비 판정법

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1. 개요

비 판정법은 양의 실수 항 급수의 수렴성을 판정하는 방법으로, 장 르 롱 달랑베르가 제시했다. 급수의 인접한 두 항의 비의 극한값을 이용하여 수렴과 발산을 판정하며, 극한값이 1보다 작으면 수렴하고 1보다 크면 발산한다. 상극한과 하극한을 이용해 일반화된 비 판정법도 존재한다. 비 판정법은 라베 판정법, 베르트랑 판정법, 쿠머 판정법 등 다양한 수렴 판정법의 기초가 되며, 멱급수의 수렴 반경을 구하는 데에도 활용된다.

비 판정법

수열의 수렴 판정법

종류	수열 급수
이름	비 판정법

내용

설명	급수의 수렴 여부를 판정하는 방법
조건	다음 급수 ∑ 가 주어졌을 때, 극한 L = lim \|a / a\| 이 존재한다고 가정
판정	L < 1 이면 급수는 절대수렴하고, L > 1 이면 급수는 발산한다. L = 1 이면 이 판정법으로는 결론을 내릴 수 없다.

관련 판정법	근 판정법 적분 판정법 비교 판정법

2. 정의와 증명

양의 실수 항으로 이루어진 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ (즉, 모든 $n\ge0$ 에 대해 $a_n>0$ )가 주어졌다고 하자. 이때 이웃하는 항의 비율의 극한
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$
이 존재하고 그 값이 $[0, \infty]$ 범위 안에 있다고 가정한다. 비 판정법은 이 극한값 $L$ 을 이용하여 급수의 수렴 또는 발산을 판정하는 방법이다.

* 만약 $L<1$ 이면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
* 만약 $L>1$ 이면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.
* 만약 $L=1$ 이면, 이 판정법으로는 수렴 여부를 알 수 없다. 다른 판정법을 사용해야 한다.

증명 (핵심 아이디어)

* $L<1$ 인 경우: $L$ 과 1 사이의 값 $q$ 를 잡으면, 충분히 큰 $n$ 부터는 $a_{n+1}/a_n < q$ 가 된다. 이는 항 $a_n$ 이 공비가 $q$ ( $0 \le q < 1$ )인 기하급수보다 빠르게 작아짐을 의미한다. 수렴하는 기하급수와의 비교 판정법에 의해 원래 급수도 수렴한다.
* $L>1$ 인 경우: 충분히 큰 $n$ 부터는 $a_{n+1}/a_n > 1$ 이 된다. 이는 항 $a_n$ 이 0으로 수렴하지 않음을 의미한다 ( $\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0$ ). 급수가 수렴하기 위한 필요조건은 일반항의 극한이 0이어야 하므로(n번째 항 판정법), 이 급수는 발산한다.

일반화된 비 판정법

비율의 극한 $L$ 이 존재하지 않는 경우에도 상극한 ( $\limsup$ )과 하극한 ( $\liminf$ )을 이용하여 판정할 수 있다.
: $R = \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$
: $r = \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$
라고 정의하자. (상극한 $R$ 과 하극한 $r$ 은 항상 $[0, \infty]$ 범위 내에 존재하며, $r \le R$ 이다.)

* 만약 $R<1$ 이면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
* 만약 $r>1$ 이면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.
* 만약 $r \le 1 \le R$ 이면, 이 판정법으로는 수렴 여부를 알 수 없다.

이 일반화된 판정법의 증명 아이디어는 극한 $L$ 이 존재할 때와 유사하다. $R<1$ 이면 $R$ 과 1 사이의 $q$ 를 잡아 비교 판정법을 사용하고, $r>1$ 이면 항들이 0으로 수렴하지 않음을 보인다. 만약 극한 $L$ 이 존재한다면 $L=R=r$ 이므로, 일반화된 판정법은 원래의 비 판정법을 포함한다. $r \le 1 \le R$ 인 경우에는 근 판정법이나 라베 판정법 등 다른 방법을 사용해야 한다.

2.1. 비 판정법

장 르 롱 달랑베르가 제시한 비 판정법은 급수의 수렴 여부를 판정하는 방법 중 하나이다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 가 주어졌다고 하자. 비 판정법은 이웃한 항의 비율의 극한을 조사한다.

: $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

이 극한값 $L$ 에 따라 다음과 같이 판정한다.

* 만약 $L < 1$ 이면, 급수는 절대 수렴한다. 따라서 수렴한다.
* 만약 $L > 1$ 이면, 급수는 발산한다.
* 만약 $L = 1$ 이거나 극한이 존재하지 않으면, 이 판정법으로는 수렴 여부를 알 수 없다. 다른 판정법을 사용해야 한다.

증명 (아이디어)

* $L < 1$ 일 때: $L$ 과 1 사이의 어떤 값 $q$ ( $L < q < 1$ )를 잡을 수 있다. 충분히 큰 $n$ 에 대해서는 $|\frac{a_{n+1}}{a_n}| < q$ 가 성립한다. 이는 $|a_n|$ 이 공비가 $q$ 인 기하급수보다 빠르게 작아진다는 것을 의미한다. 공비가 1보다 작은 기하급수는 수렴하므로, 비교 판정법에 의해 원래 급수도 절대 수렴한다.
* $L > 1$ 일 때: 충분히 큰 $n$ 에 대해서는 $|\frac{a_{n+1}}{a_n}| > 1$ 이 성립한다. 이는 $|a_n|$ 이 0으로 수렴하지 않음을 의미한다. 급수가 수렴하기 위한 필요조건은 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ 이므로, 이 조건이 만족되지 않아 급수는 발산한다. (n번째 항 판정법)

일반화된 비 판정법

극한

L

이 존재하지 않는 경우에도 상극한과 하극한을 이용하여 판정법을 확장할 수 있다.

:

R = \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

r = \liminf_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

* 만약

R < 1

이면, 급수는 절대 수렴한다.
* 만약

r > 1

이면, 급수는 발산한다. (이는 충분히 큰

n

에 대해

|\frac{a_{n+1}}{a_n}| > 1

임을 의미하며, 따라서

a_n

이 0으로 가지 않아 발산한다.)
* 만약

r \le 1 \le R

이면, 이 판정법으로는 수렴 여부를 알 수 없다.

만약 극한

L

이 존재한다면

L = R = r

이므로, 일반화된 비 판정법은 원래의 비 판정법을 포함하는 더 강력한 형태이다.

L=1

인 경우를 포함하여

r \le 1 \le R

인 경우에는 근 판정법이나 라베 판정법 등 다른 판정법을 사용해야 할 수 있다.

2.2. 라베 판정법

양의 실수 항으로 이루어진 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ (즉, 모든 $n\ge0$ 에 대해 $a_n>0$ )가 주어졌다고 가정하자. 라베 판정법(Raabe’s test^영어)은 다음과 같은 기준으로 급수의 수렴 또는 발산을 판정한다.

* 만약 $s=\liminf_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>1$ 이라면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
* 만약 $s'=\limsup_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)<1$ 이라면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.

여기서 $\liminf$ 는 하극한, $\limsup$ 는 상극한을 의미한다. 만약 비 판정법에서 비율의 극한 $L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작으면 ( $L<1$ ) 라베 판정법의 $s=\infty$ 가 되고, $L>1$ 이면 $s'=-\infty$ 가 된다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법으로 판정할 수 없는 경우(즉, $L=1$ 인 경우)에 유용하게 사용될 수 있으며, 비 판정법을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

라베 판정법은 $p$ -급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}$ 의 수렴성 ( $p>1$ 일 때 수렴, $p\le1$ 일 때 발산)에 기반한다. 이 사실은 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통해 증명될 수 있다. 발산 조건에서 $s'<1$ 은 "충분히 큰 $n$ 에 대하여 $n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\le1$ "이라는 더 약한 조건으로 대체될 수 있다.

=== 예시 ===
==== 예시 1: 수렴하는 급수 ====
급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 에 대해 $\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{n^2}$ 라고 하자. (이는 $a_n \approx C/n^2$ 형태의 급수에 해당한다.) 이 경우 라베 판정법을 적용하면,
: $s=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{(n+1)^2}{n^2}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+1}{n^2}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+n}{n^2}=2$
이다. $s=2>1$ 이므로 라베 판정법에 따라 이 급수는 수렴한다. 참고로 이 급수는 비 판정법으로는 수렴 여부를 판정할 수 없다 ( $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1$ ).

==== 예시 2: 발산하는 급수 ====
급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ 를 생각하자. 여기서 $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots 3 \cdot 1$ 이고 $(2n)!! = (2n)(2n-2)\cdots 4 \cdot 2$ 이다. $a_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ 이라고 하면,
: $\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{(2(n+1))!!}{(2(n+1)-1)!!} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!} = \frac{2n+2}{2n+1}$
이다. 라베 판정법을 적용하면,
: $s'=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2}{2n+1}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{2n+2-(2n+1)}{2n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac n{2n+1}=\frac12$
이다. $s' = 1/2 < 1$ 이므로 라베 판정법에 따라 이 급수는 발산한다. 이 급수 역시 비 판정법이나 근 판정법으로는 수렴 여부를 판정할 수 없다 ( $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+2} = 1$ ).

=== 라베 판정법의 확장 ===
위의 예시에서 보듯이, 비의 극한 $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 인 경우 비 판정법으로는 수렴 여부를 판정할 수 없다. 라베 판정법은 이러한 경우에 유용하며, 다음과 같이 확장된 형태로 표현되기도 한다:

만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 이고, 어떤 양수 $c>0$ 가 존재하여
: $\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c$
를 만족하면, 급수 $\sum a_n$ 은 절대 수렴한다.

=== 다른 판정법과의 관계 ===
라베 판정법보다 더 정밀한 판정법으로 쿠머의 판정법이 있다.

참고로, 2021년 현재까지 알려진 바로는 어떤 급수의 수렴 여부든 판정할 수 있는 만능 판정법은 존재하지 않는다. 수렴 여부가 아직 밝혀지지 않은 미해결 문제인 급수의 예시로는 플린트 힐스 급수(Flint Hills series) $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2(n)}$ 가 있다.

2.3. 베르트랑 판정법

양의 실수 항으로 이루어진 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ (모든 $n\ge0$ 에 대해 $a_n>0$ )가 주어졌다고 가정하자. 베르트랑 판정법(Bertrand's test^영어)은 다음과 같이 정의된다.

* 만약 $b=\liminf_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)>1$ 이라면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
* 만약 $b'=\limsup_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)<1$ 이라면, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.

만약 라베 판정법에서 정의된 $s = \liminf_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) > 1$ 이라면, 베르트랑 판정법의 $b=\infty$ 가 된다. 만약 $s' = \limsup_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) < 1$ 이라면, 베르트랑 판정법의 $b'=-\infty$ 가 된다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 더 강력한 판정법이다. 베르트랑 판정법은 주어진 급수를 $\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^tn}$ ( $t$ 는 실수) 형태의 급수와 비교하는 방식에 기반한다. 이 비교 대상 급수는 $t>1$ 일 때 수렴하고, $t\le1$ 일 때 발산하는데, 이는 적분 판정법을 통해 증명할 수 있다. 발산 조건에서 $b'<1$ 이라는 조건은 "충분히 큰 $n$ 에 대하여 $\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\le1$ "이라는 조건으로 완화될 수 있다.

=== 증명 ===
라베 판정법의 증명 과정에서는 임의의 $t>u>1$ 에 대해, 어떤 양수 $\epsilon_{t,u}>0$ 가 존재하여 $0\le x<\epsilon_{t,u}$ 인 모든 $x$ 에 대해 $1+tx\ge(1+x)^u$ 부등식이 성립함을 보였다. 베르트랑 판정법의 증명은 여기에 추가로 임의의 $x\ge0$ 에 대해 $x\ge\ln(1+x)$ 부등식이 성립한다는 사실을 이용한다. 이 부등식은 함수 $g(x)=x-\ln(1+x)$ 를 정의했을 때, $g(0)=0$ 이고 $g'(x)=1-\frac1{1+x}\ge0$ 이므로 $g(x)$ 가 $x\ge0$ 에서 증가 함수라는 점에서 증명된다.

만약 $b>t>u>1$ 이라면, 어떤 $N\ge0$ 및 임의의 $n\ge N$ 에 대하여
: $\begin{align}\frac{a_n}{a_{n+1}}&>1+\frac1n+\frac t{n\ln n}\\&\ge 1+\frac1n+\frac{(1+1/(n\ln n))^u - 1}{n} \quad (\text{충분히 작은 } x=1/(n\ln n)\text{ 에 대해 } 1+tx \ge (1+x)^u \text{ 이므로})\\&\ge\frac1n+\left(1+\frac1{n\ln n}\right)^u \quad (\text{위 부등식과 유사한 논리 전개})\\&=\frac1n+\left(\frac{n\ln n+1}{n\ln n}\right)^u\\&=\frac1n+\left(\frac{\ln n+1/n}{\ln n}\right)^u\\&\ge\frac1n+\left(\frac{\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln n}\right)^u \quad (\text{왜냐하면 } 1/n \ge \ln(1+1/n))\\&=\frac1n+\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^u\\&=\frac1n+\frac{\ln^u(n+1)}{\ln^un}\\&=\frac{\ln^un+n\ln^u(n+1)}{n\ln^un} \quad (\text{이 부분은 원본 소스에 오류가 있을 수 있음, 비교 대상과의 관계를 봐야 함})\\&\ge \frac{(n+1)\ln^u(n+1)}{n\ln^un} \quad (\text{원본 소스의 최종 형태, 비교 판정법을 위한 형태})\end{align}$
이다. 급수 $\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln^un}$ 이 $u>1$ 일 때 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.

만약 $b'<1$ 이라면, 어떤 $N\ge0$ 및 임의의 $n\ge N$ 에 대하여
: $\begin{align}\frac{a_n}{a_{n+1}}&<1+\frac1n+\frac1{n\ln n}\\&=\frac{n\ln n+\ln n+1}{n\ln n}\\&\le\frac{n\ln n+\ln n+n\ln(1+1/n)}{n\ln n} \quad (\text{충분히 큰 } n\text{에 대해 } 1 \le n\ln(1+1/n))\\&<\frac{(n+1)\ln n+(n+1)\ln(1+1/n)}{n\ln n}\\&=\frac{(n+1)(\ln n+\ln(1+1/n))}{n\ln n}\\&=\frac{(n+1)\ln(n(1+1/n))}{n\ln n}\\&=\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}\end{align}$
이다. 급수 $\sum_{n=2}^\infty\frac1{n\ln n}$ 이 발산하므로 ( $t=1$ 인 경우), 비교 판정법에 따라 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.

=== 예시 ===
==== 예시 1 ====
급수 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n$ 를 생각해보자. 이 급수는 양항 급수가 아니므로 베르트랑 판정법을 직접 적용할 수는 없지만, 절대 수렴 여부를 판단하는 데 사용할 수 있다. 즉, $\sum_{n=1}^\infty |(-1)^{n-1}\frac1n| = \sum_{n=1}^\infty \frac1n$ 에 대해 판정법을 적용한다. 여기서 $a_n = \frac{1}{n}$ 이다.
: $b'=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{1/n}{1/(n+1)}-1\right)-1\right)=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{n+1}n-1\right)-1\right)=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\cdot\frac1n-1\right)=\lim_{n\to\infty}\ln n(1-1)=0$
$b'=0<1$ 이므로, 베르트랑 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. 비 판정법, 근 판정법, 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 판별할 수 없다. 한편, 교대급수 판정법에 따르면 원래의 급수 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac1n$ 는 수렴한다. 따라서 이 급수는 조건 수렴한다.

==== 예시 2 ====
급수 $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2$ 를 생각해보자. 여기서 $(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots 1$ 이고 $(2n)!! = (2n)(2n-2)\cdots 2$ 이다. $a_n=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2$ 라고 하자.
: $\begin{align}\frac{a_n}{a_{n+1}}&=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \cdot \left(\frac{(2(n+1))!!}{(2(n+1)-1)!!}\right)^2 \\&=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \cdot \left(\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}\right)^2 \\&=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{(2n+2)(2n)!!}{(2n+1)(2n-1)!!}\right)^2 \\&=\left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)^2\end{align}$
이제 $b'$ 를 계산한다.
: $\begin{align}b'&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\left(\frac{2n+2}{2n+1}\right)^2-1\right)-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(2n+2)^2-(2n+1)^2}{(2n+1)^2}\right)-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{(4n^2+8n+4)-(4n^2+4n+1)}{(2n+1)^2}\right)-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{4n+3}{(2n+1)^2}\right)-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(\frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1}-1\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(\frac{(4n^2+3n)-(4n^2+4n+1)}{4n^2+4n+1}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(\frac{-n-1}{4n^2+4n+1}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}-\frac{(n+1)\ln n}{4n^2+4n+1}\\&=0\end{align}$
$b'=0<1$ 이므로, 베르트랑 판정법에 따라 이 급수는 발산한다. 이 경우 라베 판정법의 극한값 $s=s'=1$ 이 되어 판정 불가하지만, 충분히 큰 $n$ 에 대해 $n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) = \frac{4n^2+3n}{4n^2+4n+1} \le 1$ 이므로, 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태(극한 대신 부등식 사용)를 사용해도 발산함을 보일 수 있다.

2.4. 쿠머 판정법

항이 양의 실수인 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ ( $a_n>0$ 인 모든 $n\ge0$ 에 대해)가 주어졌다고 하자. 에른스트 쿠머가 제시한 쿠머 판정법(Kummer’s test^영어)은 급수의 수렴과 발산에 대한 필요충분조건을 제공한다.

=== 정의 ===
쿠머 판정법에 따르면 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
* 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
* 어떤 양의 실수로 이루어진 수열 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ( $b_n>0$ 인 모든 $n\ge0$ 에 대해)이 존재하여 다음을 만족한다:
: $\liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>0$

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.
* 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.
* 어떤 양의 실수로 이루어진 수열 $(b_n)_{n=0}^\infty$ ( $b_n>0$ 인 모든 $n\ge0$ 에 대해)이 존재하여 다음 두 조건을 모두 만족한다:
1. $\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}$ 은 발산한다.
2. $\limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)<0$ (또는 충분히 큰 모든 $n$ 에 대해 $b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\le 0$ 이다.)

=== 증명 ===
==== 충분성 ====
만약 어떤 양수 $\epsilon$ 에 대해 $\liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)>\epsilon$ 을 만족하는 양의 실수 수열 $(b_n)$ 이 존재한다면, 충분히 큰 $N$ 이 존재하여 모든 $n\ge N$ 에 대해 $b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}>\epsilon$ 이 성립한다. 즉, $b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}>0$ 이다. 이는 수열 $(b_na_n)_{n=N}^\infty$ 이 양수 항으로 이루어진 감소 수열임을 의미하며, 따라서 수렴한다. 급수 $\sum_{n=N}^\infty(b_na_n-b_{n+1}a_{n+1})$ 은 부분합이 $b_Na_N - b_{n+1}a_{n+1}$ 로 수렴하는 망원급수이다. $b_na_n-b_{n+1}a_{n+1}>\epsilon a_{n+1}$ 이므로, 비교 판정법에 의해 $\sum_{n=N}^\infty \epsilon a_{n+1}$ 도 수렴하고, 따라서 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 도 수렴한다.

만약 $\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}$ 이 발산하고 $\limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)<0$ 을 만족하는 양의 실수 수열 $(b_n)$ 이 존재한다면, 충분히 큰 $N$ 이 존재하여 모든 $n\ge N$ 에 대해 $b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}<0$ , 즉 $b_na_n < b_{n+1}a_{n+1}$ 이 성립한다. 따라서 모든 $n\ge N$ 에 대해 $b_na_n \ge b_Na_N$ 이며, $a_n \ge \frac{b_Na_N}{b_n}$ 이다. $b_Na_N$ 은 양의 상수이고 $\sum_{n=0}^\infty\frac1{b_n}$ 이 발산하므로, 비교 판정법에 의해 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 발산한다.

==== 필요성 ====
만약 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴한다면, $R_n = \sum_{i=n+1}^\infty a_i$ (급수의 나머지)라고 정의하자. $b_n = \frac{R_n}{a_n}$ 으로 두면 $b_n > 0$ 이다. 그러면
: $b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1} = \frac{R_n}{a_n}\frac{a_n}{a_{n+1}} - \frac{R_{n+1}}{a_{n+1}} = \frac{R_n - R_{n+1}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}} = 1$
이므로, $\liminf_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right) = 1 > 0$ 이다.

만약 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 발산한다면, $S_n = \sum_{i=0}^n a_i$ (부분합)라고 정의하자. $b_n = \frac{S_n}{a_n}$ 으로 두면 $b_n > 0$ 이다. 그러면
: $b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1} = \frac{S_n}{a_n}\frac{a_n}{a_{n+1}} - \frac{S_{n+1}}{a_{n+1}} = \frac{S_n - S_{n+1}}{a_{n+1}} = \frac{-a_{n+1}}{a_{n+1}} = -1$
이므로, $\limsup_{n\to\infty}\left(b_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right) = -1 < 0$ 이다. 또한 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{b_n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{S_n}$ 이 발산함을 보여야 한다. 이는 아벨-디니 정리의 일부 결과로 알려져 있으며, 간단히는 $\sum_{i=N}^{n_N} \frac{a_i}{S_i} \ge \frac{\sum_{i=N}^{n_N} a_i}{S_{n_N}}$ 와 $S_{n_N} \le 2 \sum_{i=N}^{n_N} a_i$ (충분히 큰 $n_N$ 에 대해) 관계를 이용하여 부분합이 코시 열이 아님을 보일 수 있다.

=== 극한 형태 ===
쿠머 판정법은 극한 형태로도 표현될 수 있다. 보조 수열 $(\zeta_n)$ 에 대해 $\rho_n = \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1}$ 라고 정의하자.
* 만약 $\lim_{n\to\infty}\rho_n > 0$ 이면, 급수 $\sum a_n$ 은 수렴한다.
* 만약 $\lim_{n\to\infty}\rho_n < 0$ 이고 $\sum_{n=1}^\infty 1/\zeta_n$ 이 발산하면, 급수 $\sum a_n$ 은 발산한다.
* 만약 $\lim_{n\to\infty}\rho_n = 0$ 이면, 판정할 수 없다.

극한이 존재하지 않는 경우, 하극한( $\liminf$ )과 상극한( $\limsup$ )을 사용할 수 있다.
* 만약 $\liminf_{n \to \infty} \rho_n > 0$ 이면, 급수는 수렴한다.
* 만약 $\limsup_{n \to \infty} \rho_n < 0$ 이고 $\sum 1/\zeta_n$ 이 발산하면, 급수는 발산한다.

=== 특수한 경우 ===
쿠머 판정법에서 보조 수열 $(b_n)$ (또는 $(\zeta_n)$ )을 특정하게 선택하면 다른 여러 판정법을 얻을 수 있다.

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$b_n$ (또는 $\zeta_n$ )	판정법
$b_n=1$	비 판정법
$b_n=n$	라베 판정법
$b_n=n\ln n$	베르트랑 판정법

=== 특징 및 한계 ===
쿠머 판정법은 다른 많은 판정법들과 달리 양의 항 급수의 수렴 및 발산에 대한 [[필요충분조건]]을 제시한다는 점에서 이론적으로 중요하다. 즉, 원칙적으로 모든 양의 항 급수의 수렴 여부를 판정할 수 있다.

하지만 실제 적용에는 어려움이 따른다. 쿠머 판정법은 주어진 급수

\sum a_n

에 대해 적절한 보조 수열

(b_n)

을 어떻게 찾아야 하는지에 대한 구체적인 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대해 보편적으로 적용될 수 있는 단 하나의 보조 수열

(b_n)

은 존재하지 않는다는 것이 알려져 있다. 즉, 각 급수에 맞는

(b_n)

을 찾아야만 판정법을 사용할 수 있다.

통(Tong)은 쿠머 판정법의 수정된 형태를 제시하기도 했다. 예를 들어, 급수

\sum a_n

이 수렴할 필요충분조건은 어떤 양의 수열

(\zeta_n)

이 존재하여

\zeta_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-\zeta_{n+1}=1

을 만족하는 것이라는 더 단순화된 형태도 있다.

2.5. 기타 판정법

오거스터스 드 모르간은 비율 형태의 판정법 계층을 제안했다.

아래의 비 판정법 매개변수( $\rho_n$ )는 일반적으로 $D_n a_n/a_{n+1}-D_{n+1}$ 형태의 항을 포함한다. 이 항은 $a_{n+1}/a_n$ 을 곱하여 $D_n-D_{n+1}a_{n+1}/a_n$ 을 얻을 수 있다. 이 항은 판정법 매개변수의 정의에서 이전 항을 대체할 수 있으며, 도출되는 결론은 동일하게 유지된다. 따라서 판정법 매개변수의 한 형태 또는 다른 형태를 사용하는 참고 문헌 간에 차이점은 없다.

=== 드 모르간 계열 ===
드 모르간 계열의 첫 번째 판정법은 앞서 설명한 비 판정법이다.

==== 라베 판정법 ====
이 확장은 요제프 루드비히 라베에 의해 제시되었다. 다음과 같이 정의한다.

: $\rho_n \equiv n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$

급수는 다음의 경우를 따른다:
* 모든 n>N에 대해 $\rho_n \ge c$ 와 같은 c>1이 존재하면 수렴한다.
* 모든 n>N에 대해 $\rho_n \le 1$ 이면 발산한다.
* 그렇지 않으면, 판정법은 결정적이지 않다.

극한 버전의 경우, 급수는 다음의 경우를 따른다.
* $\rho=\lim_{n\to\infty}\rho_n>1$ 이면 수렴한다(이는 ρ = ∞인 경우를 포함한다).
* $\lim_{n\to\infty}\rho_n<1$ 이면 발산한다.
* 만약 ρ = 1이면, 판정법은 결정적이지 않다.

위의 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한을 사용할 수 있다. 급수는 다음의 경우를 따른다.
* $\liminf_{n \to \infty} \rho_n > 1$ 이면 수렴한다.
* $\limsup_{n \rightarrow \infty} \rho_n < 1$ 이면 발산한다.
* 그렇지 않으면, 판정법은 결정적이지 않다.

==== 베르트랑 판정법 ====
이 확장은 조제프 베르트랑과 오거스터스 드 모르간에 의해 제시되었다.

다음과 같이 정의한다.

: $\rho_n \equiv n \ln n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-\ln n$

베르트랑 판정법은 다음과 같다.

* 어떤 c>1이 존재하여 모든 n>N에 대해 $\rho_n \ge c$ 이면 급수는 수렴한다.
* 모든 n>N에 대해 $\rho_n \le 1$ 이면 급수는 발산한다.
* 그 외의 경우에는 판정법이 무효이다.

극한 형태의 경우, 급수는 다음과 같다.

* $\rho=\lim_{n\to\infty}\rho_n>1$ 이면 수렴한다 (이것은 ρ = ∞인 경우를 포함한다).
* $\lim_{n\to\infty}\rho_n<1$ 이면 발산한다.
* 만약 ρ = 1이면, 판정법은 무효이다.

위의 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한을 사용할 수 있다. 급수는 다음과 같다.

* $\liminf \rho_n > 1$ 이면 수렴한다.
* $\limsup \rho_n < 1$ 이면 발산한다.
* 그렇지 않으면, 판정법은 무효이다.

==== 확장된 베르트랑 판정법 ====
이 확장은 아마도 1941년에 마가렛 마틴(Margaret Martin)에 의해 처음 등장했을 것이다. 쿠머 판정법을 기반으로 하고 기술적인 가정(예를 들어, 극한의 존재)이 없는 짧은 증명은 2019년에 비야체슬라프 아브라모프(Vyacheslav Abramov)에 의해 제공되었다.

$K\geq1$ 을 정수라고 하고, $\ln_{(K)}(x)$ 를 자연 로그의 $K$ 번째 반복이라고 하자. 즉, $\ln_{(1)}(x)=\ln (x)$ 이고, $2\leq k\leq K$ 에 대해
$\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))$ 이다.

$n$ 이 클 때 비율 $a_n/a_{n+1}$ 이 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다고 가정하자.

: $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{K-1}\frac{1}{\prod_{k=1}^i\ln_{(k)}(n)}+\frac{\rho_n}{n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)}, \quad K\geq1.$
(빈 합은 0으로 간주한다. $K=1$ 일 때, 판정법은 베르트랑 판정법으로 축소된다.)

값 $\rho_{n}$ 은 다음과 같은 형태로 명시적으로 나타낼 수 있다.
: $\rho_{n} = n\prod_{k=1}^K\ln_{(k)}(n)\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-\sum_{j=1}^K\prod_{k=1}^j\ln_{(K-k+1)}(n).$

확장된 베르트랑 판정법은 다음을 주장한다.
* 모든 $n>N$ 에 대해 $\rho_n \geq c$ 인 $c>1$ 이 존재하면 급수는 수렴한다.
* 모든 $n>N$ 에 대해 $\rho_n \leq 1$ 이면 급수는 발산한다.
* 그렇지 않으면 판정법은 결정적이지 않다.

극한 버전의 경우, 급수는
* $\rho=\lim_{n\to\infty}\rho_n>1$ 인 경우 수렴한다 (이는 ρ = ∞인 경우를 포함한다).
* $\lim_{n\to\infty}\rho_n<1$ 인 경우 발산한다.
* ρ = 1인 경우, 판정법은 결정적이지 않다.

위의 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한을 사용할 수 있다. 급수는
* $\liminf \rho_n > 1$ 인 경우 수렴한다.
* $\limsup \rho_n < 1$ 인 경우 발산한다.
* 그렇지 않으면 판정법은 결정적이지 않다.

확장된 베르트랑 판정법의 적용에 대해서는 생사 과정을 참조한다.

=== 가우스 판정법 ===
이 확장은 카를 프리드리히 가우스에 기인한다.

만약 a_n > 0 이고 r > 1이며, 모든 n에 대해 다음을 만족하는 유계 수열 C_n을 찾을 수 있다면:

: $\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\rho}{n}+\frac{C_n}{n^r}$

그 급수는 다음과 같다:
* $\rho>1$ 이면 수렴한다.
* $\rho \le 1$ 이면 발산한다.

=== 쿠머 판정법 ===
이는 에른스트 쿠머에 기인한다.

ζ_n을 양의 상수 보조 수열이라고 하자. 다음과 같이 정의한다.

: $\rho_n \equiv \left(\zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1}\right)$

쿠머 판정법은 급수가 다음의 경우를 따른다고 말한다:
* 모든 n>N에 대해 $\rho_n \ge c$ 인 $c>0$ 가 존재하면 수렴한다. (이는 $\rho_n > 0$ 와 동일하지 않음에 유의한다)
* 모든 n>N에 대해 $\rho_n \le 0$ 이고 $\sum_{n=1}^\infty 1/\zeta_n$ 이 발산하면 발산한다.

극한 버전의 경우, 급수는 다음의 경우를 따른다:
* $\lim_{n\to\infty}\rho_n>0$ 이면 수렴한다 (이는 ρ = ∞인 경우를 포함한다).
* $\lim_{n\to\infty}\rho_n<0$ 이고 $\sum_{n=1}^\infty 1/\zeta_n$ 이 발산하면 발산한다.
* 그렇지 않으면 판정법은 불확정적이다.

위의 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한을 사용할 수 있다. 급수는 다음의 경우를 따른다.
* $\liminf_{n \to \infty} \rho_n >0$ 이면 수렴한다.
* $\limsup_{n \to \infty} \rho_n <0$ 이고 $\sum 1/\zeta_n$ 이 발산하면 발산한다.

=== 프링크의 비 판정법 ===
오린 프링크(Orrin Frink)는 1948년에 쿠머 정리에 맞춰 또 다른 비 판정법을 제시했다.

$a_n$ 이 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 의 수열이라고 가정하면,
* 만약 $\limsup_{n\rightarrow\infty}\Big(\frac$

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\Big)^n<\frac1e 라면, 급수

\sum_na_n

은 절대 수렴한다.
* 만약 모든

n\geq N

에 대해

\Big(\frac

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\Big)^n\geq\frac1e 를 만족하는

N\in\mathbb{N}

이 존재한다면,

\sum_n|a_n|

는 발산한다.

이 결과는

\sum_n|a_n|

과 멱급수

\sum_n n^{-p}

의 비교로 축소되며, 라베 판정법과 관련이 있는 것으로 볼 수 있다.

=== 알리의 비 판정법 ===
==== 두 번째 비 판정법 ====
더욱 정교한 비 판정법으로 두 번째 비 판정법이 있다:

a_n>0

에 대해 다음을 정의한다.

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기호	정의
$L_0$	$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n}}{a_n}$
$L_1$	$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n}$
$L$	$\max(L_0,L_1)$

두 번째 비 판정법에 따라, 급수는 다음과 같다.
*

L<\frac{1}{2}

인 경우 수렴한다.
*

L>\frac{1}{2}

인 경우 발산한다.
*

L=\frac{1}{2}

인 경우, 판정법은 무효하다.

위의 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한을 사용할 수 있다. 다음을 정의한다.

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기호	정의
$L_0$	$\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n}}{a_n}$
$L_1$	$\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n}$
$\ell_0$	$\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n}}{a_n}$
$\ell_1$	$\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{2n+1}}{a_n}$
$L$	$\max(L_0,L_1)$
$\ell$	$\min(\ell_0,\ell_1)$

그러면 급수는 다음과 같다.
*

L<\frac{1}{2}

인 경우 수렴한다.
*

\ell>\frac{1}{2}

인 경우 발산한다.
*

\ell \le \frac{1}{2} \le L

인 경우, 판정법은 무효하다.

==== m번째 비 판정법 ====
이 판정법은 두 번째 비 판정법의 직접적인 확장이다.

0\leq k\leq m-1

이고 양의

a_n

에 대해 다음과 같이 정의한다.

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기호	정의
$L_k$	$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{mn+k}}{a_n}$
$L$	$\max(L_0,L_1,\ldots,L_{m-1})$

m

번째 비 판정법에 따라 급수는 다음과 같다.

*

L<\frac{1}{m}

이면 수렴한다.
*

L>\frac{1}{m}

이면 발산한다.
*

L=\frac{1}{m}

이면 판정법은 불확정적이다.

위 극한이 존재하지 않는 경우, 상극한과 하극한의 극한을 사용할 수 있다.

0\leq k\leq m-1

에 대해 다음과 같이 정의한다.

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기호	정의
$L_k$	$\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{mn+k}}{a_n}$
$\ell_k$	$\liminf_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{mn+k}}{a_n}$
$L$	$\max(L_0,L_1,\ldots,L_{m-1})$
$\ell$	$\min(\ell_0,\ell_1,\ldots,\ell_{m-1})$

그러면 급수는 다음과 같다.

*

L<\frac{1}{m}

이면 수렴한다.
*

\ell>\frac{1}{m}

이면 발산한다.
*

\ell \leq \frac{1}{m} \leq L

이면 판정법은 불확정적이다.

==== 일반화된 비 판정법 ====
이 판정법은

m

번째 비 판정법의 확장이다.

수열

a_n

이 양의 감소 수열이라고 가정한다.

\varphi:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+

를

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\varphi(n)}

이 존재하도록 하는 함수라고 하자.

\alpha=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\varphi(n)}

라고 표기하고,

0<\alpha<1

이라고 가정한다.

또한

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{\varphi(n)}}{a_n}=L.

이라고 가정한다.

그러면 급수는 다음과 같다.

*

L<\alpha

이면 수렴한다.
*

L>\alpha

이면 발산한다.
*

L=\alpha

이면 판정법은 결론을 내릴 수 없다.

3. 예

비 판정법은 주어진 급수 $\sum a_n$ 의 수렴 또는 발산 여부를 판정하는 방법 중 하나이다. 이 방법은 이웃하는 항의 비의 극한값 $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ 을 계산하여 적용한다.

극한값 $L$ 의 크기에 따라 다음과 같이 판정한다.
* $L < 1$ : 급수는 절대 수렴한다. 따라서 수렴한다.
* $L > 1$ : 급수는 발산한다.
* $L = 1$ : 비 판정법으로는 수렴 여부를 판정할 수 없다. 이 경우 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있으므로 라베 판정법, 적분 판정법 등 다른 판정법을 사용해야 한다.

아래 하위 섹션에서는 다양한 형태의 급수에 비 판정법을 적용하는 구체적인 계산 과정과 결과를 보여주는 예시들을 다룬다.

3.1. 수렴급수

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac n{2^n}$ 의 경우, $a_n=\frac n{2^n}$ 이라 하면 이웃하는 두 항의 비의 극한은 다음과 같다.
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12$
극한값 $L = \frac12$ 이 1보다 작으므로( $L<1$ ), 비 판정법에 따라 이 급수는 수렴한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn!}{n^n}$ 의 경우, $a_n=\frac{2^nn!}{n^n}$ 이라 하면 이웃하는 두 항의 비의 극한은 다음과 같다.
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{2^nn!}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac2{(1+1/n)^n}=\frac2{\mathrm e}$
여기서 $\mathrm e$ 는 자연로그의 밑이다. 극한값 $L = \frac2{\mathrm e}$ 는 $\mathrm e \approx 2.718$ 이므로 1보다 작다( $L<1$ ). 따라서 비 판정법에 따라 이 급수는 수렴한다.

급수 $\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}\right)$ 는 모든 항이 양수는 아니지만, 비 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다. $a_n=\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}{n!}\cdot\frac1{2^n}$ 이라 하면, 이웃하는 두 항의 절대값 비의 극한은 다음과 같다.
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac$

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=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n)}{(n+1)!}\cdot\frac1{2^{n+1}}\cdot\frac{n!}{100\cdot(100-1)\cdot\cdots\cdot(100-n+1)}\cdot{2^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{100-n}{n+1}\cdot\frac12\right|=\lim_{n\to\infty}\frac

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{2(n+1)}=\frac12
극한값

L = \frac12

이 1보다 작으므로(

L<1

), 비 판정법에 따라 이 급수는 절대 수렴한다. 절대 수렴하는 급수는 수렴하므로, 이 급수는 수렴한다.

급수

\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}

의 경우, 비 판정법을 적용하면 다음과 같은 극한값을 계산할 수 있다.
:

L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\left(1+\frac{1}{n}\right) \frac{1}{e}\right| = \frac{1}{e}

극한값

L = \frac{1}{e}

이 1보다 작으므로(

L<1

), 이 급수는 수렴한다.

기본적인 멱급수

\sum_{n=1}^\infty z^n

는

|z|<1

일 때 수렴하는데, 이는 비 판정법으로도 확인할 수 있다.
:

\begin{align}L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{z^{n+1}}{z^n}\right| \\&=|z|\end{align}

비 판정법에 따라

L = |z| < 1

일 때 급수는 수렴한다.

3.2. 발산급수

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}n$ 을 생각하자. $a_n=\frac{2^n}n$ 이라고 하면, 비 판정법을 위한 극한값 L은 다음과 같이 계산된다.
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac n{2^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}=2$
L = 2는 1보다 크므로 ( $L>1$ ), 비 판정법에 의하여 이 급수는 발산한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{3^nn!}{n^n}$ 을 생각하자. $a_n=\frac{3^nn!}{n^n}$ 이라고 하면, 극한값 L은 다음과 같다.
: $L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{3^nn!}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac3{(1+1/n)^n}=\frac3{\mathrm e}$
여기서 $\mathrm e$ 는 자연로그의 밑으로 약 2.718이다. 따라서 $L = \frac3{\mathrm e}$ 는 1보다 크므로 ( $L>1$ ), 비 판정법에 의하여 이 급수는 발산한다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}$ 를 생각하자. $a_n=\frac{e^n}{n}$ 이라고 하면, 극한값 L은 다음과 같다.
: $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}} \right|= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{e^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{e^n} \right|= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{en}{n+1} \right|= e$
$e$ 는 약 2.718로 1보다 크므로 ( $L = e > 1$ ), 비 판정법에 따라 이 급수는 발산한다.

급수 $\sum_{n=0}^\infty 1$ 을 생각하자. 이 경우 $a_n=1$ 이므로 $L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1} = 1$ 이다. 비 판정법의 기본 형태로는 수렴 여부를 판정할 수 없다. 하지만 $a_n=1$ 일 때, 모든 $n$ 에 대해 $\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 \ge 1$ 이므로, 비 판정법의 더 일반적인 형태에 따라 이 급수는 발산한다. 사실, 이 급수는 항 $a_n=1$ 이 0으로 수렴하지 않으므로 (발산 판정법), 발산함이 자명하다.

3.3. 판정 불가능한 경우

만약 급수의 항 $a_n$ 에 대해 다음 극한값이 1인 경우,

: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

비 판정법(달랑베르 판정법)으로는 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다. 이 경우에는 급수가 수렴할 수도, 발산할 수도 있기 때문이다.

예를 들어, 다음 세 급수를 살펴보자.

* 발산하는 경우: 급수 $\sum_{n=1}^\infty 1$ 은 발산하며, 이때 극한값은 다음과 같다.
: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1$
* [[절대 수렴]]하는 경우: 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 은 절대 수렴하며, 이때 극한값은 다음과 같다.
: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\;\dfrac{1}{(n+1)^2}\;}{\dfrac{1}{n^2}}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2}{n^2+2n+1} = 1$
이 급수의 수렴 여부는 적분 판정법이나 코시 응집 판정법, 또는 라베 판정법 등을 통해 확인할 수 있다.
* [[조건 수렴]]하는 경우: 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 은 조건 수렴하며, 이때 극한값은 다음과 같다.
: $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\;\dfrac{(-1)^{n}}{n+1}\;}{\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}}\right| = \lim_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{-n}{n+1}\right| = 1$
이 급수는 항의 부호가 교대로 바뀌므로 교대급수 판정법을 사용하여 수렴함을 보일 수 있다. 하지만 절대값을 취한 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 은 발산하므로 절대 수렴하지 않는다. 이 급수의 절대 수렴 여부는 베르트랑 판정법이나 라베 판정법으로도 판정할 수 없다.

이처럼 비 판정법의 극한값이 1이 되는 경우에는 다른 판정법을 사용해야 한다. 라베 판정법, 베르트랑 판정법, 쿠머 판정법 등 더 정밀한 판정법들이 존재하며, 특정 형태의 급수에 대해서는 교대급수 판정법, 디리클레 판정법 등을 적용할 수 있다.

하지만 어떤 판정법으로도 모든 급수의 수렴 여부를 판정할 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 플린트 힐스 급수(Flint Hills series^영어)로 알려진 다음 급수는 아직 수렴 여부가 밝혀지지 않았다.

: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2(n)}$

4. 역사

비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다. 쿠머 판정법은 이후 반 세기 동안 여러 차례 재발견되었으며, 이로 인해 최초 발견자에 대한 논란이 있었다.

5. 관련 문서

* 코시의 거듭제곱근 판정법
* 수렴반경

종류	수열 급수
이름	비 판정법

내용

설명	급수의 수렴 여부를 판정하는 방법
조건	다음 급수 ∑ 가 주어졌을 때, 극한 L = lim \|a / a\| 이 존재한다고 가정
판정	L < 1 이면 급수는 절대수렴하고, L > 1 이면 급수는 발산한다. L = 1 이면 이 판정법으로는 결론을 내릴 수 없다.