단위원

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1. 개요
2. 단위원의 정의와 성질
- 2.1. 삼각함수와의 관계
- 2.2. 유리매개화
3. 복소평면에서의 단위원
- 3.1. 원군(Circle Group)
4. 단위원의 활용
5. 단위원과 관련된 개념
참조

1. 개요

단위원은 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 의미한다. 극좌표를 사용하여 (1, θ)로 표현할 수 있으며, 직교좌표에서는 (x, y)로 나타낼 수 있다. 단위원은 삼각함수, 특히 사인과 코사인의 정의와 밀접한 관련이 있으며, 삼각함수의 주기성과 같은 성질을 설명하는 데 활용된다. 복소평면에서는 절댓값이 1인 복소수의 자취로 정의되며, 원주군(circle group)을 형성한다. 단위원의 내부 영역은 단위 원판이라고 불리며, 열린 원판과 닫힌 원판으로 구분된다. 단위원은 삼각함수 그래프, 푸리에 급수, 동적 시스템 연구 등 다양한 분야에서 활용된다.

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단위원
정의
설명	좌표 평면에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 원을 말한다.
방정식	x² + y² = 1
다른 이름	단위 구면 (n차원 공간으로 확장 시)
성질
둘레	2π

2. 단위원의 정의와 성질

해석기하학에서 원점 ''O''(0, 0)을 중심으로 하는 단위원은 원점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합이다.

단위원은 ''S''¹으로 표시되기도 하는데, 이는 ''n''차원 구면(sphere)에서 ''n'' = 1인 경우를 의미한다.

: ''S''¹ = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''² | ''x''² + ''y''² = 1}.

2. 1. 삼각함수와의 관계

단위원 위의 임의의 점 P를 극좌표로 나타내면

(r,\theta)=(1,\theta)

이다. 여기서

\theta

는 점 P와 원점을 이은 반직선 OP와

x

축이 이루는 각을 나타내며,

0

≤

\theta

≤

2\pi

이다. 이 점을 직교좌표로 나타내면

(x,y)

가 된다.

점 P에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면

sin\theta=\frac{y}{r}, cos\theta=\frac{x}{r}

이다. 단위원의 경우 원점으로부터의 거리

r=1

이므로,

y=sin\theta, x=cos\theta

로 정리할 수 있다.

이처럼 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(

r

)'와 '

x

축의 양의 방향과 이루는 각도(

\theta

)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라고 한다.

각도

\theta

의 삼각 함수 코사인과 사인은 단위 원에서 다음과 같이 정의할 수 있다.

(x, y)

가 단위 원 위의 점이고, 원점

(0, 0)

에서

(x, y)

까지의 광선이 양의

x

-축에서 각도

\theta

를 이룬다면 (반시계 방향 회전이 양수),

\cos \theta = x \quad\text{and}\quad \sin \theta = y.

방정식

x^2 + y^2 = 1

은 다음과 같은 관계를 제공한다.

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

단위 원은 또한 사인과 코사인이 주기 함수임을 보여주며, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)

\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta)

여기서

k

는 모든 정수이다.

단위 원 위에 구성된 삼각형은 삼각 함수의 주기를 설명하는 데에도 사용할 수 있다. 예를 들어

sin(t) = sin(\pi - t)

이고

-cos(t) = cos(\pi - t)

이다. 또한,

tan(\pi - t) = -tan(t)

임을 유사한 방식으로 추론할 수 있다.

단위원 위의 임의의 점의 좌표는, 어떤 라디안

\theta

(0 ≤

\theta

< 2

\pi

)에 의해 사인 함수와 코사인 함수를 사용하여

: (cos

\theta

, sin

\theta

)

로 나타낸다. 이것은 삼각 함수의 정의 그 자체이다.

또한, 단위원 위의 함수는 각도를 실수로 간주함으로써, 주기 함수가 된다. 주기 함수의 푸리에 전개는, 단위원 위의 함수의 기약 지표에 의한 전개로 간주된다.

2. 2. 유리매개화

단위원 위의 임의의 한 점

P

는 기울기가

t

(

t

는 임의의 실수)이고 점 \((-1,0)\)을 지나는 직선을 이용하여 유리함수로 나타낼 수 있다. 이 직선을

l

이라 하면,

l

은 단위원과 \((-1, 0)\)과

P

에서 만난다.

단위원의 방정식은

x^2 + y^2 = 1

이고, 직선

l

의 방정식은

y=tx+t

이다.

직선

l

의 방정식을 원의 방정식에 대입하여

y

를 소거하면

x

에 대한 이차방정식을 얻는다.

:

x^2+(tx+t)^2=1.

:

\Rightarrow x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0.

:

\Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0.

이 이차방정식의 근을 구하면 점

P

의

x

좌표를 얻는다.

:

x=\frac{-t^2 \pm \sqrt{t^4-(t^2-1)(t^2+1)}}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1}}{(1+t^2)}=\frac{t^2  \pm1}{1+t^2}.

:

\therefore x=-1

또는

x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.

x=-1

은 \((-1, 0)\)에 대응되므로, 점

P

의

x

좌표는

x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

이다. 이를 직선

l

의 방정식에 대입하여

y

좌표를 구하면 다음과 같다.

:단위원과 직선

l

의 교점:

P=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)

.

이와 같이 \((-1,0)\)을 제외한 단위원 위의 모든 점을 실수

t

에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다. (

t

가

\pm\infty

로 발산하면 점

P

는 \((-1,0)\)으로 수렴한다.)

3. 복소평면에서의 단위원

복소평면에서 단위원은 절댓값이 1인 복소수들의 집합이며, |''z''| = 1로 표현된다. 오일러 공식에 따라, 단위원 위의 점은 복소 지수함수를 이용하여 ''z'' = ''e''^''i''θ = cos θ + ''i'' sin θ로 나타낼 수 있다.

단위원은 복소수 곱셈 연산에 대해 닫혀 있으며, 군을 형성한다. 이를 원군(circle group)이라고 하며, 1차원 유니타리 군 U(1)으로도 불린다.

3. 1. 원군(Circle Group)

복소평면상의 단위원은 절댓값이 1인 복소수가 그리는 궤적이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

: {''z'' ∈ '''C''' | |''z''| = 1} = {exp(''iθ'') | 0 ≤ ''θ'' < 2''π''}

(여기서 exp는 자연 로그의 밑 ''e''를 밑으로 하는 복소 변수의 지수 함수이다.)

이 집합은 복소수의 통상적인 곱셈에 관하여 닫혀 있고 군을 이루며, '''원군'''(circle group) 또는 원주군 등으로 불린다. 원군은 1차원의 유니타리 군이라고 불리는 리 군이며, ''U''(1)로 표기된다. 또한, 복소수 평면에서 절댓값이 정하는 통상의 거리에 관해 콤팩트인 위상군이기도 하다.

복소 단위원은 복소 지수 함수를 사용하여 양의 실수 축에서 각도

\theta

로 매개변수화할 수 있다. 즉,

z = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

로 표현 가능하다. (오일러 공식 참조.)

복소 곱셈 연산 하에서, 단위 복소수는 일반적으로

\mathbb{T}

로 표시되는 원군이라는 군을 형성한다. 양자 역학에서 단위 복소수는 위상 인자라고 불린다.

임의의 자연수 ''n''에 대해 원군은 단 하나의 위수 ''n''의 부분군을 가진다. 그것은 1의 ''n'' 제곱근 전체이며, 1의 원시 ''n'' 제곱근으로 생성되는 순환군이다.

4. 단위원의 활용

단위원 위의 임의의 점의 좌표는 라디안 ''θ''(0 ≤ ''θ'' < 2''π'')에 대해 사인 함수와 코사인 함수를 사용하여 (cos ''θ'', sin ''θ'')로 나타낼 수 있다. 이는 삼각 함수의 정의 그 자체이다.

또한, 단위원 위의 함수는 각도를 실수로 간주함으로써 주기 함수가 된다. 주기 함수의 푸리에 전개는 단위원 위의 함수의 기약 지표에 의한 전개로 간주된다.

복소 평면상의 단위원은 절댓값이 1인 복소수가 그리는 궤적이다.

: {''z'' ∈ '''C''' | |''z''| = 1} = {exp(''iθ'') | 0 ≤ ''θ'' < 2''π''}

여기서 exp는 자연 로그의 밑 ''e''를 밑으로 하는 복소 변수의 지수 함수이다. 이는 복소수의 통상적인 곱에 관하여 닫혀 있고 군을 이루며, '''원주군'''(circle group) 등으로 불리기도 한다. 이것은 또한 1차원의 유니타리 군이라고 불리는 리 군이며, ''U''(1)로 표기된다. 원주군은 복소수 평면에서 절댓값이 정하는 통상의 거리에 관해 콤팩트인 위상군이다.

임의의 자연수 ''n''에 대해 원주군은 단 하나의 위수 ''n''의 부분군을 가진다. 그것은 1의 ''n'' 제곱근 전체이며, 1의 원시 ''n'' 제곱근으로 생성되는 순환군이다.

5. 단위원과 관련된 개념

단위 원판은 내부가 채워진 단위 원으로 다음과 같이 정의된다.

: ''D''²(''O''; 1) = {(''x'', ''y'') ∈ '''R'''² | ''x''² + ''y''² ≤ 1}

복소 평면상의 단위 원판은 종종 굵은 글씨(또는 흰색) '''D'''로 표기된다. 위상수학에서는 이것과 위상 동형인 것을 같은 이름으로 부른다.

단위 원주 ''S''¹는 단위 원판의 경계 ∂''D''를 이루며, 단위 원주를 포함하지 않는 단위 원판을 '''단위 열린 원판'''이라고 부른다. 단위 열린 원판에 대해 단위 원주를 포함하는 단위 원판을 '''단위 닫힌 원판'''이라고 부르기도 한다. 원판 ''D''²는 2-구이므로 ''B''²로도 표기된다. 또한, 이로부터 역으로 ''n''차원 구체 ''B''^''n''을 ''n''차원 원판이라고 부르며 ''D''^''n'' 등으로 표기하는 경우도 있다.

열린 원판은 닫힌 원판 ''D''의 내부 ''D''^o이며, 닫힌 원판은 열린 원판의 폐포와 같다. 열린 원판을 ''D''로 표기하는 경우에는 닫힌 원판은 ''D''로 표기된다.

단위 닫힌 원판은 유클리드 공간에서의 통상적인 위상에 관하여 콤팩트하다. 단위 열린 원판은 쌍곡 기하학의 모델 중 하나인 푸앵카레 단위 원판 모델의 받침대로 사용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Unit Circle https://mathworld.wo[...] 2020-05-05
_[2] 웹사이트 Hypersphere https://mathworld.wo[...] 2020-05-06

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