변심거리

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1. 개요
2. 성질
3. 변심거리 계산
4. 현 (기하학)
- 4.1. 예시
5. 정다각형
참조

1. 개요

변심거리는 정다각형의 넓이 계산에 사용되는 개념으로, 정다각형의 중심에서 변까지의 최단 거리이자 내접원의 반지름과 같다. 정다각형의 넓이는 변심거리, 한 변의 길이, 변의 개수를 이용하여 계산할 수 있으며, 변의 개수가 무한대에 가까워지면 원의 넓이 공식으로 이어진다. 변심거리는 한 변의 길이 또는 외접원 반지름을 이용하여 계산할 수 있으며, 둘레와 변의 개수만으로도 구할 수 있다.

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변심거리
정의
설명	다각형의 중심에서 한 변의 중점까지의 선분
속성
관련 도형	다각형
특징	중심에서 변까지의 최단 거리 정다각형에서 모든 변에 대한 길이는 동일함
공식 (정다각형)
변의 수	'n'
변의 길이	's'
변심거리	'a'
넓이	'A'
공식	A = (n * s * a) / 2
다른 이름
영어	apothem, apo
기타	중심거리, 수심거리

2. 성질

변심거리 ''a''는 변의 길이가 ''s''인 정 ''n''각형의 넓이를 구하는 데 사용될 수 있다. 정다각형의 넓이(A)는 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}.$

:(''p''는 정다각형의 둘레)

이 공식은 정 ''n''각형을 ''n''개의 합동인 이등변삼각형으로 나누어 유도할 수 있다. 이때 변심거리는 각 삼각형의 높이가 되고, 삼각형의 넓이는 밑변의 절반에 높이를 곱한 것과 같다.^[1]

정다각형의 변심거리는 항상 내접원의 반지름과 같다. 또한 정다각형의 중심에서 변까지의 최단 거리이다.^[1]

변의 개수가 무한대에 가까워지면 정다각형의 넓이는 내접원의 넓이에 가까워진다. 반지름이 ''r''인 내접원의 넓이는 다음과 같다.^[1]

: $A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2$

3. 변심거리 계산

정다각형의 변심거리 ''a''는 한 변의 길이 ''s''이거나 외접원 반지름이 ''R''인 정''n''각형에서 다음 공식을 사용하여 구할 수 있다.

: $a = \frac{s}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n}.$

다음 공식으로도 변심거리를 구할 수 있다.

: $a = \frac{s}{2}\tan\frac{\pi(n - 2)}{2n}.$

둘레 ''p''와 변의 개수 ''n''만 주어져도 위 공식을 이용해 변심거리를 구할 수 있다. 왜냐하면 ''s'' = 이기 때문이다.

4. 현 (기하학)

단위원 등에서 원에 내접하는 정다각형의 한 변은 직경을 수직으로 지나는 현이 된다. 반지름과 변심거리 또는 화살거리(시)는 현의 길이를 보여준다.

(예시) 원에 내접하는 정사각형의 한변의 변심거리(apothem)와 시(矢,saggit,화살거리)

4. 1. 예시

반지름과 변심거리 또는 화살거리(시)는 현의 길이를 보여준다.

5. 정다각형

정다각형의 면적(''A'')은 변심거리와 관련이 있다. 정다각형의 각(또는 변)의 수를 ''n'', 한 변의 길이를 ''s'', 변심거리를 ''a''라고 하면, 면적은 다음과 같이 표현된다.

: $A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}$

여기서 ''p''는 정다각형의 둘레이다.

변심거리 ''a''는 변의 길이가 ''s''인 정 ''n''각형의 넓이를 구하는 데 사용될 수 있으며, 넓이는 변심거리에 둘레의 절반을 곱한 것과 같다. (''ns'' = ''p'')

이 공식은 정 ''n''각형을 ''n''개의 합동인 이등변 삼각형으로 분할하고, 변심거리가 각 삼각형의 높이이며, 삼각형의 넓이가 밑변의 절반에 높이를 곱한 것과 같다는 점을 이용하여 유도할 수 있다. 다음 공식들은 모두 동일하다.

: $A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n} = na^2\tan\frac{\pi}{n}$

정다각형의 변심거리는 항상 내접원의 반지름이 되며, 다각형의 변과 중심 사이의 최소 거리이다.

변의 수가 무한대에 가까워짐에 따라 정다각형의 넓이는 반지름 ''r'' = ''a''인 내접원의 넓이에 가까워지기 때문에, 이 속성을 사용하여 원의 넓이 공식을 쉽게 유도할 수도 있다.

: $A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2$

변심 거리로부터 한 변의 길이가 인 임의의 정 각형의 면적는 공식 $A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}$ 에 따라 계산할 수 있다. 둘레 가 로 구해지므로, 이 면적은 변심 거리와 반둘레의 곱 와 같다고도 말할 수 있다. 이 공식은 정 각형을 개의 서로 합동인 이등변삼각형으로 분할하면 구할 수 있다(이때, 각 이등변삼각형의 높이는 변심 거리에 해당한다).

정다각형의 변심 거리는 그 정다각형에 내접하는 원의 반지름(내반지름)과 항상 같다. 이것은 또한 정다각형의 중심에서 임의의 변까지의 최단 거리이다. 이 성질을 사용하여 원의 면적 공식을 쉽게 유도할 수도 있는데, 변의 수를 무한대로 보낼 때, 정다각형의 면적은 반지름 인 내접원의 면적에 가까워지므로, 원의 면적는 $A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2$ 이 된다.

참조

_[1] 웹사이트 德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? http://www2.hawaii.e[...] University of Hawaii 2015-11-08
_[2] 웹사이트 Definition of APOTHEM https://www.merriam-[...] 2022-02-17
_[3] 웹사이트 德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? http://www2.hawaii.e[...] University of Hawaii 2015-11-08

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