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사영 집합

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목차

1. 개요

사영 집합은 폴란드 공간의 부분 집합의 한 종류로, 해석적 집합의 일반화이다. 사영 집합은 \boldsymbol\Sigma^1_n, \boldsymbol\Pi^1_n, \boldsymbol\Delta^1_n 집합으로 분류되며, 사영 위계라고 불리는 포함 관계를 형성한다. 사영 집합은 표준 보렐 가측 공간 구조에 의존하며, 보렐 집합을 포함한다. 사영 집합은 사영 결정 공리가 성립할 경우 르베그 가측 집합, 준열린집합, 완전 집합 성질을 가지며, 해석적 위계와 밀접한 관련이 있다. 사영 위계는 기술 집합론에서 보렐 위계, 르베그 위계 등과 함께 연구된다.

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사영 집합

2. 정의

폴란드 공간 X와 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여, X의 '''\boldsymbol\Sigma^1_n 집합''', '''\boldsymbol\Pi^1_n 집합''', '''\boldsymbol\Delta^1_n 집합'''은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.


  • '''\boldsymbol\Sigma^1_1 집합'''은 X의 해석적 집합이다.
  • '''\boldsymbol\Pi^1_n 집합'''은 X에서 \boldsymbol\Sigma^1_n 집합의 여집합이다. 즉, A \subseteq X가 \boldsymbol\Pi^1_n 집합이라는 것은 X \setminus A가 \boldsymbol\Sigma^1_n 집합이라는 의미이다.
  • n \ge 2일 때, X의 부분 집합 A\subseteq X가 '''\boldsymbol\Sigma^1_n 집합'''이라는 것은 다음 두 조건과 동치이다.
  • 어떤 폴란드 공간 Y와 X \times Y의 \boldsymbol\Pi^1_{n-1} 집합 C가 존재하여, A가 C를 X로 사영(\pi_X\colon X\times Y\to X)한 집합(A=\pi_X(C))과 같다.
  • 모든 비가산 폴란드 공간 Y에 대하여, X \times Y의 어떤 \boldsymbol\Pi^1_{n-1} 집합 C_Y가 존재하여 A=\pi_X(C_Y)를 만족한다.
  • '''\boldsymbol\Delta^1_n 집합'''은 \boldsymbol\Sigma^1_n 집합이면서 동시에 \boldsymbol\Pi^1_n 집합인 부분 집합이다. 즉, \boldsymbol\Delta^1_n = \boldsymbol\Sigma^1_n \cap \boldsymbol\Pi^1_n이다.


폴란드 공간 X의 부분 집합 A\subseteq X가 '''사영 집합'''이라는 것은, 적어도 하나의 양의 정수 n에 대하여 A가 \boldsymbol\Sigma^1_n 집합임을 의미한다. 따라서 모든 \boldsymbol\Sigma^1_n, \boldsymbol\Pi^1_n, \boldsymbol\Delta^1_n 집합은 정의상 사영 집합에 속한다.

'''수슬린 정리'''(Souslin’s theorem영어)에 따르면, 폴란드 공간에서 \boldsymbol\Delta^1_1 집합은 보렐 집합과 정확히 일치한다.[2]

사영 집합(굵은 글꼴 \boldsymbol{\Sigma}^1_n, \boldsymbol{\Pi}^1_n 등으로 표시)은 베어 공간이나 칸토어 공간과 같은 특정 공간의 부분 집합에 대한 상대화된 해석적 위계(보통 글꼴 \Sigma^1_n, \Pi^1_n 등으로 표시)와 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 베어 공간의 부분 집합 X가 \boldsymbol{\Sigma}^1_n 집합이면, 반드시 \Sigma^1_n 집합일 필요는 없지만, 어떤 자연수의 집합 A가 존재하여 X가 A에 상대적인 해석적 위계의 \Sigma^{1,A}_n 집합이 된다. \boldsymbol{\Pi}^1_n 집합에 대해서도 비슷한 관계가 성립한다. 이러한 관계는 유효 기술 집합론에서 중요한 역할을 한다. 또한, 정의 가능성의 관점에서 보면, 실수의 집합이 어떤 실수 매개변수를 사용하여 2차 산술의 언어로 정의될 수 있을 때, 그 집합은 사영 집합이 된다.[1] 이러한 관계는 일반적으로 모든 유효 폴란드 공간의 부분 집합에 대해서도 성립한다.

2. 1. 표준 보렐 가측 공간

임의의 두 폴란드 공간 X, Y 사이에 보렐 가측 공간 구조의 동형 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, f 아래에서 \boldsymbol\Sigma^1_1(X)와 \boldsymbol\Sigma^1_1(Y)는 일치하며, 사영 위계의 나머지 단계들의 정의는 위상 공간 구조에 직접적으로 의존하지 않으므로 마찬가지로 일치한다. 즉, 사영 위계는 오직 표준 보렐 가측 공간 구조에만 의존한다.

3. 성질

임의의 폴란드 공간에 대하여, 다음이 성립한다.[2]

집합족가산 교집합에 대해 닫힘가산 합집합에 대해 닫힘여집합에 대해 닫힘연속 상에 대해 닫힘연속 원상에 대해 닫힘
\boldsymbol\Delta^1_n⭕⭕⭕❌⭕
\boldsymbol\Sigma^1_n⭕⭕❌⭕⭕
\boldsymbol\Pi^1_n⭕⭕❌❌⭕



위 표에서, "연속 (원)상에 대해 닫힘"은 정의역과 공역을 폴란드 공간으로 하는 연속 함수에 대한 상 및 원상을 뜻한다.

3. 1. 포함 관계

보렐 위계와 유사하게, 다음과 같은 포함 관계가 성립하며, 이를 '''사영 위계'''(projective hierarchyeng)라고 한다.[2]

:\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots&&&&\boldsymbol\Sigma^1_1&&&&\boldsymbol\Sigma^1_2&&&\cdots\\

&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&&&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\

\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots&\to&\boldsymbol\Delta^1_1&&&&\boldsymbol\Delta^1_2&&&&\boldsymbol\Delta^1_3&\cdots\\

&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&&&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\

&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots&&&&\boldsymbol\Pi^1_1&&&&\boldsymbol\Pi^1_2&&&\cdots

\end{matrix}

여기서 A\to B는 모든 A 집합이 B 집합임을 뜻한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:열린집합 → 보렐 집합 → 사영 집합

실수의 모든 사영 집합은 실수 구성 가능 전체 L(\mathbb R)에 속한다.

만약 사영 결정 공리가 성립한다면, 실수의 모든 사영 집합들은 다음 조건을 만족시킨다.

  • 르베그 가측 집합이다.
  • 준열린집합이다.
  • 완전 집합 성질을 가진다.

4. 해석적 위계와의 관계

사영 집합은 베어 공간이나 칸토어 공간의 부분 집합에 대한 상대화된 해석적 위계(라이트페이스 문자로 Σ 및 Π로 표시됨)와 밀접한 관계를 가진다. 이는 또한 베어 공간의 부분 집합에 대한 사영 위계(굵은 글꼴 문자로 Σ1n 및 Π1n로 표시됨)와도 연관된다.

구체적으로, 베어 공간의 모든 Σ1n 부분 집합이 반드시 Σ1n인 것은 아니다. 하지만 베어 공간의 부분 집합 ''X''가 Σ1n이라면, 어떤 자연수의 집합 ''A''가 존재하여 ''X''는 ''A''에 상대화된 해석적 위계의 단계인 Σ1,An에 속하게 된다. Π1n 집합에 대해서도 유사한 관계가 성립한다. 즉, 사영 위계에 의해 분류되는 집합들은 정확히 해석적 위계의 상대화된 버전에 의해 분류되는 집합들과 일치한다.

이러한 관계는 유효 기술 집합론에서 중요한 의미를 지닌다.[1] 정의 가능성의 관점에서 보면, 실수의 어떤 집합이 특정 실수 매개변수를 사용하여 2차 산술의 언어로 정의될 수 있을 때, 그 집합은 사영 집합이 된다.[1]

사영 위계와 상대화된 해석적 위계 간의 유사한 관계는 칸토어 공간의 부분 집합뿐만 아니라, 더 일반적으로 모든 유효 폴란드 공간의 부분 집합에 대해서도 성립한다.

5. 다른 위계와의 비교

사영 위계는 보렐 위계, 르베그 위계 등 다른 위계들과 함께 기술 집합론에서 중요한 연구 대상이다. 이들 위계 사이의 관계와 각각의 성질에 대한 연구가 활발하게 이루어지고 있다.

참조

[1] 간행물 What is... a Woodin cardinal? https://www.ams.org/[...] Notices of the American Mathematical Society 2007
[2] 서적 Classical descriptive set theory Springer-Verlag 1995


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