보렐-카라테오도리 정리

1. 개요

보렐-카라테오도리 정리는 복소변수 함수에 대한 해석학 정리로, 함수 f(z)의 절댓값에 대한 상한을 함수의 실수부와 함수값 f(0)을 이용하여 나타낸다. 이 정리는 슈바르츠 보조정리를 활용하여 증명되며, 아다마르 인수분해 정리의 증명 등에서 미분 계수의 로그 값을 제한하는 데 사용된다. 또한 리우빌 정리의 강화된 형태를 유도하고, 전해석 함수의 차수를 제한하는 데에도 응용된다.

2. 공식화

복소 변수 함수 f(z)가 |z|≤R에서 해석적이라 하고 A(r)^영어 = 라 하면, 0부등식이 성립한다.

:$\backslash max\_\{|z|=r\}\; |f(z)|\; \backslash le\; \backslash frac\{2r\}\{R-r\}\; A(R)\; +\; \backslash frac\{R+r\}\{R-r\}\; |f(0)|.$

함수 $f$가 반지름이 R이고 원점을 중심으로 하는 닫힌 원판에서 해석적이라고 하자. r < R이라고 가정하면 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash |f\backslash |\_r\; \backslash le\; \backslash frac\{2r\}\{R-r\}\; \backslash sup\_\{|z|\; \backslash le\; R\}\; \backslash operatorname\{Re\}\; f(z)\; +\; \backslash frac\{R+r\}\{R-r\}\; |f(0)|.$

여기서 좌변의 노름은 닫힌 원판에서 f의 최댓값을 나타낸다.

:$\backslash |f\backslash |\_r\; =\; \backslash max\_\{|z|\; \backslash le\; r\}\; |f(z)|\; =\; \backslash max\_\{|z|\; =\; r\}\; |f(z)|$

(마지막 등식은 최대 절댓값 원리에 따른다).

3. 증명

보렐-카라테오도리 정리의 증명은 크게 두 가지 방식으로 나뉜다.

* 기본 증명: 주어진 함수를 변환하고 슈바르츠 보조정리를 적용하여 부등식을 유도한다. 이 방법은 비교적 간결하며, 복소해석학의 기본적인 도구들을 활용한다.
* 추가 증명: 코시 적분 공식을 사용하여 함수의 도함수에 대한 경계를 구하고, 이를 이용하여 테일러 전개를 통해 부등식을 유도한다. 이 방법은 좀 더 복잡하지만, 복소함수의 성질을 더 깊이 이해하는 데 도움을 준다.

3.1. 기본 증명 (한국어, 영어 위키백과 통합)

이 정리의 증명은 다음과 같은 단계로 할 수 있다.

1. 먼저 f(z)가 상수함수일 때는 분명하므로, f(z)를 상수함수가 아니라고 가정한다.
2. 이때 g(z)^영어 := 로 잡으면 이 함수는 |z|≤R에서 해석적이다.
3. |z|≤R에서 |g(z)^영어|≤1임을 간단한 대수적 조작으로 증명할 수 있다. 따라서 이 함수에 슈바르츠 보조정리를 적용한다.
4. 그리고 약간의 대수적 조작을 거쳐 을 얻고, 곧바로 f(0) = 0일 때가 증명된다.
5. f(0) ≠ 0인 경우에는 이 성립하므로, 절댓값을 풀고 식을 정리하면 증명된다.

A^영어를 다음과 같이 정의한다.

:

만약 f^영어가 상수 c^영어이면, 부등식은 에서 유도되므로, f^영어가 비상수 함수라고 가정할 수 있다. 먼저 f^영어(0) = 0이라고 하자. Re f^영어는 조화 함수이므로, Re f^영어(0)은 0을 중심으로 하는 원 주위의 값들의 평균과 같다. 즉,

:

f^영어가 정칙 함수이고 비상수 함수이므로, Re f^영어 또한 비상수 함수이다. Re f^영어(0) = 0이므로, 원 위의 어떤 z^영어에 대해 Re f(z)^영어 > 0 이 성립해야 하며, 따라서 A^영어>0이라고 할 수 있다. 이제 f^영어는 x^영어=A^영어 선의 왼쪽에 있는 반평면 P^영어로 사상한다. 대략적으로, 우리의 목표는 이 반평면을 원판으로 사상하고, 슈바르츠 보조정리를 적용하여, 주어진 부등식을 유도하는 것이다.

w^영어 w/A^영어 - 1은 P^영어를 표준 좌반평면으로 보낸다. w^영어 은 좌반평면을 원점을 중심으로 하는 반지름 R^영어의 원으로 보낸다. 0을 0으로 보내는 합성 함수는 우리가 원하는 사상이다.

:

이 사상과 f^영어의 합성 함수에 슈바르츠 보조정리를 적용하면,

:

|z^영어| ≤ r^영어이라고 하자. 위의 식은 다음과 같이 변환된다.

:

따라서,

:

이것이 우리가 증명하고자 하는 바이다. 일반적인 경우, 위의 결과를 f^영어(z^영어)-f^영어(0)에 적용할 수 있다.

:

이것을 정리하면, 우리가 증명하고자 하는 결과를 얻는다.

3.2. 추가 증명 (영어 위키백과)

이 정리의 또 다른 증명은 다음과 같다.

만약 f^영어 = u^영어 + iv^영어가 어떤 $\backslash epsilon\; >\; 0$에 대해 $B(0,\; R+\backslash epsilon)$에서 해석적이고, $\backslash partial\; B(0,\; R)$에서 u^영어 ≤ M^영어이라면, $\backslash forall\; n\backslash geq\; 1$에 대해,

:$$|f^\{(n)\}(0)\; |\; \backslash leq\; \backslash frac\{2n!\}\{R^n\}\; (M\; -u(0))$$

이고 유사하게 $v\; \backslash leq\; M$이다.

v^영어의 경우는 $-if\; =\; v\; -\; iu$를 통해 얻을 수 있으므로, u^영어의 경우를 증명하는 것으로 충분하다.

일반성을 잃지 않고, 상수를 빼서 $f(0)\; =\; 0$으로 만든다.

코시 적분 공식을 사용하여 $\backslash partial\; B(0,\; R)$ 주변에 세 개의 선적분을 수행한다.

:$$f^\{(n)\}(0)/n!\; =\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash oint\; \backslash frac\{f(z)\}\{z^\{n+1\}\}dz\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash frac\{f(Re^\{2\backslash pi\; i\; t\})\}\{R^ne^\{2\backslash pi\; in\; t\}\; \}dt$$

:$$\backslash int\_0^1\; f(Re^\{2\backslash pi\; i\; t\})\; e^\{2\backslash pi\; int\}dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\; R^n\}\backslash oint\; f(z)\; z^\{n-1\}dz\; =\; 0$$

:$$\backslash int\_0^1\; f(Re^\{2\backslash pi\; i\; t\})dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash oint\; f(z)\; z^\{-1\}dz\; =\; f(0)\; =\; 0$$

각도 $\backslash theta$를 선택하여 $e^\{-i\backslash theta\}\; f^\{(n)\}(0)\; =\; |\; f^\{(n)\}(0)|$이 되도록 한다. 그런 다음 세 개의 적분을 선형적으로 결합하여 다음을 얻는다.

:$$\backslash int\_0^1\; f(Re^\{2\backslash pi\; i\; t\})dt\; (1\; +\; \backslash cos(2\backslash pi\; nt\; +\; \backslash theta))\; =\; \backslash frac\; 12\; R^n\; |f^\{(n)\}\; (0)|/n!$$

허수 부분은 사라지고, 실수 부분은 다음을 제공한다.

:$$\backslash int\_0^1\; u(Re^\{2\backslash pi\; i\; t\})dt\; (1\; +\; \backslash cos(2\backslash pi\; nt\; +\; \backslash theta))\; =\; \backslash frac\; 12\; R^n\; |f^\{(n)\}\; (0)|/n!$$

적분은 $M\backslash int\_0^1\; dt\; (1\; +\; \backslash cos(2\backslash pi\; nt\; +\; \backslash theta))\; =\; M$로 위에서 경계가 지어지므로, 결과를 얻는다.

동일한 가정을 가지고, 모든 $r\backslash in\; (0,\; R)$에 대해,

:$$\backslash max\_\{z\backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r)\}|\; f(z)|\; \backslash leq\; \backslash frac\{2r\}\{R-r\}\; M\; +\; \backslash frac\{R+r\}\{R-r\}|f(0)|$$

$f(0)\; =\; 0$의 경우를 증명하는 것으로 충분하다.

이전 결과를 사용하여 테일러 전개를 하면,

:$$|f(z)|\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n!\}|f^\{(n)\}(0)|\backslash cdot\; |z|^n\; \backslash leq\; |f(0)|\; +\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty2M\; (r/R)^n\; =\; \backslash frac\{2r\}\{R-r\}\; M$$

동일한 가정을 가지고, 모든 $r\backslash in\; (0,\; R)$ 및 모든 정수 $n\backslash geq\; 1$에 대해,

:$$\backslash max\_\{z\backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r)\}|\; f^\{(n)\}(z)|\; \backslash leq\; \backslash frac\{2n!\}\{(R-r)^\{n+1\}\}\; R(M-\; u(0))$$

마찬가지로 $f(0)\; =\; 0$의 경우를 증명하는 것으로 충분하다. 위와 유사하게,

:$$$$
\begin{align}
|f^{(n)}(z)| &\leq \sum_{k=n}^\infty \frac{k\cdots (k-n+1)}{k!}|f^{(k)}(0)|\cdot |z|^{k-n} \\
&\leq \frac{2(M - u(0))}{R^n}\sum_{k=n}^\infty k\cdots (k-n+1) \left(\frac rR\right)^{k-n} \\
&= \frac{2n!}{(R-r)^{n+1}} R(M- u(0))
\end{align}

4. 따름정리

(제공된 원본 소스가 없으므로, 따름정리에 대한 내용을 작성할 수 없습니다. 원본 소스를 제공해주시면 지침에 따라 위키텍스트를 작성하겠습니다.)

5. 응용

보렐-카라테오도리 정리는 아다마르 인수분해 정리의 증명 등에서 미분 계수의 로그 값을 제한하는 데 자주 사용된다.

다음은 리우빌 정리를 강화한 형태이다.

개선된 리우빌 정리

만약 $f$가 전해석 함수이고, $\backslash max\_\{z\; \backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r\_k)\}\; \backslash Re(f(z))\; =\; o(r\_k^\{n+1\})$를 만족하는 수열 $r\_k\; \backslash nearrow\; \backslash infty$가 존재한다면, $f$는 차수가 최대 $n$인 다항식이다.

증명

보렐-카라테오도리 보조정리에 의해, 모든 에 대해,

$$\backslash max\_\{z\backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r)\}|\; f^\{(n+1)\}(z)|\; \backslash leq\; \backslash frac\{4n!\}\{(r\_k-r)^\{n+2\}\}\; r\_k\; M$$

여기서 $M\; =\; \backslash max\_\{z\backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r\_k)\}\; \backslash Re(f(z))\; =\; o(r\_k^\{n+1\})$이다.

$r\; \backslash leq\; \backslash frac\{r\_k\}\{2\}$로 놓고, $k\; \backslash nearrow\; \backslash infty$ 극한을 취하면:

$$\backslash max\_\{z\backslash in\; \backslash partial\; B(0,\; r)\}|\; f^\{(n+1)\}(z)|\; =\; o(1)\; \backslash to\; 0$$

따라서 리우빌 정리에 의해, $f^\{(n+1)\}$은 상수 함수이고, 0으로 수렴하므로 0이다. 따라서 $f$는 차수가 최대 $n$인 다항식이다.

따름정리

만약 전해석 함수 $f$가 근이 없고, 유한한 차수 $\backslash rho$를 가진다면, $f(z)\; =\; e^\{p(z)\}$이고, $p$는 $deg(p)\; \backslash leq\; \backslash rho$인 어떤 다항식이다.

증명

개선된 리우빌 정리를 $g\; =\; \backslash log(f)$에 적용한다.