파르스발 항등식

1. 개요

파르스발 항등식은 힐베르트 공간에서 정의된 함수의 크기 제곱이 푸리에 계수의 제곱 합과 같다는 것을 나타내는 식이다. 이 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간에서 피타고라스 정리와 유사한 형태로 표현되며, 내적 공간에서도 성립한다. 내적 공간 H의 정규 직교 기저 B에 대해, 파르스발 항등식은 벡터의 각 성분 제곱의 합이 그 벡터의 길이의 제곱과 같다는 것을 보여준다. B가 전체 집합이 아닌 경우 베셀 부등식이 성립하며, 이 일반적인 형태는 리즈-피셔 정리를 통해 증명할 수 있다.

2. 파르세발 항등식

함수 $f(x)$가 힐베르트 공간 $L^2([-\backslash pi,\; \backslash pi])$에 속하고, 정규 직교 기저 $\backslash \{e^\{inx\}\; :\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}\backslash \}$를 가질 때, $f(x)$의 푸리에 계수는 다음과 같이 정의된다.

:$c\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\; f(x)\; e^\{-inx\}\; \backslash ,\; dx$

파르세발 항등식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash Vert\; f\; \backslash Vert^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\; \backslash int\_\{-\backslash pi\}^\backslash pi\; |f(x)|^2\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\backslash infty\; |c\_n|^2$

즉, 함수 $f(x)$의 크기 제곱은 푸리에 계수들의 제곱 합과 같다.

이 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간에서 피타고라스 정리와 관련이 있다. $H$가 내적 $\backslash langle\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,,\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,\; \backslash rangle$를 갖는 힐베르트 공간이고, $\backslash left(e\_n\backslash right)$이 $H$의 정규 직교 기저일 때 (즉, $e\_n$의 선형 덮개는 $H$에서 조밀하고, $e\_n$은 서로 정규 직교한다), 파르세발 항등식에 따르면 모든 $x\; \backslash in\; H$에 대해 다음이 성립한다.

:$$\backslash sum\_n\; \backslash left|\backslash left\backslash langle\; x,\; e\_n\; \backslash right\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; \backslash |x\backslash |^2.$$

이는 정규 직교 기저에서 벡터의 성분 제곱의 합은 벡터의 제곱 길이와 같다는 점에서 피타고라스 정리와 유사하다.

$H$를 힐베르트 공간 $L^2[-\backslash pi,\; \backslash pi]$로 놓고, $n\; \backslash in\; \backslash Z$에 대해 $e\_n\; =\; \backslash frac\{e^\{-i\; n\; x\}\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\}$로 설정하면 파르세발 항등식의 푸리에 급수 버전을 얻을 수 있다.

더 일반적으로, 파르세발 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간뿐만 아니라 모든 내적 공간에서 성립한다. $H$가 내적 공간이고, $B$가 $H$의 정규 직교 기저 (즉, $B$의 선형 덮개가 $H$에서 조밀하다는 의미에서 전체(total)인 정규 직교 집합)이면, 다음과 같다.

:$$\backslash |x\backslash |^2\; =\; \backslash langle\; x,x\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{v\backslash in\; B\}\backslash left|\backslash langle\; x,v\backslash rangle\backslash right|^2.$$

$B$가 전체 집합이라는 가정은 항등식이 유효하기 위해 필요하다. $B$가 전체 집합이 아니면, 파르세발 항등식의 등식은 $\backslash ,\; \backslash geq,$로 대체되어 베셀 부등식이 된다. 파르세발 항등식의 일반적인 형태는 리즈-피셔 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

3. 피타고라스 정리의 일반화

파르스발 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간에서 피타고라스 정리와 유사한 관계를 갖는다. 내적 <•,•>을 갖는 힐베르트 공간 H와 H의 정규 직교 기저 (e_n)에 대해, 파르스발 항등식은 모든 x ∈ H에 대해 다음 식을 만족한다.

:$\backslash sum\_n\; \backslash left|\backslash left\backslash langle\; x,\; e\_n\; \backslash right\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; \backslash |x\backslash |^2.$

이는 정규 직교 기저에서 벡터의 성분 제곱의 합이 벡터의 제곱 길이와 같다는 점에서 피타고라스 정리와 유사하다.

H를 힐베르트 공간 $L^2[-\backslash pi,\; \backslash pi]$로 놓고, $n\; \backslash in\; \backslash Z$에 대해 $e\_n\; =\; \backslash frac\{e^\{-i\; n\; x\}\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\}$로 설정하면 파르스발 항등식의 푸리에 급수 버전을 얻을 수 있다.

3.1. 일반적인 내적 공간으로의 확장

$H$가 내적 $\backslash langle\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,,\; \backslash ,\backslash cdot\backslash ,\; \backslash rangle$를 갖는 힐베르트 공간이라고 가정한다. $\backslash left(e\_n\backslash right)$을 $H$의 정규 직교 기저라고 하면, $e\_n$의 선형 덮개는 $H$에서 조밀하고, $e\_n$은 서로 정규 직교한다.

:$\backslash langle\; e\_m,\; e\_n\backslash rangle\; =\; \backslash begin\{cases\}$
1 & \mbox{if}~ m = n \\
0 & \mbox{if}~ m \neq n.
\end{cases}

그러면 파르세발 항등식은 모든 $x\; \backslash in\; H$에 대해 다음이 성립함을 나타낸다.

:$$\backslash sum\_n\; \backslash left|\backslash left\backslash langle\; x,\; e\_n\; \backslash right\backslash rangle\backslash right|^2\; =\; \backslash |x\backslash |^2.$$

이는 피타고라스 정리와 직접적으로 유사하며, 정규 직교 기저에서 벡터의 성분 제곱의 합은 벡터의 제곱 길이와 같다고 주장한다.

더 일반적으로, 파르세발 항등식은 분리 가능한 힐베르트 공간뿐만 아니라 모든 내적 공간에서도 성립한다. 따라서 $H$가 내적 공간이라고 가정하고, $B$를 $H$의 정규 직교 기저라고 하자. 즉, $B$의 선형 덮개가 $H$에서 조밀하다는 의미에서 전체(total)인 정규 직교 집합이다. 그러면

:$$\backslash |x\backslash |^2\; =\; \backslash langle\; x,x\backslash rangle\; =\; \backslash sum\_\{v\backslash in\; B\}\backslash left|\backslash langle\; x,\; v\backslash rangle\backslash right|^2.$$

이때, $B$가 전체 집합이라는 가정이 있어야 항등식이 유효하다. 만약 $B$가 전체 집합이 아니라면 파르세발 항등식의 등호는 $\backslash ,\; \backslash geq,$로 대체되어야 하며, 이로 인해 베셀 부등식이 된다. 파르세발 항등식의 이 일반적인 형태는 리즈-피셔 정리를 사용하여 증명할 수 있다.