분리 사상

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1. 개요

분리 사상은 대수기하학에서 사용되는 스킴 사상의 한 종류로, 대각 사상이 닫힌 몰입인 사상을 의미한다. 준분리 사상과 분리 스킴, 그리고 뇌터 스킴의 값매김 조건 등과 관련된 정의와 성질을 가진다. 모든 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이며, 모든 대수다양체는 분리 스킴이다. 알렉산더 그로텐디크는 초기에는 분리 준스킴만을 스킴으로 정의했으나, 이후 모든 준스킴을 스킴으로 정의하는 방식으로 변경하였다.

분리 사상

정의

분리 사상	대각 사상 Δ: X → X × Y X가 닫힌 몰입인 사상 f: X → Y

분리 스킴

분리 스킴	대각 사상이 닫힌 몰입인 스킴

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정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 뇌터 스킴의 값매김 조건
3. 성질
4. 예
5. 역사

2. 정의

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 이 준콤팩트 함수이면 f를 준분리 사상이라고 한다. $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 준분리 사상이면 $X$ 를 준분리 스킴이라고 한다.

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 분리 사상이라고 한다.
* 대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 의 상이 닫힌집합이다.
* 대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 이 닫힌 몰입이다.
* (값매김 조건 valuative criterion^영어) 준분리 사상이며, 임의의 값매김환 $R$ 및 표준적 포함 사상 $i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다.
: $\begin{matrix}\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y\end{matrix}$

$X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 분리 사상이면 $X$ 를 분리 스킴이라고 한다.

2.1. 뇌터 스킴의 값매김 조건

$Y$ 가 국소 뇌터 스킴이고, $f$ 가 국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환 $R$ …"를 "모든 이산 값매김환 $R$ …"로 약화시킬 수 있다. 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로, $X$ 또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 " $f$ 는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다.

3. 성질

임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다. 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상은 자연스러운 환 준동형 사상 𝜙: R ⊗ R → R (∑ᵢ rᵢ ⊗ sᵢ ↦ ∑ᵢ rᵢsᵢ)이며, 이는 항상 전사 준동형이다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

4. 예

모든 대수다양체는 분리 스킴이다.

체 K에 대하여, 두 개의 아핀 직선 $\mathbb A^1_K$ 을, 0을 제외한 열린 집합 $\mathbb A^1_K\setminus\{0\}$ 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.

5. 역사

원래 알렉산더 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(prescheme^영어, préschéma^프랑스어)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.