본질적 특이점

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1. 개요

본질적 특이점은 복소 평면의 열린 부분 집합에서 정의된 정칙 함수가 극점이나 제거 가능 특이점이 아닌 특이점을 말한다. 함수 f(z) = e^1/z는 z=0에서 본질적 특이점을 갖는 예시이다. 본질적 특이점은 로랑 급수의 음의 차수 항이 무한히 많고, 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르 대정리에 의해 그 근방에서의 행동이 설명된다. 피카르 대정리에 따르면, 본질적 특이점의 모든 근방에서 함수는 많아야 한 점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한히 많이 취한다. 리만 구에서 무한대는 본질적 특이점을 가질 수 있으며, 리만 제타 함수는 무한대에 본질적 특이점을 갖는 예시이다.

본질적 특이점

정의

설명	복소평면에서 해석함수의 특이점의 한 종류이며, 그 окрестности에서 함수가 특별한 방식으로 "불량하게" 작동한다.

예시

함수	exp(1/z)
특이점	z = 0

설명

함수 w = exp(1/(6z))	z = 0에서 진성 특이점을 가진다.

성질

리만-카소라티 정리	함수 f가 z0에서 진성 특이점을 가지면, z0에 임의로 가까운 점 z가 존재하여 f(z)가 임의의 복소수 값에 임의로 가까워진다.
피카르 정리	함수 f가 z0에서 진성 특이점을 가지면, z0의 임의의 окрестности에서 f는 기껏해야 하나의 값을 제외한 모든 복소수 값을 취한다.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 예시
3. 성질
- 3.1. 다른 특성화
4. 본질적 특이점 근처에서의 함수의 행동
- 4.1. 카소라티-바이어슈트라스 정리
- 4.2. 피카르의 대정리
5. 리만 구와 무한대에서의 본질적 특이점

2. 정의

복소평면 C의 열린 부분 집합 U가 있고, a가 U의 원소이며, $f\colon U \setminus \{a\} \to \mathbb{C}$ 가 정칙 함수일 때, 점 a가 제거 가능한 특이점이나 극이 아니면 함수 f의 본질적 특이점이라고 한다.

$a$ 가 복소수이고, $f(z)$ 가 $a$ 에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 $U$ 에서 해석적이며, $a$ 의 모든 열린 근방이 $U$ 와 공통된 부분집합을 가진다고 가정할 때, 다음이 성립한다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 제거 가능한 특이점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하지 않으면(실제로 $\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty$ ), $a$ 는 $f$ 의 영점이고 $\frac{1}{f}$ 의 극점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만(실제로 $\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty$ ) $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하면, $a$ 는 $f$ 의 극점이고 $\frac{1}{f}$ 의 영점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않으면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점은 $a$ 지점에서의 $f$ 의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합)으로 특징지을 수 있다. 또는 $f(z)(z-a)^n$ 의 어떤 도함수도 $z$ 가 $a$ 로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점 $a$ 가 있다면, $a$ 는 $f$ 의 본질적 특이점이다.

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 피카르의 대정리에 따르면, 본질적 특이점 $a$ 의 모든 근방에서 함수 $f$ 는 모든 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다.

2.1. 예시

함수 $f(z)=e^{1/z}$ 는 $z=0$ 에서 본질적 특이점을 가진다.

3. 성질

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 의 극한값 존재 여부에 따라 특이점 a의 성질이 결정된다.

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좌우로 밀어서 보기

$\lim_{z \to a}f(z)$	$\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$	a의 성질
존재	존재	f와 1/f의 제거 가능 특이점
존재	존재하지 않음	f의 근, 1/f의 극점
존재하지 않음	존재	f의 극점, 1/f의 근
존재하지 않음	존재하지 않음	f와 1/f 모두의 본질적 특이점

본질적 특이점 주변에서의 정칙함수의 움직임은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 정리에 의해 설명된다. 피카르의 정리는 본질적 특이점 a 주변에서 함수 f는 하나를 제외하고 모든 복소수 값을 무한히 많이 가진다는 것을 말한다.

3.1. 다른 특성화

복소평면 C의 열린 부분집합 U를 생각하고, a를 U의 원소, f를 f : U \ {a} → C인 정칙함수라고 할 때, 특이점 a가 극점이나 제거 가능 특이점이 아니라면 f의 본질적 특이점이라고 한다.

예를 들어 함수 f(z) = e^1/z는 z = 0에서 본질적 특이점을 가진다.

a를 복소수라고 하고, f(z)가 a에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 U에서 해석적이며, a의 모든 열린 근방이 U와 공통된 부분집합을 가진다고 가정할 때, 다음이 성립한다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재한다면, a는 f와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 제거 가능 특이점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 는 존재하지 않는다면(실제로 $\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty$ ), a는 f의 영점이고 $\frac{1}{f}$ 의 극점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만(실제로 $\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty$ ) $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재한다면, a는 f의 극점이고 $\frac{1}{f}$ 의 영점이다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않는다면, a는 f와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점을 특징짓는 또 다른 방법은, a 지점에서의 f의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것이다(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합이다). 관련 정의는 $f(z)(z-a)^n$ 의 어떤 도함수도 $z$ 가 $a$ 로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점 $a$ 가 있다면, $a$ 는 $f$ 의 본질적 특이점이라는 것이다.

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 훨씬 더 강력한 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 피카르의 대정리는 본질적 특이점 a의 모든 근방에서 함수 f가 모든 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다고 말한다. (예외는 필수적이다. 예를 들어, 함수 $\exp(1/z)$ 는 값 0을 취하지 않는다.)

4. 본질적 특이점 근처에서의 함수의 행동

복소평면 C의 열린 부분집합 U와 U의 원소 a에 대해, f : U \ {a} → C인 정칙함수 f를 생각해보자. 이때 특이점 a가 극점이나 제거 가능 특이점이 아니라면, a는 f의 본질적 특이점이라고 한다.

예를 들어 함수 f(z) = e^1/z는 z = 0에서 본질적 특이점을 가진다.

$\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 의 존재 유무에 따라 a는 f와 1/f의 제거 가능 특이점, 근, 극점, 본질적 특이점이 될 수 있다.

* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하면 a는 f와 1/f의 제거 가능 특이점이다.
* $\lim_{z \to a}f(z)$ 는 존재하지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하지 않으면 a는 f의 근이고 1/f의 극점이다.
* $\lim_{z \to a}f(z)$ 가 존재하지 않지만 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 존재하면 a는 f의 극점이고 1/f의 근이다.
* $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 가 모두 존재하지 않으면 a는 f와 1/f 모두의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점은 a에서 f의 로랑 급수가 무한히 많은 음의 항을 가지는 것으로 특정화할 수 있다. 즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 급수이다. 다른 정의로는, $f(z)(z-a)^n$ 에서 $z$ 가 $a$ 로 수렴할 때 극한값이 존재하지 않는다면 $a$ 는 $f(z)$ 의 본질적 특이점이다.

4.1. 카소라티-바이어슈트라스 정리

본질적 특이점 주변에서의 정칙함수의 움직임은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르 대정리에 의해 기술된다. 피카르 대정리는, a가 함수 f의 본질적 특이점이면, a의 모든 근방에서, 함수 f는 많아야 1점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한 번 취한다는 내용을 담고 있다.

4.2. 피카르의 대정리

카소라티-바이어슈트라스 정리와 피카르의 정리는 정칙함수가 본질적 특이점 주변에서 보이는 움직임을 설명한다. 피카르 대정리에 따르면, 함수 f의 본질적 특이점 a의 모든 근방에서, f는 많아야 1점을 제외하고 모든 복소수 값을 무한 번 취한다.

5. 리만 구와 무한대에서의 본질적 특이점

$a$ 를 복소수라고 하고, $f(z)$ 가 $a$ 에서 정의되지 않지만 복소 평면의 어떤 영역 $U$ 에서 해석적이며, $a$ 의 모든 열린 근방이 $U$ 와 공통된 부분집합을 가진다고 가정한다.

만약 $\lim_{z \to a}f(z)$ 와 $\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}$ 둘 다 존재하지 않는다면, $a$ 는 $f$ 와 $\frac{1}{f}$ 둘 다의 본질적 특이점이다.

본질적 특이점을 특징짓는 또 다른 방법은, $a$ 지점에서의 $f$ 의 로랑 급수가 무한히 많은 음수 차수 항을 갖는다는 것이다(즉, 로랑 급수의 주요 부분은 무한 합이다). 관련 정의는 $f(z)(z-a)^n$ 의 어떤 도함수도 $z$ 가 $a$ 로 갈 때 극한으로 수렴하지 않는 점 $a$ 가 있다면, $a$ 는 $f$ 의 본질적 특이점이라는 것이다.

리만 구에서 무한대 점 $\infty_\mathbb{C}$ 를 갖는 경우, 함수 ${f(z)}$ 는 ${f(1/z)}$ 가 0에서 본질적 특이점을 갖는 경우에만, 즉 $\lim_{z \to 0}{f(1/z)}$ 와 $\lim_{z \to 0}\frac{1}{f(1/z)}$ 가 모두 존재하지 않는 경우에만, 그 지점에서 본질적 특이점을 갖는다. 리만 제타 함수는 리만 구에서 $\infty_\mathbb{C}$ 에 하나의 본질적 특이점만 갖는다. 실제로, 유리형 함수는 유리 함수가 아닌 경우 $\infty_\mathbb{C}$ 에 고유한 본질적 특이점을 갖는다.

정칙 함수가 본질적 특이점 근처에서 보이는 행동은 카소라티-바이어슈트라스 정리와 훨씬 더 강력한 피카르의 대정리에 의해 설명된다. 후자는 본질적 특이점 $a$ 의 모든 근방에서 함수 $f$ 가 모든 복소수 값을, 가능하면 하나를 제외하고, 무한히 많이 취한다고 말한다. (예외는 필수적이다. 예를 들어, 함수 $\exp(1/z)$ 는 값 0을 취하지 않는다.)