이각형

1. 개요

이각형은 유클리드 기하학, 다면체, 구면 기하학 및 위상수학 등 다양한 분야에서 다루어지는 도형이다. 유클리드 기하학에서 이각형은 두 변과 0도 각을 가진 정다각형으로, 선분의 이중 덮개 또는 무한히 뻗어 나가는 두 평행선으로 표현될 수 있다. 다면체의 면으로 사용될 때는 축퇴된 형태로 나타난다. 구면 기하학에서 이각형은 구면 다각형, 즉 구면 이각형 또는 월형이라고 불리며, 두 대척점을 꼭짓점으로 하고 대원의 반주 길이를 변으로 한다. 위상수학에서는 그래프나 다면체의 표면에서 중요한 구성 요소로 작용하며, 순환군과 관련되기도 한다.

2. 유클리드 기하학에서

유클리드 기하학에서 이각형은 두 변의 길이가 같고 두 각이 0도로 같은 정다각형으로 취급된다. 따라서 이각형은 작도 가능한 도형이다. 일부 다각형 정의에서는 이각형을 적절한 다각형으로 간주하지 않기도 한다.

이각형은 유클리드 공간에서 두 가지 형태로 나타낼 수 있다. 하나는 퇴화된 형태로, 시각적으로 선분의 이중 덮개처럼 보인다. 다른 하나는 무한히 뻗어 나가는 두 개의 평행선으로 나타난다.

2.1. 퇴화된 형태의 이각형

정사면체는 이각형으로 구성된 반각기둥으로 볼 수 있다. 이는 정사각형(h{4})의 교대에서 파생될 수 있으며, 해당 정사각형의 두 반대 꼭짓점을 연결해야 한다. 정사각형 또는 다른 사변형 도형을 포함하는 고차원 다포체가 교대될 때, 이러한 이각형은 일반적으로 버려지고 단일 변으로 간주된다.

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2.2. 무한 평행선 형태의 이각형

무한각형 호소헤드론은 무한히 좁은 이각형으로 구성된다. 이 이각형의 꼭짓점은 무한대에 있으며 닫힌 선분으로 묶여 있지 않다.

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3. 다면체에서

이각형을 다면체의 면으로 쓰는 것은 이각형이 축퇴 다각형이기 때문에 축퇴된다. 하지만 종종 이것은 다면체를 변환시킬 때 유용하다. 다면체의 면으로서의 이각은 축퇴된 다각형이므로 축퇴되지만, 때로는 다면체를 변환하는 데 유용한 위상적 존재를 가질 수 있다.

4. 구면 기하학에서

구면 기하학에서 이각형은 2개의 꼭짓점과 2개의 변으로 이루어진 구면 다각형이다. 구면 위의 도형임을 강조하여 구면 이각형(spherical digon)이라고도 하며, 월형(lune), 구면 월형(spherical lune)이라고도 한다. 구면 달꼴은 꼭짓점이 구의 대척점인 이각형이다.

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이런 이각형으로 이루어진 구면 다면체를 호소헤드론이라 한다.

4.1. 구면 이각형의 성질

* 월형의 두 꼭짓점은 반드시 서로 대척점이다. 따라서 변의 길이는 모두 대원의 반주 길이에 해당한다.
* 월형의 두 내각은 서로 같다.
* 구면 위의 서로 다른 두 대원은 구면을 4개의 월형으로 나눈다. 이때, 서로 인접하지 않은 두 월형은 합동이다.
* 월형이 구면 위의 영역으로서 볼록(볼록 집합과는 약간 의미가 다르다. geodesic convexity^영어을 말한다.)인 것은, 내각이 π 이하인 것과 동치이다. 볼록한 월형은 두 반구면의 공통 부분으로 나타낼 수 있다.
* 단위 구면 위의 월형에 대해, 그 내각이 θ 라디안일 때, 월형의 면적은 2θ이다. 이를 두 내각의 합이라고 생각하면, 구면 n각형의 면적과 구면 과잉의 관계를 n≧2에서 통일적으로 해석할 수 있다.

4.2. 구면 기하학에서의 중요성

구면 기하학에서 구면 이각형은 기본적인 도형이다. 구면 삼각형의 면적을 구면 과잉으로 나타내는 지라르의 정리(지라르의 공식)은 몇 개의 구면 이각형의 면적을 더하고 빼는 것으로 유도할 수 있다.

5. 위상수학에서

이각형은 그래프나 다면체의 표면 같은 위상적 네트워크 이론에서 중요한 구성 요소이다. 위상적 동등성은 오일러 값과 같은 전역적인 위상적 특성에 영향을 미치지 않고 최소의 다각형 집합으로 줄이는 과정으로 정의할 수 있다. 이각형은 전체 특성에 영향을 주지 않고 간단히 제거하여 선분으로 대체하는 단순화 단계를 나타낼 수 있으며, 사건 구조와 같은 다양한 위상 구조를 구성하고 분석하는 데 사용될 수 있다.

5.1. 순환군과의 관계

순환군은 다각형의 회전 대칭으로 얻을 수 있다. 이각형의 회전 대칭은 C₂ 군을 제공한다.