망원급수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유한 합
- 2.2. 무한 급수
3. 일반적인 경우
4. 함정 및 주의점
5. 예시
6. 응용
- 6.1. 확률론
- 6.2. 기타 응용
7. 관련 개념
참조

1. 개요

망원 급수는 수열의 각 항과 이전 항의 차이를 더하는 형태의 급수 또는 합을 의미한다. 유한 합의 경우, 연속된 항들이 상쇄되어 첫 번째 항과 마지막 항의 일부만 남고, 무한 급수의 경우, 수열이 특정 값으로 수렴하면 그 값과 첫 번째 항의 차이로 수렴한다. 망원 급수는 수학의 여러 분야에서 활용되며, 푸아송 과정과 같은 확률론 문제, 소수의 역수의 합 증명, 미적분학의 기본 정리 등 다양한 분야에서 응용된다.

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망원급수
망원 급수
정의	부분합이 유한한 수의 항으로 소거되는 급수
일반적인 형태
급수	∑n=1∞ (bn − bn+1)
부분합	Sn = b1 − bn+1
수렴 조건	limn→∞ bn = 0
예시
급수 1	∑n=1∞ 1/(n(n+1))
부분합 1	∑n=1N 1/(n(n+1)) = 1 − 1/(N+1)
급수 2	∑n=1∞ ln(an/an+1)
부분합 2	∑n=1N ln(an/an+1) = ln(a1) − ln(aN+1)
급수 3	∑n=1∞ (an − an+1)
부분합 3	(a1 − a2) + (a2 − a3) + ⋯ + (an − an+1) = a1 − an+1
관련 개념
방법	차분법 (Method of Differences)
영어 명칭	Telescoping series (망원 급수)
일본어 명칭	畳み込み級数 (다다미코미큐스)

2. 정의

수열 $a_n$ 에 대해, 망원 급수(Telescoping series)는 연속된 항의 차이로 이루어진 급수를 의미한다. 이러한 급수의 특징은 부분 합을 계산할 때 중간 항들이 서로 상쇄되어 처음 몇 개의 항과 마지막 몇 개의 항만 남는다는 점이다.^[1]^[4] 이 때문에 마치 망원경처럼 중간 부분이 접혀 양 끝만 남는 모습과 비슷하다고 하여 '망원'이라는 이름이 붙었다.

망원 급수는 유한 합의 형태일 수도 있고, 무한 급수의 형태일 수도 있다. 무한 급수의 경우, 수열 $a_n$ 이 특정 값으로 수렴하는지 여부에 따라 급수의 수렴성이 결정된다.

2. 1. 유한 합

망원 합은 연속된 항의 쌍이 부분적으로 서로 상쇄되어 초기 항과 최종 항의 일부만 남는 유한 합이다.^[1]^[4]

망원 급수의 거듭제곱. 합 기호 $\sum$ 에서 지수 ''n''은 1에서 ''m''까지이다. ''n''과 ''m''은 모두 자연수라는 사실 외에는 관계가 없다.

수열

a_n

의 원소에 대해, 망원 합은 다음과 같이 표현된다.

\sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) =  a_N - a_0.

2. 2. 무한 급수

망원 합은 연속된 항들이 서로 상쇄되어 처음 항과 마지막 항의 일부만 남는 유한 합이다.^[1]^[4] 수열의 항을

a_n

이라고 할 때, 망원 합은 다음과 같이 표현된다.

\sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) = a_N - a_0.

만약 수열

a_n

이 극한

L

로 수렴한다면, 이 급수를 망원 급수라고 하며, 그 합은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) = L-a_0.

모든 급수는 그 부분 합으로 구성된 수열에 대한 망원 급수로 생각할 수 있다.^[5]

3. 일반적인 경우

망원 합은 연속된 항들이 서로 부분적으로 상쇄되어, 처음 몇 개의 항과 마지막 몇 개의 항만 남게 되는 유한 합이다.^[1]^[4] $a_n$ 을 수열의 항이라고 할 때, 유한 망원 합은 다음과 같이 계산된다.

$\sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) = (a_1 - a_0) + (a_2 - a_1) + \dots + (a_N - a_{N-1}) = a_N - a_0.$

망원 급수는 이러한 망원 합의 항 개수가 무한히 많아지는 경우이다. 만약 수열 $a_n$ 이 특정 값 $L$ 로 수렴한다면 ( $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ ), 망원 급수는 다음과 같이 수렴한다.

$\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N (a_n - a_{n-1}) = \lim_{N\to\infty} (a_N - a_0) = L - a_0.$

특히, 수열 $a_n$ 이 0으로 수렴한다면 ( $a_n \rightarrow 0$ ), 즉 $L=0$ 인 경우, 급수의 합은 $-a_0$ 가 된다.

$\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) = 0 - a_0 = -a_0.$

모든 급수는 그 부분 합들의 차이로 표현될 수 있으므로, 넓은 의미에서 망원 급수로 볼 수 있다.^[5]

4. 함정 및 주의점

망원 급수는 합을 구하는 데 유용한 방법이지만, 잘못 사용하면 오류를 범하기 쉽다. 특히 각 항이 0으로 수렴하지 않는 급수를 다룰 때 주의해야 한다. 예를 들어 그란디 급수의 경우, 다음과 같은 계산은 잘못된 결론을 도출할 수 있다.

: $0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,$

이러한 오류는 각 항이 0으로 수렴하지 않는데 임의로 항의 묶는 순서를 바꾸었기 때문에 발생한다.

이런 실수를 피하기 위해서는 먼저 N번째 항까지의 부분합을 구한 다음, N을 무한대로 보내는 극한을 계산하는 것이 안전하다. 예를 들어, 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\begin{align}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\& {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1}\right) \\& {} = 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \\& {} = 1 - \frac{1}{N+1}\end{align}$

부분합 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1}$ 이므로, N이 무한대로 갈 때 극한값은 1이다.

: $\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \left(1 - \frac{1}{N+1}\right) = 1$

따라서 급수의 합은 1이 된다.

5. 예시

정수 A의 제곱은 첫 번째 A개의 홀수의 합과 같다는 성질( $A^2=\sum_{i=1}^{A}(2i-1)$ )을 이용하여 망원급수를 만들 수 있다.^[6] 각 항 $(2i-1)$ 은 $i^2 - (i-1)^2$ 과 같으므로, 이 합은 다음과 같이 망원급수 형태로 변형하여 계산할 수 있다.

$\sum_{i=1}^{A}(2i-1) = \sum_{i=1}^{A}(i^2 - (i-1)^2) = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + \dots + (A^2 - (A-1)^2)$

이 합을 전개하면 연속된 항의 $i^2$ 과 $-(i-1)^2$ 이 서로 상쇄되어, 최종적으로 $A^2 - 0^2 = A^2$ 만 남는다.

$\sum_{i=1}^{A}(i^2 - (i-1)^2) = (\cancel{1^2} - 0^2) + (\cancel{2^2} - \cancel{1^2}) + (\cancel{3^2} - \cancel{2^2}) + \dots + (A^2 - \cancel{(A-1)^2}) = A^2 - 0^2 = A^2$

예를 들어 $A=5$ 일 경우, $5^2 = 1+3+5+7+9 = 25$ 가 성립한다.

더 일반적으로, 정수 A의 n제곱은 다음과 같은 망원급수로 표현될 수 있다.

$A^n=\sum_{X=1}^{A}(X^n-(X-1)^n)$

이러한 망원급수의 원리는 미적분학의 기본 개념과도 연결될 수 있다.

5. 1. 부분 분수 분해

다음 급수는 곱셈 역수의 급수이며, 프라닉 수의 역수의 합과 같다.^[1] 이 급수는 부분 분수 분해를 이용하여 망원 급수로 변형하여 계산할 수 있다.

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

계산 과정은 다음과 같다.

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\{} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack  \\{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {  1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack \\{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {  1  - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1.\end{align}

더 일반적으로, 양의 정수 ''k''에 대해 다음이 성립한다.

\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k)}} = \frac{H_k}{k}

여기서 ''H''_''k''는 ''k''번째 조화수이다.

또한, ''k''와 ''m''을 ''k''

\neq

''m''인 양의 정수라고 하면 다음이 성립한다.

\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{(n+k)(n+k+1)\dots(n+m-1)(n+m)}} = \frac{1}{m-k} \cdot \frac{k!}{m!}

여기서

!

는 팩토리얼 연산을 나타낸다.

5. 2. 삼각함수

많은 삼각함수는 차로 표현될 수 있어, 연속된 항들 사이에 망원급수의 소거법을 적용할 수 있다. 예를 들어, 각도 덧셈 공식을 이용하면 다음과 같은 합을 계산할 수 있다.

\begin{align}\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \\& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).\end{align}

5. 3. 다항식

f

와

g

가 다항식이고 몫

f(n)/g(n)

을 부분 분수로 분해할 수 있는 형태의 합

\sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)}

의 경우, 망원 급수 방법이 유효하지 않을 수도 있다. 특히, 다음과 같이 항이 전혀 상쇄되지 않는 경우에는 이 방법을 사용할 수 없다.

\begin{align}\sum^\infty_{n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}& {} =\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \\& {} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \\& {}\qquad \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \\& {} =\infty\end{align}

이 예시에서는 각 항이 소거되지 않고 계속 더해지므로, 급수의 합은 무한대로 발산한다.

5. 4. 조화수

''k''를 양의 정수라고 하면 다음 식이 성립한다.

\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k)}} = \frac{H_k}{k}

여기서 ''H''_''k''는 ''k''번째 조화수이다. 이 급수는 부분 분수 분해를 이용하면

\frac{1}{k}\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k} \right)

로 나타낼 수 있으며, 처음 ''k''개 항의 일부(

\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{1}{i} = \frac{H_k}{k}

)를 제외한 나머지 항들이 상쇄되는 망원급수의 형태를 가진다.

5. 5. 기하 급수

초기 항

a

와 공비

r

을 갖는 기하 급수에 인자

(1 - r)

을 곱하면 망원 급수 형태가 만들어져 극한값을 쉽게 계산할 수 있다.^[7]

(1 - r) \sum^\infty_{n=0} ar^n = \sum^\infty_{n=0} (ar^n - ar^{n+1})

이 급수는 망원 급수의 형태로, 각 항의 일부가 다음 항의 일부와 상쇄된다.

|r| < 1

일 때, 급수의 합은 다음과 같이 간단해진다.

\sum^\infty_{n=0} (ar^n - ar^{n+1}) = a

따라서,

|r| < 1

일 때 기하 급수의 합은 다음과 같다.

\sum^\infty_{n=0} ar^n = \frac{a}{1 - r}

6. 응용

망원급수는 확률론에서 푸아송 과정의 분석 등 다양한 문제 해결에 사용된다. 이 외에도 여러 수학 및 과학 분야에서 응용 사례를 찾아볼 수 있다.

6. 1. 확률론

확률론에서 푸아송 과정은 가장 단순한 경우, 어떤 사건("발생")이 임의의 시간에 일어나는 확률 과정이다. 이 과정에서 다음 발생까지 기다리는 시간은 무기억 성질을 가진 지수 분포를 따르며, 특정 시간 간격 동안 발생하는 사건의 횟수는 푸아송 분포를 따른다. 이때 푸아송 분포의 기댓값(평균 발생 횟수)은 시간 간격의 길이에 비례한다.

시간 ''t''까지 발생한 사건의 횟수를 확률 변수 ''X''_''t''라 하고, ''x''번째 사건이 발생하기까지 걸리는 시간을 ''T''_''x''라고 하자. 이제 확률 변수 ''T''_''x''의 확률 밀도 함수를 구해보자. 먼저, 푸아송 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같다.

\Pr(X_t = x) = \frac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{x!}

여기서 λ는 단위 시간(길이 1)당 평균 발생 횟수이다. 시간 ''t''까지 최소 ''x''번의 사건이 발생했다는 것({''X''_''t'' ≥ x})은 ''x''번째 사건이 발생하기까지 걸린 시간이 ''t'' 이하라는 것({''T''_''x'' ≤ ''t''})과 동일한 의미이므로, 두 사건의 확률은 같다. 즉,

\Pr(X_t \ge x) = \Pr(T_x \le t)

이다.

따라서 우리가 구하려는 확률 밀도 함수 ''f''(''t'')는 누적 분포 함수

\Pr(T_x \le t)

를 시간 ''t''에 대해 미분하여 얻을 수 있다.

\begin{align}f(t) & = \frac{d}{dt}\Pr(T_x \le t) = \frac{d}{dt}\Pr(X_t \ge x) \\& = \frac{d}{dt}(1 - \Pr(X_t \le x-1)) \\& = \frac{d}{dt}\left( 1 - \sum_{u=0}^{x-1} \Pr(X_t = u)\right) \\& = \frac{d}{dt}\left( 1 - \sum_{u=0}^{x-1} \frac{(\lambda t)^u e^{-\lambda t}}{u!} \right) \\& = \lambda e^{-\lambda t} - e^{-\lambda t} \sum_{u=1}^{x-1} \left( \frac{\lambda^u t^{u-1}}{(u-1)!} - \frac{\lambda^{u+1} t^u}{u!} \right) \quad (\text{단, } x \ge 2)\end{align}

위 식의 마지막 줄에서 합(Σ) 부분을 계산하면, 항들이 연속적으로 소거되는 망원 합(telescoping sum) 형태가 나타난다. (만약

x=1

이면 합 부분은 0이 된다.) 미분과 망원 합 계산을 통해 최종적으로 다음의 확률 밀도 함수를 얻는다.

f(t) = \frac{\lambda^x t^{x-1} e^{-\lambda t}}{(x-1)!}.

이처럼 푸아송 과정에서 특정 순서의 사건 발생까지 걸리는 시간의 확률 밀도 함수를 유도하는 데 망원 합의 원리가 사용된다.

6. 2. 기타 응용

소수의 역수의 합이 발산한다는 증명: 여러 증명 방법 중 하나에서 망원급수를 사용한다.
미적분학의 기본 정리: 망원급수의 연속적인 형태로 해석될 수 있다.
순서 통계량: 확률 밀도 함수를 유도하는 과정에서 망원급수가 나타난다.
레프셰츠 부동점 정리: 대수적 위상수학 분야에서 망원급수가 응용된다.
호몰로지 이론: 대수적 위상수학 분야에서 망원급수가 응용된다.
아이렌버그-마주 사기: 매듭 이론에서 망원급수의 개념이 활용된다.
Faddeev–LeVerrier 알고리즘
그란디 급수

7. 관련 개념

'''망원 곱'''은 유한한 곱 또는 무한 곱의 부분 곱에서 연속된 항들의 몫이 서로 상쇄되어 유한한 수의 인자만 남는 곱을 의미한다.^[8]^[9] 이는 연속된 항들이 분모와 분자를 서로 소거하여 처음과 마지막 항만 남게 되는 원리를 이용한다. 수열 $a_n$ 에 대해 망원 곱은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\prod_{n=1}^N \frac{a_{n-1}}{a_n} = \frac{a_0}{a_N}.$

만약 수열 $a_n$ 이 1로 수렴한다면, 무한 망원 곱은 다음과 같이 처음 항 $a_0$ 으로 수렴한다.

$\prod_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1}}{a_n} = a_0$

예를 들어, 다음과 같은 무한 곱을 생각해 보자.^[8]

$\prod_{n=2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \right)$

이 곱은 망원 곱의 원리를 이용하여 다음과 같이 간단하게 계산할 수 있다.

$\begin{align}\prod_{n=2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^2} \right)&=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}\\&=\lim_{N\to\infty} \prod_{n=2}^{N}\frac{n-1}{n} \times \prod_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n}\\&= \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \cdots \times \frac{N-1}{N}} \right\rbrack\times \left\lbrack {\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \cdots \times \frac{N}{N-1} \times \frac{N+1}{N}} \right\rbrack\\&= \lim_{N\to\infty} \left\lbrack \frac{1}{2} \right\rbrack \times \left\lbrack \frac{N+1}{N} \right\rbrack\\&= \frac{1}{2}\times \lim_{N\to\infty} \left\lbrack \frac{N+1}{N} \right\rbrack\\&=\frac{1}{2}.\end{align}$

참조

_[1] 서적 Calculus, Volume 1 John Wiley & Sons 1967
_[2] 서적 Elementary Real Analysis, Second Edition CreateSpace 2008
_[3] 서적 Number Theory, Trace Formulas and Discrete Groups: Symposium in Honor of Atle Selberg, Oslo, Norway, July 14–21, 1987 Academic Press
_[4] 웹사이트 Telescoping Sum https://mathworld.wo[...] Wolfram
_[5] 서적 Complex Variables: Introduction and Applications Cambridge University Press
_[6] 웹사이트 The Two Hands Clock https://www.research[...]
_[7] 서적 Calculus, Volume 1 John Wiley & Sons 1967
_[8] 웹사이트 Telescoping Series - Product https://brilliant.or[...] Brilliant.org 2020-02-09
_[9] 웹사이트 Telescoping Sums, Series and Products https://www.cut-the-[...] 2020-02-09
_[10] 서적 Calculus, Volume 1 Blaisdell Publishing Company 1962
_[11] 서적 Elementary Real Analysis, Second Edition CreateSpace 2008
_[12] 서적 Calculus, Volume 1 Blaisdell Publishing Company 1962
_[13] 서적 Elementary Real Analysis, Second Edition CreateSpace 2008

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