비에트 공식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 역사적 배경
- 3.1. 아르키메데스의 방법
4. 수학적, 역사적 의의
- 4.1. 극한과 수렴
- 4.2. 수렴 속도
5. 관련 공식
- 5.1. 오일러 공식과의 관계
- 5.2. 다른 공식과의 관계
6. 유도
- 6.1. 망원 급수
- 6.2. 삼각함수 항등식
7. 응용
참조

1. 개요

비에트 공식은 원주율 π를 나타내는 무한 곱 공식으로, 다음과 같이 표현된다.

$\frac 2\pi=\sqrt{\frac 12}\cdot\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12}}\cdot\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12}}}\cdot\cdots$

이는 수학에서 최초로 알려진 무한 곱 공식 중 하나이며, π의 정확한 값을 구하는 명시적 공식의 초기 사례로 평가된다. 비에트 공식은 극한의 개념을 사용하여 표현할 수 있으며, 수렴 속도가 빨라 적은 항으로도 높은 정확도의 원주율 근사값을 얻을 수 있다. 또한, 오일러의 싱크 함수 공식과 관련이 있으며, 정다각형의 면적 비교 또는 삼각 함수 항등식을 통해 유도할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

원주율 알고리즘 - 바젤 문제
바젤 문제는 1644년 멩골리가 제곱수의 역수 합의 수렴 여부와 그 값을 묻는 질문에서 시작되어 여러 수학자들이 도전했으나 오일러가 1735년 해답을 제시하며 자연수 짝수 거듭제곱의 역수 합으로 일반화되었고, 그 해답은 {{math|1=''π''{{sup|2}}/6}}이다.
원주율 알고리즘 - 월리스 공식
월리스 공식은 π/2를 무한 곱으로 표현하는 공식으로, 월리스 적분이나 삼각 함수 무한 곱 전개로 유도 가능하며, 원주율 계산 역사에서 중요하지만 수렴 속도가 느리다.

비에트 공식
공식 명칭
이름	비에트 공식
로마자 표기	Bi-eteu gong-sik
영어 이름	Viète's formula
내용
분야	수학, 특히 대수학
설명	대수 방정식의 근과 계수의 관계를 나타내는 공식이다. 구체적으로, n차 다항식의 계수를 근의 합, 곱 등으로 표현한다.
예시
이차 방정식	ax² + bx + c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, α + β = -b/a, αβ = c/a이다.
삼차 방정식	ax³ + bx² + cx + d = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때, α + β + γ = -b/a, αβ + αγ + βγ = c/a, αβγ = -d/a이다.
역사
창시자	프랑수아 비에트
발견 시기	16세기
활용
응용 분야	다항식의 근을 구하는 데 사용된다. 방정식의 해를 분석하는 데 사용된다. 대칭 다항식의 값을 계산하는 데 사용된다.
관련 항목
관련 개념	근과 계수의 관계 대칭 다항식 대수 방정식
관련 공식	비에트의 코사인 공식

2. 정의

원주율 $\pi$에 대한 '''비에트 공식'''은 다음과 같다.^[1]

:$\frac 2\pi=

\sqrt{\frac 12}\cdot

\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12}}\cdot

\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12+\frac 12\sqrt{\frac 12}}}\cdot

\cdots$^[1]

비에트 공식은 다음과 같은 극한식으로 다시 쓸 수 있다.^[1]

:$\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi,$

여기서

:$\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}$이다.^[1]

각 $n$에 대해, 극한의 식은 유한 곱이며, $n$이 임의로 커짐에 따라, 이러한 유한 곱들은 비에트 공식의 값에 임의로 가깝게 접근하는 값을 갖는다. 비에트는 극한의 개념과 수렴에 대한 엄밀한 증명이 수학에서 개발되기 오래 전에 자신의 작업을 수행했다. 이 극한이 존재한다는 첫 번째 증명은 1891년 페르디난트 루디오의 연구에서 제시되었다.^[1]

비에트 공식과 $\pi$에 대한 여러 역사적인 무한 급수의 수렴 비교. $S_n$은 $n$개의 항을 취한 후의 근사값이다. 각 후속 서브플롯은 음영 처리된 영역을 가로로 10배 확대한다.

극한의 수렴 속도는 주어진 자릿수의 정확도를 얻기 위해 필요한 식의 항의 수를 관리한다. 비에트 공식에서, 항의 수와 자릿수는 서로 비례한다. 극한에서 처음 $n$개의 항의 곱은 약 $0.6n$ 자릿수까지 정확한 $\pi$의 식을 제공한다.^[1] 이 수렴 속도는 $\pi$에 대한 이후의 무한 곱 공식인 월리스 곱과 비교하여 매우 유리하다. 비에트 자신은 그의 공식을 사용하여 $\pi$를 9자리 정확도로만 계산했지만, 그의 공식의 가속된 버전은 수십만 자리까지 $\pi$를 계산하는 데 사용되었다.^[1]

3. 역사적 배경

프랑수아 비에트(1540–1603)는 프랑스 왕의 추밀 고문이자 아마추어 수학자였다. 그는 1593년 자신의 저서 《수학적 문제에 대한 다양한 답변, 8권》(Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII)에서 이 공식을 발표했다.^[1]

비에트의 공식은 수학에서 알려진 최초의 무한 곱 공식이자,^[2] π(원주율)의 정확한 값을 구하는 명시적 공식의 첫 번째 예시였다.^[3] 엘리 마오르는 이 공식을 수학적 분석의 시작을 알리는 것으로 평가했으며, 조나단 보르와인은 그 출현을 "현대 수학의 새벽"이라고 불렀다.^[4]^[5]

비에트는 자신의 공식을 사용하여 π를 소수점 9자리까지 계산했다.^[6] 그러나 이는 당시 알려진 π의 가장 정확한 근사값은 아니었는데, 페르시아 수학자 자마시드 알 카시가 1424년에 π를 16개의 소수점 자리까지 계산했기 때문이다.^[5] 비에트가 자신의 공식을 발표한 지 얼마 지나지 않아 루돌프 판 쾨런은 비에트의 방법과 밀접하게 관련된 방법을 사용하여 π의 35자리를 계산했으며, 이는 쾨런이 1610년에 사망한 후에야 발표되었다.^[5]

3. 1. 아르키메데스의 방법

비에트는 아르키메데스가 다각형을 이용하여 원의 둘레를 근사하는 방법을 변형하여 공식을 유도했다. 아르키메데스는 이 방법을 통해 원주율의 근사값을 제시한 바 있다. (

\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}

)

4. 수학적, 역사적 의의

비에트는 자신의 방법을 통해 수학에서 최초로 무한 곱을 공식화하고, 원주율(π)의 정확한 값을 구하는 명시적 공식을 제시했다. 엘리 마오르는 비에트의 공식을 수학적 분석의 시작을 알리는 것으로 평가했으며, 조나단 보르와인은 "현대 수학의 새벽"이라고 불렀다.

비에트는 자신의 공식을 사용하여 π를 소수점 9자리까지 계산했다. 그러나 이는 당시 가장 정확한 근사값은 아니었는데, 페르시아 수학자 자마시드 알 카시가 1424년에 π를 9개의 육십진법 숫자와 16개의 소수점 자리까지 계산했기 때문이다. 비에트가 공식을 발표한 후, 루돌프 판 쾨런은 비에트의 방법과 관련된 방법을 사용하여 π의 35자리를 계산했으며, 이는 쾨런이 1610년에 사망한 후에 발표되었다.

비에트의 공식은 무한한 스프링과 질량 체인에서 서로 다른 주파수의 파동 속도 차이를 설명하고, 이러한 속도의 극한 동작에서 π의 출현을 설명하는 데 사용될 수 있다. 또한, 라데마허 시스템을 포함하는 적분의 곱으로 이 공식을 유도하면 통계적 독립 개념에 대한 동기를 부여하는 예시를 제공한다.

4. 1. 극한과 수렴

비에트 공식은 다음과 같은 극한식으로 다시 쓸 수 있으며 이해할 수 있다.^[1]

:

\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi,

여기서

:

\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}

각

n

에 대해, 극한의 식은 유한 곱이며,

n

이 임의로 커짐에 따라, 이러한 유한 곱들은 비에트 공식의 값에 임의로 가깝게 접근하는 값을 갖는다. 비에트는 극한의 개념과 수렴에 대한 엄밀한 증명이 수학에서 개발되기 오래 전에 자신의 작업을 수행했다. 이 극한이 존재한다는 첫 번째 증명은 1891년 페르디난트 루디오의 연구에서 제시되었다.^[2]^[3]

극한의 수렴 속도는 주어진 자릿수의 정확도를 얻기 위해 필요한 식의 항의 수를 관리한다. 비에트 공식에서, 항의 수와 자릿수는 서로 비례한다. 극한에서 처음 ''n''개의 항의 곱은 약 0.6''n'' 자릿수까지 정확한 π의 식을 제공한다.^[4]^[5] 이 수렴 속도는 π에 대한 이후의 무한 곱 공식인 월리스 곱과 비교하여 매우 유리하다. 비에트 자신은 그의 공식을 사용하여 π를 9자리 정확도로만 계산했지만, 그의 공식의 가속된 버전은 수십만 자리까지 π를 계산하는 데 사용되었다.^[4]

4. 2. 수렴 속도

비에트 공식의 수렴 속도는 주어진 자릿수의 정확도를 얻기 위해 필요한 식의 항의 수를 결정한다. 비에트 공식에서 항의 수와 자릿수는 서로 비례한다. 극한에서 처음 n개의 항의 곱은 약 0.6n 자릿수까지 정확한 원주율(π)의 식을 제공한다.^[3]^[4] 이 수렴 속도는 월리스 곱과 같은 π에 대한 이후의 무한 곱 공식과 비교하여 매우 유리하다. 비에트 자신은 그의 공식을 사용하여 π를 9자리 정확도로만 계산했지만, 그의 공식의 가속된 버전은 수십만 자리까지 π를 계산하는 데 사용되었다.^[3]

5. 관련 공식

비에트 공식으로부터 2의 중첩된 제곱근을 포함하지만 단 하나의 곱셈만 사용하는 원주율( $\pi$ ) 관련 공식을 유도할 수도 있다.^[1]

: $\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ square roots}}$

이는 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

: $\begin{align}\pi &= \lim_{k\to\infty} 2^k\sqrt{2-a_{k}}, \\a_1 &= 0, \\a_k &= \sqrt{2+a_{k-1}}.\end{align}$

이와 유사하게 중첩된 근호나 삼각함수의 무한 곱을 사용하는 원주율 및 황금비 등 다른 상수들에 대한 많은 공식들이 알려져 있다.^[1]

5. 1. 오일러 공식과의 관계

레온하르트 오일러가 제시한 싱크 함수 공식은 다음과 같다.^[1]

:

\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots

위 공식에

x = \frac{\pi}{2}

를 대입하면 다음과 같다.^[1]

:

\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots

반각 공식을 이용해 위 식의 각 항을 이전 항의 함수로 표현하면 다음과 같다.^[1]

:

\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}

위 식으로부터 비에트 공식을 유도할 수 있다.^[1]

5. 2. 다른 공식과의 관계

비에트 공식은 레온하르트 오일러가 발견한 싱크 함수 공식의 특수한 경우로 볼 수 있다.^[1]

:

\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots

이 공식에

x = \frac{\pi}{2}

를 대입하면 다음과 같다.

:

\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots

여기에 반각 공식을 적용하면 비에트 공식을 얻을 수 있다.^[1]

:

\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}

비에트 공식에서 2의 중첩된 제곱근을 포함하면서 곱셈을 한 번만 사용하는 원주율(

\pi

) 관련 공식을 유도할 수도 있다.^[1]

:

\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ square roots}}

이는 다음과 같이 간단하게 표현 가능하다.

:

\begin{align}\pi &= \lim_{k\to\infty} 2^k\sqrt{2-a_{k}}, \\a_1 &= 0, \\a_k &= \sqrt{2+a_{k-1}}.\end{align}

비에트 공식과 유사하게 중첩된 근호나 삼각함수의 무한 곱을 이용한 원주율 및 황금비 등 다른 상수들에 대한 공식들이 많이 알려져 있다.^[1]

6. 유도

비에트는 원에 내접하는 정다각형(변의 개수가 2의 거듭제곱)의 면적 또는 둘레의 비율을 비교하여 공식을 유도했다. 구체적인 방법은 다음과 같다.

망원 급수를 이용한 유도: 자세한 내용은 #망원 급수를 참고하면 된다.
삼각함수 항등식을 이용한 유도: 자세한 내용은 #삼각함수 항등식를 참고하면 된다.

6. 1. 망원 급수

원에 내접하는 변의 수가 2의 거듭제곱인 정다각형 수열. 연속하는 다각형의 면적 또는 둘레 사이의 비율은 비에트 공식의 항을 제공한다.

비에트는 원에 내접하는 2^''n''^영어개와 2^{''n'' + 1}^영어개의 변을 갖는 정다각형의 면적을 비교하여 그의 공식을 얻었다.^[1]^[2] 곱의 첫 번째 항인

\sqrt{2}/2

는 정사각형과 팔각형의 면적 비율이고, 두 번째 항은 팔각형과 16각형의 면적 비율이다. 따라서 곱은 망원 급수되어 정사각형(수열의 초기 다각형)과 원(2^''n''^영어-각형의 극한 경우)의 면적 비율을 제공한다. 또는 곱의 항을 같은 수열의 다각형 둘레의 비율로 해석할 수 있는데, 이각형(원의 지름, 두 번 계산)과 정사각형의 둘레 비율, 정사각형과 팔각형의 둘레 비율 등으로 시작한다.^[3]

6. 2. 삼각함수 항등식

배각 공식을 반복적으로 적용하면 모든 양의 정수 n에 대해 수학적 귀납법에 의한 증명이 가능해진다.

:

\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).

n이 무한대로 갈 때

2^n \sin\frac{x}{2^n}

항은 x로 수렴하며, 여기서 오일러 공식이 도출된다. 비에트 공식은

x = \frac{\pi}{2}

를 대입하여 이 공식으로부터 얻을 수 있다.^[3]

7. 응용

비에트 공식은 무한한 스프링과 질량 체인에서 서로 다른 주파수의 파동 속도 차이를 설명하는 데 사용될 수 있으며, 이러한 속도의 극한 동작에서 π의 출현을 설명하는 데 사용할 수 있다.^[4] 또한, 동일한 함수의 곱의 적분과 같은 라데마허 시스템을 포함하는 적분의 곱으로 이 공식을 유도하면 통계적 독립 개념에 대한 동기를 부여하는 예시를 제공한다.^[5]

참조

_[1] 서적 Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics Oxford University Press 2018
_[2] 논문 Continued radicals
_[3] 서적 A History of {{pi}} https://books.google[...] The Golem Press
_[4] 논문 De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi https://scholarlycom[...]
_[5] 서적 From Alexandria, Through Baghdad Springer 2024-08-20
_[6] 논문 Teaching wave propagation and the emergence of Viète's formula 2011-12
_[7] 서적 Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing https://books.google[...] Matador
_[8] 서적 The Number pi American Mathematical Society
_[9] 서적 Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America
_[10] 논문 "{{pi}} to thousands of digits from Vieta's formula"
_[11] 논문 A geometric interpretation of an infinite product for the lemniscate constant
_[12] 논문 A new class of infinite products generalizing Viète's product formula for {{pi}}
_[13] 서적 Trigonometric Delights Princeton University Press
_[14] 논문 On Viète-like formulas
_[15] 논문 Cosine products, Fourier transforms, and random sums
_[16] 논문 Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals
_[17] 서적 An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator https://books.google[...] Springer
_[18] 논문 A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for {{pi}}
_[19] 논문 Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers
_[20] 서적 Mathematics in India Princeton University Press
_[21] 논문 "{{not a typo|Ueber}} die {{not a typo|Convergenz}} einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung" https://gdz.sub.uni-[...]
_[22] 논문 Squaring the circle with holes
_[23] 논문 Nested square roots of 2
_[24] 논문 Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products https://projecteucli[...]
_[25] 서적 A history of {{pi}} https://books.google[...] The Golem Press

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com