알렉산더 그로텐디크
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1. 개요
알렉산더 그로텐디크는 1928년 독일 베를린에서 태어난 수학자로, 대수기하학 분야에 혁신적인 기여를 했다. 그는 스킴 이론을 통해 대수기하학을 재정립하고, 에탈 코호몰로지 이론을 도입하여 베유 추측 증명에 기여했다. 또한, 모티브 개념을 제시하며 수학 전반에 걸쳐 범주론을 조직 원리로 주류에 진입시켰다. 그의 주요 저서로는 《대수기하학 원론》과 《마리 숲 대수기하학 세미나》가 있으며, 20세기 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 평가받는다. 그는 정치적 신념으로 인해 학계를 떠나 은둔 생활을 하다가 2014년 사망했다.
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| 알렉산더 그로텐디크 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 본명 | 알렉산더 그로텐디크 |
| 출생일 | 1928년 3월 28일 |
| 출생지 | , 베를린 |
| 사망일 | 2014년 11월 13일 (86세) |
| 사망지 | , 아리에주주 생지롱 |
| 국적 | 무국적 |
| 학력 | |
| 모교 | 몽펠리에 대학교 낭시 제1대학교 |
| 박사 지도교수 | 로랑 슈바르츠 장 디외도네 |
| 박사 학위 취득자 | 피에르 베르텔로 피에르 들리뉴 미셸 드마쥐르 장 지로 뤽 일뤼지 윌리엄 메싱 미셸 레노 호앙쑤안싱 장루이 베르디에 |
| 학위 논문 제목 | 위상 텐서곱과 핵공간 |
| 학위 논문 URL | 위상 텐서곱과 핵공간 |
| 학위 논문 발표년도 | 1953년 |
| 경력 | |
| 직장 | 고등과학연구소 몽펠리에 대학교 상파울루 대학교 |
| 연구 분야 | |
| 분야 | 함수 해석학 대수기하학 호몰로지 대수 |
| 수상 | |
| 수상 내역 | 필즈상 (1966년) 에밀 피카르 메달 (1977년) 크라포르드상 (1988년, 거절) |
| 업적 | |
| 주요 업적 | 대수기하학의 재정립 및 정수론, 위상수학과의 통합 |
| 그 외 | 알렉산더 그로텐디크의 이름을 딴 것들 목록 |
2. 생애
알렉산더 그로텐디크는 20세기 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 널리 알려져 있다.[62] 데이비드 머포드와 존 테이트는 부고에서 그가 불필요한 가정을 제거하고 추상적인 수준에서 문제의 핵심을 파악하는 능력이 뛰어났다고 평가했다.[62]
1970년대에 그로텐디크의 연구는 층 이론과 호몰로지 대수뿐만 아니라 범주론적 논리 분야에도 영향을 미쳤다.[63][64] 라비 바킬은 수학의 많은 분야가 그가 만든 언어를 사용한다고 언급했고, 콜린 맥라티는 많은 수학자들이 그의 업적 위에 서 있다는 것을 인지하지 못한다고 말했다.[48]
그는 우크라이나 출신 아나키스트인 아버지와 함부르크 출신 저널리스트인 어머니 사이에서 태어났다. 출생 당시에는 어머니의 결혼 상대였던 요하네스 라다츠의 아들로 "알렉상드르 라다츠"라는 이름으로 불렸으나, 1929년 부모의 이혼 후 아버지 샤피로가 그를 인지했다. 나치스를 피해 프랑스로 이주한 후, 제2차 세계 대전 동안 어머니와 함께 수용소에 수감되기도 했지만 탈출했다. 그의 아버지는 아우슈비츠 강제 수용소에서 사망했다.
종전 후 몽펠리에 대학교를 졸업하고 낭시 대학교에서 뒤도네의 지도를 받으며 함수해석학을 연구했다. 이후 세르 등의 영향으로 대수기하학으로 관심을 돌려 스킴 이론, 호몰로지 대수학, 층론, 범주론 등에 큰 기여를 했다. 특히 1957년 발표한 도호쿠 논문[83]은 수학계에 큰 영향을 미쳤다.
베유 추측 해결을 위해 대수기하학을 재정립하는 과정에서 "대수기하학 원론 (Éléments de Géométrie Algébrique, ÉGA)" 13권 출판을 시도했으나 4권까지만 완성되었고, 나머지는 제자들과 함께 진행한 "마리의 숲의 대수기하학 세미나 (SGA)"로 출판되었다. 에탈 코호몰로지를 비롯한 새로운 코호몰로지 이론을 발견했으며, 팔팅스의 모델 추측 해결에도 그의 스킴론이 사용되었다. 1966년 필즈상을 수상했고, 1988년 크라포르드상을 수상했으나 사퇴했다.
베트남 전쟁 반대와 환경 문제에 대한 관심으로 IHÉS에 군사 자금이 지원된다는 사실을 알고 사임한 후, 수학계에서 은퇴하고 은둔 생활을 했다. 1985년 자전적 작품 『수확과 뿌린 씨앗과』[84](Récoltes et semailles)를 집필했다. 1991년 가족을 떠나 피레네 산맥 기슭에서 은둔 생활을 했으며, 2014년 사망할 때까지 그곳에서 지냈다.
2010년 1월, 그로텐디크는 뤽 일뤼지에에게 편지를 보내 자신의 모든 저작물을 삭제해 달라고 요청했고, 이에 따라 많은 인터넷 콘텐츠가 삭제되었다.[86]
2014년 11월 13일, 생지롱 병원에서 86세의 나이로 사망했다. 사후 2017년 그의 유족들이 남긴 방대한 자료들이 몽펠리에 대학교 사이트에 디지털 아카이브로 공개되었다.[87][88]
2. 1. 유년기 (1928-1939)
그로텐디크는 1928년 3월 28일 독일 베를린에서 우크라이나 출신의 유대인 아버지와 함부르크 출신의 독일계 개신교 신자인 어머니 아래에서 태어났다. 그로텐디크의 아버지는 알렉산드르 샤피로(Александр Шапиро|알렉산더 샤피로ru), 어머니는 항카 그로텐디크(Hanka Grothendieck|항카 그로텐디크de)였다. 그로텐디크는 아버지 대신 어머니의 성을 사용하였다. 양친은 모두 아주 혁명적인 사회주의자였다.[6]제2차 세계 대전의 격동기 때문에 그로텐디크는 불운한 어린 시절을 보냈다. 1933년까지 그로텐디크는 양친과 함께 베를린에서 살았으나, 그해 연말 아버지는 파리로 이주했으며, 어머니는 그 이듬해에 파리로 이주했다. 그로텐디크는 부모를 따라가지 못하고 함부르크에 남아서 다른 친척들의 집에서 머물며 학교를 다녔다.[7] 그로텐디크의 부모는 스페인 내전에서 사회주의자 측의 전투요원으로 참전했다.[8] 1939년 그로텐디크는 독일의 유대인 학대를 피해 어머니와 함께 프랑스 곳곳의 유대인 피난 캠프를 떠돌아 다녔다.
2. 2. 제2차 세계 대전과 피난 (1939-1945)
1933년까지 그로텐디크는 양친과 함께 베를린에서 살았으나, 그해 연말 아버지는 나치즘을 피해 파리로 이주했으며, 어머니는 그 이듬해에 파리로 이주했다.[6] 그로텐디크는 부모를 따라가지 못하고 함부르크에 남아 루터교 목사이자 교사인 빌헬름 하이도른의 보살핌을 받았다.[7] 한편, 그로텐디크의 부모는 당시 스페인 내전에서 사회주의자 측의 전투요원으로 참전했다.[8] 1939년 5월, 그로텐디크는 함부르크에서 프랑스로 가는 기차에 탑승했다. 얼마 후 그의 아버지는 르 베르네에 수용되었다.제2차 세계 대전의 격동기 때문에 그로텐디크는 불운한 어린 시절을 보냈다. 1940년부터 1942년까지 그와 그의 어머니는 "위험한 외국인"으로 분류되어 여러 수용소에 수감되었다.[9] 첫 번째 수용소는 리외크로 수용소였는데, 그곳에서 그의 어머니는 1957년에 사망을 초래한 결핵에 걸렸다. 그곳에서 그로텐디크는 멘데에 있는 지역 학교에 다니기도 했다. 한 번은 히틀러를 암살할 의도로 수용소를 탈출하기도 했다. 이후 그의 어머니 한카는 제2차 세계 대전의 나머지 기간 동안 구르스 강제 수용소로 이송되었다.[10] 그로텐디크는 어머니와 떨어져 살도록 허가받았다.[11] 르 샹봉 쉬르 리뇽 마을에서 그는 지역 기숙사나 연금에 숨어 지냈지만, 나치 습격 기간에는 때때로 숲에서 피난해야 했고, 며칠 동안 음식이나 물 없이 살아남기도 했다.
그의 아버지는 비시 프랑스의 반유대인 법에 따라 체포되어 드랑시 수용소로 보내졌고, 이후 비시 프랑스 정부에 의해 독일군에게 넘겨져 1942년 아우슈비츠 강제 수용소에서 살해당했다.[1]
2. 3. 청년기와 교육 (1945-1948)
르샹봉쉬르리뇽(Le Chambon-sur-Lignon프랑스어)으로 피신하여 현지 학교인 콜레주 세베놀(Collège Cévenol)에 다니면서 바칼로레아에 합격했다.[12] 그는 공교육은 부실했지만, 수학에 대한 열정으로 스스로 문제를 만들고 푸는 데 시간을 쏟았다. 특히 교과서에 길이, 넓이, 부피의 정의가 없다는 점에 불만을 품고, 르베그 측도와 적분 이론을 독자적으로 도출해냈다. 몽펠리에 대학교에 입학하고 나서야 이 사실을 알게 되었다.[12]제2차 세계 대전 종전 후, 그로텐디크는 몽펠리에 대학교에서 수학 공부를 시작했다. 미적분을 가르친 술라(Soula) 교수에게 수학계의 발견에 대해 질문했는데, "르베그라는 사람이 모두 풀었다"는 대답을 들었다.[12] 대학에서 뛰어난 수학적 능력을 인정받아 교수들의 추천으로 1948년에 파리로 가게 되었다.[12]
2. 4. 연구 경력 (1949-1970)
파리에서 그로텐디크는 앙리 카르탕, 클로드 슈발레, 앙드레 베유, 장피에르 세르, 로랑 슈바르츠 등 프랑스의 유망한 수학자들과 교류하며 수학 공부를 계속했다. 하지만 그는 다른 수학자들이 '합의'를 통해 참이라고 여기는 개념들을 그대로 받아들이지 않고 직접 증명하려 했기 때문에 협력 연구에 어려움을 겪었다. 그는 쉬운 길 대신 어려운 문제에 도전하는 것을 즐겼으며, 당시를 회상하며 "느릿느릿 굴을 파며 산으로 올라가는 것처럼" 느꼈다고 말했다.1950년부터 해석학 분야의 로랑 슈바르츠 (필즈상 수상자)의 지도 아래 함수해석학을 공부했다. 그는 곧 위상 벡터 공간 분야의 세계적인 전문가가 되었으나, 1957년부터는 대수기하학과 호몰로지 대수학으로 관심을 전환했다.
전쟁 후, 그로텐디크는 프랑스에서 수학을 공부했으며, 처음에는 몽펠리에 대학교에서 좋지 않은 성적을 거두었다.[12] 그는 혼자 공부하면서 르베그 측도를 재발견했고, 3년간 독립적인 연구를 수행한 후 1948년 파리로 이동했다.
처음에 그로텐디크는 École Normale Supérieure|에콜 노르말 쉬페리외르|고등사범학교프랑스어에서 앙리 카르탕의 세미나에 참석했지만, 수준 높은 세미나를 따라갈 배경 지식이 부족했다. 카르탕과 앙드레 베유의 조언에 따라 낭시 대학교로 옮겨 장 디외도네와 로랑 슈바르츠의 지도를 받았다. 디외도네와 슈바르츠는 그에게 국소 볼록 공간 관련 14개의 미해결 문제를 제시했고, 그로텐디크는 몇 달 안에 이를 모두 해결하는 새로운 수학적 방법을 도입했다.[14][15][16][17][18][19][20]
낭시 대학교에서 1950년부터 1953년까지 함수 해석학에 대한 논문을 작성했으며, 이 시기에 그는 위상 벡터 공간 이론의 선도적인 전문가였다.[21] 1953년, 프랑스 국적 취득을 거부하고 난센 여권을 사용하여 브라질 상파울루 대학교로 이주했다. 1954년 말까지 상파울루에 머물며 위상 벡터 공간 이론에 대한 연구를 계속했다.
1955년 초, 로렌스 (캔자스)로 이주하여 대수적 위상수학과 호몰로지 대수학을 연구하기 시작했으며, 점차 대수기하학에 몰두했다. 로렌스에서 아벨 범주 이론과 층 코호몰로지를 재구성하여 도호쿠 논문을 발표했다.[22]
1957년, 오스카 자리스키의 초청으로 하버드 대학교 방문이 예정되었으나, 미국 정부에 대한 서약 거부로 무산되었다.
레일라 슈넵스는 낭시 시절의 그로텐디크를 École Normale Supérieure|에콜 노르말 쉬페리외르|고등사범학교프랑스어 출신 학생들과 비교하며, 그의 갑작스러운 성공이 수학 역사에서 매우 독특하다고 평가했다.[23] 1953년의 그의 첫 위상 벡터 공간 연구는 양자 물리학에서 그로텐디크 부등식과 아인슈타인-포돌스키-로젠 역설 사이의 관계와 관련하여 성공적으로 적용되었다.[24]
1958년, 고등과학연구소(IHÉS)에 자리를 잡은 그로텐디크는 약 10년 동안 수학 분야에서 지배적인 역할을 하며 강력한 학파를 형성했다.[25] 그는 학술지를 통한 논문 발표를 중단하고, 세미나 활동에 집중했다.
이 기간 동안 그의 제자로는 미셸 드마쥐르, 뤽 일뤼지, 미셸 레노, 장루이 베르디에, 피에르 들리뉴 등이 있었다. SGA 프로젝트의 협력자로는 마이클 아틴, 닉 카츠 등이 있었으며, 장 지로(수학자) 또한 비가환 코호몰로지의 torsor 이론 확장을 연구했다. 데이비드 멈포드, 로빈 하츠숀, 배리 매주어, C.P. 라마누잠 등도 관련되었다.
그로텐디크의 초기 수학 연구는 함수해석학 분야였다. 1949년부터 1953년까지 장 디외도네와 로랑 슈바르츠의 지도 아래 낭시에서 박사 학위 논문을 썼다. 그의 주요 기여는 위상 텐서곱 위상 벡터 공간, 슈바르츠 분포의 기초로서의 핵 공간 이론, 그리고 위상 벡터 공간 사이의 선형 사상을 연구하는 데 Lp 공간의 적용을 포함한다. 그는 이 분야에서 바나흐에 비견될 정도의 영향력을 가졌다.[24]
1955년경부터 층 이론과 호몰로지 대수학을 연구하기 시작했고, 1957년 도호쿠 수학 저널에 Tôhoku 논문 (''Sur quelques points d'algèbre homologique'')을 발표하여 아벨 범주를 소개하고 층 코호몰로지를 정의했다.[22]
그는 개별 다양체의 연구에서 상대적 관점으로 관심을 돌려 많은 고전적인 정리를 일반화했다. 첫 번째 주요 적용은 세르의 정리의 상대적 버전으로, 적절한 사상 아래 가환층의 고차 직접상이 가환임을 보였다.
1956년, 리만-로크 정리에 같은 사고방식을 적용하여 그로텐디크-리만-로크 정리를 발표했다. 이 정리는 아르망 보렐이 세르와 함께 쓴 논문에 출판되었다. 이 결과는 대수기하학 분야의 그의 첫 번째 연구였다.
그의 대수기하학에 대한 기초적인 연구는 스킴 이론으로 이어졌다. 그는 멱영원을 체계적으로 사용하여 유리 기하학, 수론, 갈루아 이론, 가환 대수학의 기법과 대수적 위상수학의 방법을 통합된 방식으로 사용할 수 있게 했다.[58]
2. 5. 정치적 성향과 은퇴 (1970-2014)
그로텐디크는 끔찍한 제2차 세계 대전을 겪은 어린 시절의 영향으로, 극좌파적이고 평화주의적인 정치 성향을 보였다. 베트남 전쟁 중에는 반전 시위의 일환으로 미군의 공중 폭격이 있던 베트남 하노이 근교 숲에서 범주론 세미나를 열기도 했다.[27] 그는 베트남 전쟁과 소련의 군사적 팽창주의에 모두 강력히 반대했다.1958년 프랑스의 수학자 장 디외도네의 지원으로 IHÉS를 설립하였으나, 1970년 프랑스 국방부의 군사 연구 자금이 IHÉS에 들어온 것에 항의하며 갑자기 떠났다.[28] 이후 잠시 학계를 떠났다가 몽펠리에 대학으로 돌아가 1988년까지 교편을 잡았다.
1988년 학계를 완전히 떠난 후, 프랑스 아리에주주의 작은 마을 라세르(Lasserre프랑스어)에서 농사를 지으며 은둔 생활을 하였다. 같은 해 크라포르드상을 수상하였으나 윤리적인 이유로 거절하였다.[84]
2014년 11월 13일, 아리에주주 생지롱(Saint-Girons프랑스어)의 병원에서 86세의 나이로 사망하였다.
3. 주요 업적
IHÉS에서 "황금기"로 묘사되는 기간 동안 그로텐디크는 대수기하학, 정수론, 위상수학, 범주론, 복소해석학에서 여러 가지 통일된 주제를 확립했다. 대수기하학에서 그의 첫 번째 발견은 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리로, 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 대수적으로 일반화한 것이며, 이 맥락에서 그는 K-이론을 도입했다.
그로텐디크의 주요 업적은 다음과 같이 요약할 수 있다.
- 스킴 이론의 정립: 기존의 대수다양체 개념을 확장하여, 대수기하학의 연구 대상을 넓히고 정수론 등 다른 분야와의 연관성을 강화했다. (자세한 내용은 스킴 이론 문단 참고)
- '''상대적 관점'''의 도입: 개별적인 대수다양체 대신 사상을 중심으로 연구하여, 기존 정리들을 일반화하고 새로운 관점을 제시했다. (자세한 내용은 상대적 관점 문단 참고)
- 다양한 코호몰로지 이론 개발: 에탈 코호몰로지, l진 코호몰로지, 결정 코호몰로지 등을 개발하여 베유 추측 해결에 기여하고, 대수다양체의 위상적, 수론적 성질을 연구하는 도구를 제공했다. (자세한 내용은 코호몰로지 이론 문단 참고)
- 모티브 이론 제시: 대수다양체의 공통적인 성질을 추출하는 추상적인 개념인 모티브를 제시하고, 관련 가설들을 통해 후대 연구에 큰 영향을 미쳤다. (자세한 내용은 모티브 문단 참고)
- 토포스 이론 창시: 위상수학의 일반화로서 토포스 이론을 창시하여, 범주적 논리 등 다른 분야에도 영향을 미쳤다.
- 갈루아 이론의 일반화: 범주론적 갈루아 이론을 통해 스킴의 기본군에 대한 대수적 정의를 제공했다.
이러한 업적들은 ''대수기하학 원론''(''EGA'')과 ''대수기하학 세미나''(''SGA'')에 수록되어 있으며, 부르바키 세미나에서 발표된 강연들을 모은 ''대수기하학 기초''(''FGA'')에도 중요한 내용이 담겨 있다.
그로텐디크는 자신의 회고록 ''Récoltes et Semailles''에서 자신의 주요 업적으로 다음 12가지를 꼽았다.[26]
| 순서 | 업적 |
|---|---|
| 1 | 위상 텐서곱과 핵 공간 |
| 2 | "연속" 및 "이산" 쌍대성 (유도 범주, "6가지 연산") |
| 3 | 그로텐디크-리만-로흐 정리와 K-이론, 교차 이론 간의 관계 |
| 4 | scheme |
| 5 | 토포이 |
| 6 | 에탈 코호몰로지 및 l-adic 코호몰로지 |
| 7 | 모티브와 모티브 갈루아 군 (그로텐디크 ⊗-범주) |
| 8 | 결정과 결정 코호몰로지, "드람 계수", "호지 계수" |
| 9 | "위상 대수": ∞-스택, 도출자; 새로운 호모토피 대수를 위한 영감으로서 토포스의 코호몰로지 형식 |
| 10 | 온순한 위상수학 |
| 11 | 비아벨 대수 기하학의 요가, 갈루아-테히뮐러 이론 |
| 12 | 정다각형 및 모든 종류의 정규 구성에 대한 "schematic" 또는 "산술적" 관점 |
그로텐디크는 이들 중 가장 범위가 넓은 것은 토포스이며, 스킴은 다른 8가지 주제(1, 5, 12 제외)에 대한 ''par excellence'' 프레임워크였다고 썼다. 또한 가장 심오한 주제는 모티브, 비아벨 기하학, 갈루아-테히뮐러 이론이라고 평가했다.[26]
3. 1. 스킴 이론
그로텐디크는 기존의 대수다양체 개념을 스킴으로 일반화하고, 스킴의 언어로 대수기하학을 재서술하였다. 그는 호몰로지 대수학의 기술을 스킴 이론에 철저하게 적용하여, 고전적인 대수기하학 문제들을 새롭게 증명하거나 새로운 문제들을 해결하였다.[26]고전적 대수다양체 이론과 그로텐디크의 스킴 이론의 주요 차이점은 다음과 같다.
- 스킴은 닫히지 않은 점들을 포함할 수 있다. 고전 대수기하학에서는 "일반점" 개념이 엄밀하게 정의되지 않았지만, 그로텐디크는 일반점 개념을 엄밀히 하기 위해 자리스키 위상에 닫혀 있지 않은 점을 추가하여 함수환의 모든 소 아이디얼이 점에 대응해야 한다는 것을 밝혔다.
- 스킴은 다항식환의 몫환뿐만 아니라 가환환으로도 정의될 수 있다. 따라서 스킴 이론에서는 기존 대수기하학에서 사용될 수 없었던 멱영원을 사용할 수 있게 되었고, 이는 무한소 개념을 순수하게 대수적인 방법으로 기술할 수 있게 하였다.
그로텐디크는 스킴 이론을 대수기하학에 도입하여 정수론과 대수기하학을 통합하였다. 오늘날 스킴 이론은 대수기하학, 정수론, 갈루아 이론, 가환대수학, 대수적 위상수학 등을 일관적으로 다루고, 대수기하학의 발전이 이러한 수학 분야들에 기여할 수 있게 하였다. 이러한 통합적 관점은 D가군과 같은 새로운 분야의 발달에도 기여하였다.
그는 국제 수학자 회의 발표에서 스킴 이론을 도입하고 ''Éléments de géométrie algébrique'' (''EGA'')에서 자세히 발전시켜, 대수기하학의 새롭고 유연하며 일반적인 기초를 제공했다. 그는 스킴의 에탈 코호몰로지 이론을 도입하여 베유 추측 증명에 중요한 도구를 제공하고, 결정 코호몰로지와 대수적 드람 코호몰로지를 도입했다.
그로텐디크는 비닫힌 일반점을 채택하여 스킴 이론을 이끌었다. 그는 멱영원을 체계적으로 사용하여, '함수'로서 0의 값만 가질 수 있지만 순수하게 대수적인 환경에서 무한소 정보를 전달한다. 그의 ''스킴 이론''은 표현력과 기술적 깊이로 인해 이 분야의 가장 보편적인 기초가 되었다. 이 설정에서 유리 기하학, 수론, 갈루아 이론, 가환 대수학 기법과 대수적 위상수학 방법을 통합하여 사용할 수 있다.
스킴은 현대 대수 기하학의 기본적인 연구 대상이 되었다. 스킴을 기초로 사용하여 기하학은 다른 분야의 기술적 발전을 흡수할 수 있었다.[65]
3. 2. 상대적 관점
그로텐디크는 개개의 대수다양체를 개별적으로 연구하는 것이 아니라, '''상대적 관점'''(Grothendieck’s relative point of view영어) 즉, 대수다양체들 사이의 함수 또는 사상을 연구하는 것이 더 중요하다고 생각하였고, 이러한 상대적 관점을 사용하여 기존의 여러 정리들을 일반화하고 확장했다.[26]상대적 관점으로 얻은 결과 가운데 하나는 1956년 경에 얻어낸 리만-로흐 정리의 일반화이다. 프리드리히 히르체브루흐에 의해서 고차원의 대수다양체의 경우로 확장이 되어 있었는데 (히르체브루흐-리만-로흐 정리), 그로텐디크는 이를 더욱 일반화하여 그로텐디크-리만-로흐 정리(Grothendieck-Riemann-Roch theorem)을 얻었다. 이 결과는 1957년, 독일 본에서 있었던 《아르바이츠타궁》(Arbeitstagungde)에서 발표되었으며, 차후에 아르망 보렐과 장피에르 세르와 함께 쓴 논문에서 출판되었다. 이는 아티야-싱어 지표 정리의 발견에 중요한 역할을 주었다.[26]
3. 3. 코호몰로지 이론
앙드레 베유는 대수다양체의 위상수학적인 성질과 정수론적인 성질 사이의 관계를 설명하는 베유 추측을 발표했고, 새로운 코호몰로지 이론을 통해 이를 증명할 수 있음을 보였다. 그러나 베유 자신은 이러한 코호몰로지 이론을 정의하지 못했다.그로텐디크는 자리스키 위상을 대체하여 에탈 코호몰로지를 도입하였고, 이를 사용하여 베유 추측의 상당 부분을 증명하였다. 1970년대 초반에 그로텐디크의 제자인 피에르 들리뉴는 에탈 코호몰로지를 사용하여 베유 가설을 완전히 증명하였고, 이 업적으로 필즈상을 수상하였다.[26]
그로텐디크의 업적에는 에탈 코호몰로지와 l-진 코호몰로지 이론의 발명이 포함되어 있으며, 이는 앙드레 베유가 제기한 다양체의 위상학적 특성과 그 디오판토스(수론적) 성질 사이의 연관성에 대한 관찰을 설명한다. 예를 들어, 유한체 위의 방정식 해의 개수는 복소수 위에서의 해의 위상학적 성격을 반영한다. 베유는 이러한 연관성을 증명하려면 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다는 것을 깨달았지만, 그로텐디크가 그러한 이론을 제시하기 전까지는 그 자신을 포함한 어떤 전문가도 이를 어떻게 달성해야 할지 알지 못했다.
이 프로그램은 베유 추측의 증명으로 이어졌으며, 그중 마지막 추측은 그로텐디크가 수학계에서 거의 물러난 후 1970년대 초에 그의 제자인 피에르 들리뉴에 의해 해결되었다.
그로텐디크가 발견한 ℓ-아딕 에탈 코호몰로지는 베유 코호몰로지 이론의 첫 번째 예시로서, 베유 추측의 증명을 가능하게 했으며, 이는 결국 그의 제자 피에르 들리뉴에 의해 1970년대에 완성되었다.[66] ℓ-아딕 코호몰로지는 이후 랑글랑즈 프로그램에 적용되면서 정수론자들에게 기본적인 도구가 되었다.[69]
3. 4. 모티브
그로텐디크는 모티브 개념을 정의하고, 이와 관련한 여러 가설을 제시했다. 그로텐디크가 제시한 가설들은 그가 수학계를 떠난 뒤 수십 년 동안 많은 수학자들이 연구 방향을 설정하는 데 중요한 이정표가 되었다.[26] 블라디미르 보예보츠키는 2002년 모티브에 대한 일부 가설을 증명하여 필즈상을 수상했다.4. 저서
- 《대수기하학 원론(Éléments de géométrie algébrique)》(약자 ÉGA)
- 《마리 숲 대수기하학 세미나(Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie)》(약자 SGA)
- 《갈루아 이론을 관통하는 긴 행진》(La Longue Marche à travers la théorie de Galois, 1980-1981): 1600페이지 분량의 손으로 쓴 원고로, 데생 도팡 이론과 비가환 기하학의 근원이 된 에스키스 드 프 프로그램(Esquisse d'un programme)으로 이어진 많은 아이디어를 담고 있다.[30] 테히뮐러 공간 연구도 포함되어 있다.
- 《스택 추구(Pursuing Stacks)》(1983): 600페이지 분량의 원고로, 다니엘 퀼렌에게 보내는 편지로 시작한다. 대수적 호모토피 이론과 대수 기하학 사이의 관계, 비가환 스택 (수학) 이론의 전망에 대한 아이디어를 담고 있다.
- 《데리바퇴르》(Les Dérivateurs, 1991): 2000페이지 분량의 원고로, 《스택 추구》의 호모토피적 아이디어를 발전시켰다. 파비앙 모렐과 블라디미르 보예보츠키의 A¹ 호모토피 이론(모티브 호모토피 이론) 발전을 예고했다.
- 《프로그램의 스케치》(Esquisse d'un Programme, 1984): 국립 과학 연구 센터(CNRS) 자리를 얻기 위한 제안서로, 복소 곡선의 모듈라이 공간 연구에 대한 새로운 아이디어를 설명한다.[30] 데생 도팡 이론과 비가환 기하학의 근원이 되었다.
- 《수확과 씨앗 뿌리기》(Récoltes et Semailles, 1986): 수학에 대한 자신의 접근 방식과 수학계 경험을 묘사한 자전적 작품이다. 2022년 갈리마르에서 출판되었고,[31] 레일라 슈냅스가 번역한 영어 번역본은 2025년 MIT 프레스에서 출판될 예정이다.[32]
- 《꿈의 열쇠》(La Clef des Songes, 1987): 신의 존재에 대한 결론을 담은 315페이지 분량의 원고이다.[43]
- 《좋은 소식의 편지》(Lettre de la Bonne Nouvelle, 1990): 신과의 만남을 설명하고 "새로운 시대"의 시작을 알리는 편지이다.
그로텐디크의 20,000페이지가 넘는 수학 및 기타 저술은 몽펠리에 대학교에 보관되어 있으며, 미출판 상태로 남아있다.[45]
5. 영향
1958년, 그로텐디크는 고등과학연구소(IHÉS)에서 주도적인 역할을 맡았다. IHÉS는 장 디외도네와 그로텐디크를 위해 설립된 새로운 사립 연구소였다.[25] 그는 약 10년 동안 수학 분야에서 지배적인 역할을 하며 강력한 학파를 형성했다.
이 기간 동안 미셸 드마쥐르(군 스킴 연구), 뤽 일뤼지(코탄젠트 복합체), 미셸 레노, 장루이 베르디에(유도 범주 이론 공동 창시자), 피에르 들리뉴 등이 그의 제자였다. 마이클 아틴(에탈 코호몰로지), 닉 카츠(모노드로미 이론) 등도 SGA 프로젝트에 협력했다. 장 지로(수학자)는 비가환 코호몰로지의 torsor 이론 확장을 연구했고, 데이비드 멈포드, 로빈 하츠숀 등도 관련되었다.
그로텐디크의 "황금기" 동안의 업적은 대수기하학, 정수론, 위상수학, 범주론, 복소해석학에서 여러 통일된 주제를 확립했다.[26] 그는 스킴 이론을 도입하여 대수기하학의 새롭고 유연한 기초를 제공했다. 에탈 코호몰로지 이론, 결정 코호몰로지, 대수적 드람 코호몰로지를 도입하고, 토포스 이론을 창시했다. 또한, 기본군에 대한 대수적 정의를 제공하여 에탈 기본군을 탄생시켰다. 그의 연구 결과는 ''EGA''와 ''Séminaire de géométrie algébrique''(SGA)에 출판되었다.
그로텐디크는 급진적이고 평화주의적인 정치적 견해를 가졌다. 베트남 전쟁과 소련의 군사적 팽창주의에 반대했다. 1966년 모스크바에서 열린 국제 수학자 회의(ICM)에 불참했다.[27] 1970년경 IHÉS가 군대에 의해 자금 지원을 받고 있다는 사실을 알고 과학 활동에서 은퇴했다.[28]
1970년, 클로드 슈발레, 피에르 사무엘과 함께 정치 단체 ''Survivre''를 만들었다.[29] 이 그룹은 반군사 및 생태 문제에 전념했으며, 과학 기술의 무차별적인 사용을 비판했다.
그로텐디크는 표준적인 수학 경력을 대부분 끝냈지만, 수학 연구는 계속했다.[1] 1980년대에 그는 수학적, 전기적 내용을 담은 영향력 있는 원고들을 제작했다.
1980년과 1981년에 제작된 《갈루아 이론을 관통하는 긴 행진》은 에스키스 드 프 프로그램(Esquisse d'un programme)으로 이어진 아이디어를 담고 있다.[30] 1983년, 《스택 추구》(''Pursuing Stacks'')를 집필하여 대수적 호모토피 이론과 대수 기하학 사이의 관계, 비가환 스택 (수학)(스택) 이론의 전망을 설명했다. 1991년에는 《데리바퇴르》(''Les Dérivateurs'')를 통해 호모토피적 아이디어를 더욱 발전시켰다.[30]
1984년, 《프로그램의 스케치》(''Esquisse d'un Programme'')를 작성하여 복소 곡선의 모듈라이 공간 연구에 대한 새로운 아이디어를 설명했다.[30] 이 제안서는 데생 도팡(dessin d'enfant) 이론과 비가환 기하학의 근원이 되었다.
자전적 작품 《수확과 씨앗 뿌리기》(''Récoltes et Semailles'', 1986)에서 그는 수학계의 경쟁과 지배력, 자신의 연구가 "매장"되었다고 불평했다.[31]
1988년, 크라포르드 상을 거부하며 과학계의 윤리적 퇴보를 비판했다.[42]
1987년, 《꿈의 열쇠》(''La Clef des Songes'')에서 신의 존재(신)가 존재한다고 결론 내렸다.[43]
그의 수학 및 기타 저술은 몽펠리에 대학교에 보관되어 있으며, 미출판 상태이다.[45]
그로텐디크의 초기 연구는 함수해석학 분야였다. 그의 주요 기여는 위상 텐서곱 위상 벡터 공간, 핵 공간 이론 등을 포함한다. 그는 이 분야에서 바나흐에 비견될 정도의 영향력을 가졌다.
그가 가장 큰 영향을 미친 분야는 대수기하학 및 관련 분야였다. 1955년경부터 층 이론과 호몰로지 대수를 연구했고, 1957년 도호쿠 수학 저널에 "Tôhoku 논문"을 발표했다. 그는 아벨 범주를 소개하고 층 코호몰로지를 정의했다.
그는 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하고, K-이론을 도입했다. 스킴 이론을 도입하여 대수기하학의 기초를 재건했다.
그는 수학에 대한 추상적인 접근 방식과 발표 문제에 있어 완벽주의적인 것으로 알려져 있다.[25] 그의 영향력은 D-가군 이론 등 다른 분야로 확장되었다. "수학의 아인슈타인"으로 칭송받았지만, 그의 연구는 부정적인 반응을 불러일으키기도 했다.[59][60]
회고록 ''Récoltes et Semailles''에서 그는 자신의 기여 중 "위대한 아이디어"로 간주되는 12가지를 꼽았다.
# 위상 텐서곱과 핵 공간
# "연속" 및 "이산" 쌍대성 (유도 범주, "6가지 연산")
# 그로텐디크-리만-로흐 정리와 K-이론
# scheme
# 토포이
# 에탈 코호몰로지 및 l-adic 코호몰로지
# 모티브와 모티브 갈루아 군
# 결정과 결정 코호몰로지
# "위상 대수": ∞-스택, 도출자
# 온순한 위상수학
# 비아벨 대수 기하학, 갈루아-테히뮐러 이론
# 정다각형 및 정규 구성에 대한 "schematic" 관점
그는 이 중 토포이가 가장 범위가 넓고, schemes가 다른 주제들의 프레임워크이며, 모티브, 비아벨 기하학, 갈루아-테히뮐러 이론이 가장 심오하다고 믿었다.
그로텐디크는 보편 성질의 역할을 강조하며 범주론을 주류에 진입시켰다. 그의 아벨 범주 개념은 호몰로지 대수에서 기본적인 연구 대상이다.
주요 업적으로는 scheme에 의한 대수기하학 재정립, ''l''-진 코호몰로지(에탈 코호몰로지), 결정 코호몰로지 발견, 모티브 고찰, 원 아벨 기하학 제창, 어린이의 데생 고찰 등이 있다. 강하 이론, 그로텐디크 군에 의한 K이론 기여, 토포스 이론, 갈루아 범주 및 탄나카 범주에 의한 갈루아 이론 일반화 등의 업적도 있다. 들리뉴, 튈리시 등 많은 수학자를 길러냈다. 수론 기하학이라는 용어를 제안한 것도 그였다.
6. 일화
알렉산더 그로텐디크는 많은 사람들에게 20세기 최고의 수학자로 여겨진다.[62] 데이비드 머포드와 존 테이트는 부고에서 다음과 같이 썼다.
20세기에 걸쳐 수학은 점점 더 추상적이고 일반화되었지만, 이러한 경향의 가장 위대한 거장은 알렉산더 그로텐디크였다. 그의 독특한 기술은 불필요한 가설을 모두 제거하고, 가장 추상적인 수준에서 내부 패턴이 드러날 정도로 한 분야를 깊이 파고드는 것이었다. 그리고 마치 마법사처럼, 그 본질이 드러난 지금, 오래된 문제의 해답이 간단하게 풀리는 것을 보여주었다.|20세기에 걸쳐 수학은 점점 더 추상적이고 일반화되었지만, 이러한 경향의 가장 위대한 거장은 알렉산더 그로텐디크였다. 그의 독특한 기술은 불필요한 가설을 모두 제거하고, 가장 추상적인 수준에서 내부 패턴이 드러날 정도로 한 분야를 깊이 파고드는 것이었다. 그리고 마치 마법사처럼, 그 본질이 드러난 지금, 오래된 문제의 해답이 간단하게 풀리는 것을 보여주었다.영어[62]
수학자 라비 바킬은 "수학의 전체 분야가 그가 설정한 언어를 사용한다. 우리는 그가 지은 이 거대한 구조물 안에서 살고 있다. 우리는 그것을 당연하게 여기지만, 건축가는 없다."라고 평했으며, 콜린 맥라티는 "오늘날 많은 사람들이 그로텐디크의 집에 살고 있지만, 그곳이 그로텐디크의 집이라는 것을 알지 못한다"라고 말했다.[48]
자연수 57은 "'''그로텐디크 소수'''[89]"라고 불린다. 57은 소수가 아니지만(3 × 19 = 57), 이는 그로텐디크가 소수에 관한 일반론에 대해 강연을 할 때, 구체적인 소수를 사용하여 예를 들어달라는 요청에 그가 실수로 57을 선택한 데서 유래한다. 이 일화는 그의 사고가 처음부터 추상적이었으며, 구체적인 예로 고찰하지 않고 일반론을 구축했음을 보여주는 것이라고 데이비드 멈포드는 말한다.[90]
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Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, seconde partie
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Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie
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Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie
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Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie
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Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie
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