslash le\; f\}\backslash int\_Xu\backslash ,d\backslash mu$

따라서, $\backslash \{\backslash nu\backslash in\; V(U,\backslash mu)\backslash colon\; \backslash int\_Xf\backslash ,d\backslash nu\backslash \}$의 상한·하한을 찾는 문제는 다음 값의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다.

:$\backslash \{\backslash |u-f\backslash |\_1\backslash colon\; u\backslash in\; U\backslash \}$

임의의 $u\_0\backslash in\; U$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

• $u\_0$는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 $x\backslash in\; X$에 대하여 $u\_0(x)\backslash le\; f(x)$이다.
• 다음 두 조건을 만족시키는 점 $x\_1,\backslash dots,x\_k\backslash in\; X$ 및 양의 실수 $\backslash lambda\_1,\backslash dots,\backslash lambda\_k\backslash in\backslash mathbb\; R^+$가 존재한다 ($1\backslash le\; k\backslash le\; \backslash dim\; U$).
• * 모든 $i=1,\backslash dots,k$에 대하여 $f(x\_i)=u\_0(x\_i)$이다.
• * 모든 $u\backslash in\; U$에 대하여 $\backslash textstyle\backslash int\_Xu\backslash ,d\backslash mu=\backslash sum\_\{i=1\}^k\backslash lambda\_iu(x\_i)$이다.

6. 구간 위의 모멘트 문제

닫힌구간 $[a,b]$ 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 $T\backslash subset\backslash mathcal\; C^0([a,b];\backslash mathbb\; R)$에 대하여, 임의의 $u\backslash in\; T\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$에 대하여 $u$가 $n$개 미만의 영점들을 갖는다면, $T$를 '''체비쇼프 공간'''(Chebyshev space^영어, T-space^영어)이라고 하며, 그 기저를 '''체비쇼프 계'''(Chebyshev system^영어, T-system^영어)라고 한다.

$[a,b]$ 위의 체비쇼프 공간 $T$가 주어졌다고 하자. $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\backslash mu$가, 임의의 $u\backslash in\; T\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$에 대하여 만약 $u(x)\backslash ge0\backslash forall\; x\backslash in[a,b]$이면 $\backslash int\; u\backslash ,d\backslash mu>0$이라고 하자. 그렇다면, $\backslash mu$에 대하여,

:$\backslash int\_a^bu\backslash ,d\backslash mu=\backslash int\_a^b\; u\backslash ,d\backslash nu\backslash qquad\backslash forall\; u\backslash in\; T$

이며

:

인 꼴의 측도 $\backslash nu$가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 $x\_n=b$를 갖는다. 이를 $\backslash mu\_\backslash pm$이라고 하며, $\backslash mu$의 상·하 '''주표현'''(upper/lower principal representation^영어)이라고 한다. 임의의 $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\backslash nu\backslash in\; V(U,\backslash mu)$에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.

:$\backslash int\_a^bf\backslash ,d\backslash mu\_-\backslash le\backslash int\_a^bf\backslash ,d\backslash mu\backslash le\backslash int\_a^bf\backslash ,d\backslash mu\_+$

즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

수열 $m\_n$이 측도 $\backslash mu$의 모멘트 수열이 될 필요충분 조건은 특정 양수 조건이 충족되는 것이다. 즉, 행켈 행렬 $H\_n$

:$(H\_n)\_\{ij\}\; =\; m\_\{i+j\}\backslash ,,$

는 양의 반정부호여야 한다. 이는 양의 반정부호 행켈 행렬이 $\backslash Lambda(x^n)\; =\; m\_n$ 및 $\backslash Lambda(f^2)\; \backslash geq\; 0$(다항식 제곱의 합에 대해 음수 아님)을 만족하는 선형 범함수 $\backslash Lambda$에 해당하기 때문이다. $\backslash Lambda$가 $\backslash mathbb\{R\}[x]^*$로 확장될 수 있다고 가정하자. 일변수 경우, 음수 아닌 다항식은 항상 제곱의 합으로 쓸 수 있다. 따라서 선형 범함수 $\backslash Lambda$는 일변수 경우의 모든 음수 아닌 다항식에 대해 양수이다. Haviland의 정리에 의해, 선형 범함수는 측도 형태를 가지며, 즉 $\backslash Lambda(x^n)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; x^n\; d\; \backslash mu$이다. 유사한 형태의 조건은 주어진 구간 $[a,b]$에서 지지되는 측도 $\backslash mu$의 존재에 필요하고 충분하다.

이러한 결과를 증명하는 한 가지 방법은 다항식을 보내는 선형 범함수 $\backslash varphi$를 고려하는 것이다.

:$P(x)\; =\; \backslash sum\_k\; a\_k\; x^k$

다음으로:

:$\backslash sum\_k\; a\_k\; m\_k.$

만약 $m\_k$가 $[a,b]$에서 지지되는 어떤 측도 $\backslash mu$의 모멘트라면, 명백히

:$\backslash varphi(P)\; \backslash ge\; 0$ for any polynomial $P$ that is non-negative on $[a,b]$. (1)

반대로, (1)이 성립한다면, M. Riesz 확장 정리를 적용하여 $\backslash varphi$를 컴팩트 지지를 갖는 연속 함수 공간 $C\_c([a,b])$의 범함수로 확장할 수 있으며, 따라서

:$\backslash varphi(f)\; \backslash ge\; 0$ for any $f\; \backslash in\; C\_c([a,b]),\backslash ;f\backslash ge\; 0.$ (2)

Riesz 표현 정리에 의해, (2)는 다음과 같은 측도 $\backslash mu$가 $[a,b]$에서 지지될 경우에만 성립한다.

:$\backslash varphi(f)\; =\; \backslash int\; f\; \backslash ,\; d\backslash mu$

모든 $f\; \backslash in\; C\_c([a,b])$에 대해.

따라서 측도 $\backslash mu$의 존재는 (1)과 동치이다. $[a,b]$에서 양수 다항식에 대한 표현 정리를 사용하면, (1)을 행켈 행렬에 대한 조건으로 재구성할 수 있다.

중요한 변형은 고정된 처음 ''k''차 모멘트(유한 ''k''에 대해)를 갖는 측도의 성질을 연구하는 절단된 모멘트 문제이다. 절단된 모멘트 문제에 대한 결과는 극치 문제, 최적화 및 확률론의 극한 정리에 많은 응용 분야를 가지고 있다.

7. 확률론에서의 응용

모멘트 문제는 확률론에 응용된다.^[1] 다음은 일반적으로 사용된다:

'''정리 (프레셰-쇼하트)'''

$\backslash mu$가 결정적 측도(즉, 모멘트가 이를 고유하게 결정하는 경우)이고, 측도 $\backslash mu\_n$이 다음을 만족하는 경우

$$$$

\forall k \geq 0 \quad \lim _{n \rightarrow \infty} m_k\left[\mu_n\right]=m_k[\mu],

그러면 $\backslash mu\_n\; \backslash rightarrow\; \backslash mu$는 분포에서 수렴한다.

칼레만의 조건을 확인하여 표준 정규 분포가 결정적 측도임을 알 수 있으며, 따라서 중심 극한 정리의 다음 형식을 얻는다.

'''따름 정리'''

확률 분포의 수열 $\backslash nu\_n$이 $$m\_\{2k\}[\backslash nu\_n]\; \backslash to\; \backslash frac\{(2k)!\}\{2^k\; k!\};\; \backslash quad\; m\_\{2k+1\}[\backslash nu\_n]\; \backslash to\; 0$$을 만족하면, $\backslash nu\_n$은 분포에서 $N(0,\; 1)$로 수렴한다.

8. 예

실수선 위의 함수

:$f(x)=\backslash exp(-(\backslash ln\; x)^2)$

를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.

:

그러나 크레인 조건에 따라

:

이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은

:$m\_\{2n\}\backslash sim\; \backslash exp(n^2)\backslash gg(2n)!\backslash sim\backslash exp\backslash left(2n\backslash ln\; n+\backslash cdots\backslash right)$

이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.