값매김환

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1. 개요

값매김환은 정역 D와 그 분수체 K에 대해 특정 조건을 만족하는 환으로, 아이디얼 구조를 값군의 선분 구조를 통해 이해할 수 있다. 값매김환은 국소환이자 베주 정역이며, 뇌터 환일 필요충분조건은 주 아이디얼 정역인 것이다. 모든 체는 값매김환이며, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환, 정수환의 국소화, p진 정수환 등이 값매김환의 예시에 해당한다.

값매김환

개요

분야	추상대수학
하위 분야	환론

정의

정의	가환환 R의 부분환 A로서, R의 임의의 원소 x에 대해 x ∈ A 이거나 x⁻¹ ∈ A인 것을 값매김환이라 한다.

성질

성질	값매김환은 정역이다.
성질	정역 A가 값매김환일 필요충분조건은 A의 분수체의 임의의 두 아이디얼이 포함관계에 있는 것이다.
성질	정역 A가 값매김환일 필요충분조건은 A의 분수체의 임의의 유한 생성 아이디얼이 주 아이디얼인 것이다.

관련 개념	데데킨트 정역
관련 개념	이산 값매김환

2. 정의

정역 D와 그 분수체 K에 대해 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

* 임의의 $x\in K$ 에 대하여, $x=0$ 이거나 $x\in D$ 이거나 $x^{-1}\in D$ 이다.
* 베주 정역이자 국소환이다.
* D의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
* D의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
* 임의의 $a,b\in D$ 에 대하여, $a\mid b$ 이거나 $b\mid a$ 이다.
* 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

정역 $D$ 위의 값매김(valuation^영어) $(\Gamma,\le,\nu)$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.

* 아벨 군 $\Gamma$ . 이를 값군(값群, value group^영어)이라고 한다.
* $\Gamma$ 위의 전순서 $\le\subseteq \Gamma^2$
* 군 준동형 $\nu\colon(\operatorname{Frac}D)^\times\to \Gamma$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* (전순서의 병진 불변성) 임의의 $g,h,k\in\Gamma$ 에 대하여, $g\le h$ 라면 $g+k\le h+k$ 이다.
* $D=\{x\in(\operatorname{Frac}D)^\times\colon0\le\nu(x)\}\cup\{0\}$

값매김환의 아이디얼이 전순서 집합이라는 사실로부터 값매김환이 국소 정역이고, 값매김환의 모든 유한 생성 아이디얼이 주 아이디얼이라는 것을 결론지을 수 있다(즉, 값매김환은 베주 정역이다). 실제로, 정역이 국소 베주 정역인 경우에만 값매김환이라는 Krull의 정리이다.

또한, 통상적으로 $\nu(0)=\infty$ 이며, $\nu(0)>\nu(a)\forall a\ne0$ 이라고 하자. 그렇다면 값매김 $\nu$ 는 다음과 같은 성질을 만족한다.

* $\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)$
* $\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}$
* $\nu(a)=\infty$ 일 필요충분조건은 $a=0$

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 $-|a+b|\ge-|a|-|b|$ 를 강화한 것이다.

값 그룹이 군 동형 사상으로 정수의 가법군과 동형인 경우 이를 "이산"이라고 하며, 값매김환은 이산 값 그룹을 갖는 필요충분 조건은 이산 값매김환인 것이다.

3. 성질

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.
* 뇌터 환이다.
* 주 아이디얼 정역이다.
* 체이거나 아니면 이산 값매김환이다.

정역 D와 그 분수체 K에 대해 다음은 동등하다.
# K의 모든 0이 아닌 x에 대해 x 또는 x⁻¹ 중 적어도 하나가 D에 있다.
# D의 아이디얼은 포함 관계에 의해 전순서 집합이다.
# D의 주 아이디얼은 포함 관계에 의해 전순서 집합이다(즉, D의 원소는 단위까지 나눗셈에 의해 전순서 집합이다).
# 값매김 ν: K → Γ ∪ {∞}를 가지고, D = { x ∈ K | ν(x) ≥ 0 }인 전순서군 Γ(값 그룹이라고 함)와 아벨 군이 있다.

처음 세 가지 정의의 동등성은 쉽게 알 수 있다. 크룰(Krull)의 정리에 따르면 처음 세 조건을 만족하는 모든 환은 네 번째 조건을 만족한다. Γ를 K^×/D^×, 즉 K의 단위군을 D의 단위군으로 나눈 몫군으로 하고, ν를 자연 투영으로 한다. Γ를 D의 원소의 잉여류를 "양수"로 하여 전순서군으로 만들 수 있다.

임의의 전순서 아벨군 Γ가 주어지면, 값 그룹 Γ를 갖는 값매김환 D가 존재한다(Hahn series 참조).

값매김환은 국소 정역이고, 모든 유한 생성 아이디얼이 주 아이디얼이다(즉, 베주 정역이다). 정역이 국소 베주 정역인 경우에만 값매김환이라는 크룰(Krull)의 정리가 있다. 값매김환이 뇌터 환일 필요충분 조건은 주 아이디얼 정역인 것이다. 이 경우, 이는 체이거나 정확히 하나의 0이 아닌 소 아이디얼을 갖는다. 후자의 경우 이를 이산 값매김환이라고 한다. (관례에 따라 체는 이산 값매김환이 아니다.)

값 그룹이 군 동형 사상으로 정수의 덧셈군과 동형인 경우 이를 "이산"이라고 하며, 값매김환은 이산 값 그룹을 갖는 필요충분 조건은 이산 값매김환인 것이다.

값매김환의 아이디얼과 값 군의 관계는 '값매김환의 아이디얼'에서 다룬다.

Γ의 높이 또는 계수 r(Γ)는 Γ의 고립 부분군 집합의 기수로 정의된다. 영이 아닌 소 아이디얼은 전순서가 주어지고 Γ의 고립 부분군에 대응하므로, Γ의 높이는 Γ와 관련된 값매김환 D의 크룰 차원과 같다.

가장 중요한 특별한 경우는 높이가 1인 경우이며, 이는 Γ가 덧셈에 대한 실수 $\mathbb{R}$ 의 부분군(또는 곱셈에 대한 양의 실수 $\mathbb{R}^{+}$ 의 부분군)인 것과 동등하다. 높이가 1인 값을 갖는 값매김환은 절댓값에 대응하며, 이는 초거리 장소를 정의한다. 이의 특수한 예는 앞서 언급한 이산 값매김환이다.

유리 계수 rr(Γ)는 아벨 군으로서 값 그룹의 계수로, 다음과 같이 정의된다.
: $\mathrm{dim}_\Q(\Gamma \otimes_\Z \Q).$

3.1. 값매김환의 아이디얼

값매김환 $D$ 의 아이디얼은 값군 $\Gamma$ 의 선분을 통해 나타낼 수 있다.

$\Gamma$ 의 선분(segment^영어)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $\Delta\subseteq\Gamma$ 이다.
* 임의의 $\delta\in\Delta$ 에 대하여, $[-\delta,\delta]\subseteq\Delta$ 이다. 여기서 $[,]$ 는 전순서에 대한 닫힌구간이다.

$\Gamma$ 의 고립 부분군(isolated subgroup^영어)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

$D$ 의 진 아이디얼 $\mathfrak a\subsetneq D$ 에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각할 수 있다.
: $\mathfrak a\mapsto\Gamma\setminus\bigcup_{a\in\mathfrak a\setminus\{0\}}\{\nu(a),-\nu(a)\}$

이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
* $D$ 의 진 아이디얼들과, $\Gamma$ 의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
* $D$ 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, $\Gamma$ 의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

예시: p-진 정수환 $\mathbb Z_p$ 는 값군 $\mathbb Z$ 를 갖는 값매김환이다. $\mathbb Z$ 의 영 부분군은 유일한 극대 아이디얼 $(p) \subset \mathbb Z_p$ 와 대응하고, 군 자체는 영 아이디얼과 대응한다. 극대 아이디얼은 $\mathbb Z$ 의 유일한 고립 부분군이다.

4. 구성

주어진 전순서 아벨 군 Γ와 잉여체 k에 대해, K = k((Γ))를 지수가 Γ에서 오는 형식적 멱급수 환으로 정의한다. 즉, K의 원소는 각 함수의 지지 집합(함수 값이 k의 0이 아닌 Γ의 원소 전체)이 G의 정렬 부분 집합인 Γ에서 k로의 함수이다. 덧셈은 점별 합이고, 곱셈은 코시 곱 또는 컨볼루션 곱이다. 이는 멱급수
: $\sum_{g \in G} f(g) x^g$ with $x^g \cdot x^h = x^{g+h}$
로 함수를 볼 때 자연스러운 연산이다.

f의 K에서의 값 ν(f)는 f의 지지 집합의 최소 원소, 즉 f(g)가 0이 아닌 최소의 Γ의 원소 g로 정의된다. ν(f)≥0인 f는 (K의 0과 함께) 값 군 Γ, 값 ν, 잉여체 k인 K의 부분환 D를 이룬다.

5. 지배와 정수적 폐포

국소환 $(S,\mathfrak{m}_S)$ 가 $S \supseteq R$ 이고 $\mathfrak{m}_S \cap R = \mathfrak{m}_R$ 이면 국소환 $(R,\mathfrak{m}_R)$ 을 지배한다고 한다. 즉, 포함 관계 $R \subseteq S$ 는 국소환 준동형사상이다. 체 K의 모든 국소환 $(A, \mathfrak{p})$ 는 K의 어떤 값매김환에 의해 지배된다.

A를 체 K의 부분환으로 하고, $f: A \to k$ 를 대수적 폐체 k 안으로의 환 준동형이라고 할 때, f는 A를 포함하는 K의 어떤 값매김환 D에 대한 환 준동형 $g: D \to k$ 로 확장된다.

정역 A의 정수적 폐포는 A의 분수체 K에서 A를 포함하는 모든 값매김환의 교집합이다.

6. 예시

값매김환의 예시는 다음과 같다.

* 모든 체는 값매김환이다. 예를 들어 대수다양체 $X$ 에 대한 유리 함수의 체 $\mathbb{F}(X)$ 가 있다.
* 정역 $\Complex[X]$ 는 값매김환이 아니다. 일반적인 $f/g \in \Complex(X)$ 의 역수는 $g/f \not\in \Complex[X]$ 이기 때문이다.
* 멱급수의 체 $\mathbb{F}((X)) =\left\{ f(X) =\! \sum_{i>-\infty}^\infty a_iX^i \, :\ a_i \in \mathbb{F} \right\}$ 는 값매김 $v(f) = \inf\nolimits_{a_n \neq 0} n$ 를 가진다. 부분환 $\mathbb{F} X$ 또한 값매김환이다.
* 소 아이디얼 (p)에서 정수 $\Z$ 의 국소화 $\Z_{(p)}$ 는 분자가 임의의 정수이고 분모가 p로 나누어지지 않는 유리수로 구성된다. 분수체는 유리수 $\Q$ 의 체이다.
* 주어진 소수 p에 대한 모든 p-진 정수의 환 $\Z_p$ 는 국소환이며, 분수체는 p-진수 $\Q_p$ 이다. p-진 정수의 정수적 폐포 $\Z_p^{\text{cl}}$ 또한 국소환이며, 분수체는 $\Q_p^{\text{cl}}$ (p-진수의 대수적 폐포)이다. $\Z_p$ 와 $\Z_p^{\text{cl}}$ 모두 값매김환이다.
* 순서체 k의 유한 원소(두 정수 n < x < m 사이에 있는경우)의 집합 D는 값매김환이다. x ∈ D이고 x⁻¹ ∉ D인 원소 x의 집합은 무한소 원소의 집합이고, x ∉ D이고 x⁻¹ ∈ D인 원소 x는 무한이다.
* 초실수체 *R(실수를 포함하는 순서체)의 유한 원소의 환 F는 *R의 값매김환이다. F는 표준 실수의 무한소 양만큼 다른 모든 초실수로 구성되며, 이는 표준 정수 n에 대해 −n < x < n인 초실수 x와 같다. 잉여류체, 무한소 초실수의 아이디얼에 대한 유한 초실수는 실수에 동형이다.
* 대수 평면 곡선에서 다항식 환 $\Complex[x, y]$ 와 그 환의 기약 다항식 $f$ 를 고려할때, 환 $\Complex[x, y] / (f)$ 는 곡선 $\{(x, y) : f(x, y) = 0\}$ 에 대한 다항식 함수의 환이다. $f(P) = 0$ 이고 곡선에서 정칙점인 점 $P = (P_x, P_y) \in \Complex ^2$ 을 선택하면, 점에서의 국소환 R은 크룰 차원이 1인 정칙 국소환 또는 이산 값매김환이다.
* 포함 관계 $X$ 를 고려해 보면, 이들은 모두 하한 멱급수 $\mathbb{C}((X))$ 의 부분환이다.
* 임의의 체는 부치환이다.
* 유리 정수환 Z의 소 아이디얼 (p)에서의 국소화 Z_(p)는 분자가 임의의 정수이고 분모가 p로 나누어지지 않는 정수인 유리수로 구성된다. 분수체는 유리수체 Q이다.
* 매클로린 급수 (0에서의 테일러 급수 전개)를 갖는, 모든 복소 평면 상의 유리형 함수의 환은 부치환이다. 분수체는 평면 전체에서 유리형 함수이다. f가 매클로린 급수를 갖지 않으면 1/f가 갖는다.
* 임의로 주어진 소수 p에 대하여, p-진 정수 환 Z_p는, p-진수 Q_p를 분수체로 갖는 국소환이다. p-진 정수환의 정폐포 Z_p^cl는 또한 국소환이며, 그 분수체는 Q_p^cl(p-진수체의 대수적 폐포)이다. Z_p와 Z_p^cl는 모두 부치환이다.
* 순서체k의 유한한 원소 전체의 집합 D는 부치환이다. x ∈ D이고 x⁻¹∉D인 원소 x 전체의 집합은 무한소인 원소 전체의 집합이다. x∉D이고 x⁻¹∈D인 원소 x는 무한대라고 한다.
* 초실수체 *R (이것은 실수를 포함하는 순서체이다)의 유한 초실수로 이루어진 부분환 F는 *R의 부치환이다. F는 보통의 실수와 무한소로 다른 모든 초실수(이것은 어떤 보통의 정수 n에 대해 −n < x < n인 초실수 x라고 해도 같다)로 이루어져 있다. 유한 초실수를 무한소 초실수의 아이디얼로 나눈 잉여체는 실수체와 동형이다.

6.1. 체

모든 체는 값매김환이다. 체 $K$의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 $[0,0]=\{0\}$밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

6.2. 유리형 함수

원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × -1)이다.

6.3. 정수환의 국소화

소수 $p$ 에 대한 정수환의 국소화 $\mathbb Z_{(p)}$ 는 이산 값매김환이다. 이는 분자가 임의의 정수이고 분모가 $p$ 로 나누어지지 않는 유리수로 구성된다. $\mathbb Z_{(p)}$ 의 분수체는 유리수체 $\mathbb Q$ 이고, 값매김군은 $\mathbb Z\cong\{p^n\colon n\in\mathbb Z\}$ 이다. 이 경우 값매김은 $\nu(p^n(a/b))=n$ ( $a,b$ 는 $p$ 와 서로소)이며, 이를 p진 값매김(p-adic valuation^영어)이라고 한다. 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.

6.4. p진 정수환

p진 정수들의 가환환은 이산 값매김환이다.

6.5. 형식적 멱급수환

임의의 체 K^영어에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환 K^영어x는 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수의 체 K^영어((x))이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.
: $\nu\left(\sum_{i\in\mathbb Z}p_ix^i\right) = \min\{i\in \mathbb Z \colon p_i \ne 0\}$
(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)
K^영어X 또한 값매김환이다.

7. 무한대에서의 자리

아핀 다양체 $X$ 에 대한 함수체에는 $X$ 의 소수와 관련이 없는 값매김이 존재한다. 이러한 값매김을 무한대에서의 자리라고 한다. 예를 들어 아핀 선 $\mathbb{A}^1_k$ 은 함수체 $k(x)$ 를 갖는다.

: $k\left[\frac{1}{x}\right]$ 의 국소화에 관련된 자리는

: $\mathfrak{m} = \left(\frac{1}{x}\right)$

에서 최대 아이디얼로, 무한대에서의 자리이다.