해석적 집합

1. 개요

해석적 집합은 폴란드 공간의 부분 집합으로, 폴란드 공간에서 연속 함수의 상, 보렐 집합의 연속적인 상 등으로 정의될 수 있다. 해석적 집합들은 가산 합집합, 교집합, 연속 이미지 및 역 이미지에 대해 닫혀 있으며, 여집합은 해석적일 필요는 없다. 해석적 집합의 여집합이 해석적이면 그 집합은 보렐 집합이다. 해석적 집합은 항상 르베그 가측이며, 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다. 사영 위계에서 $\backslash boldsymbol\{\backslash Sigma\}^1\_1$ 집합으로 불리며, 그 여집합은 공해석적 집합($\backslash boldsymbol\{\backslash Pi\}^1\_1$)이다. 보렐 집합족은 $\backslash boldsymbol\{\backslash Delta\}^1\_1$로 표기된다. 해석적 집합은 루진과 수슬린에 의해 1917년에 정의되었다.

2. 정의

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\backslash subseteq\; X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.

* $f(Y)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.
* $f(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\backslash subseteq\; Y$ 및 연속 함수 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.
* $A$는 공집합이거나, 아니면 $f(\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\})=A$인 연속 함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\}\backslash to\; X$가 존재한다.
* $\backslash operatorname\{proj\}\_1(S)=A$인 보렐 집합 $S\backslash subseteq\; X\backslash times\; X$가 존재한다.
* $\backslash operatorname\{proj\}\_X(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\backslash subseteq\; X\backslash times\; Y$가 존재한다.
* $\backslash operatorname\{proj\}\_X(S)=A$인 닫힌집합 $S\backslash subseteq\; X\backslash times\backslash mathbb\; N^\{\backslash aleph\_0\}$가 존재한다.
* $\backslash operatorname\{proj\}\_X(S)=A$인 G_δ 집합 $S\backslash subseteq\; X\backslash times\backslash \{0,1\backslash \}^\{\backslash aleph\_0\}$가 존재한다.

$X$의 해석적 집합들의 족은 $\backslash boldsymbol\backslash Sigma^1\_1(X)$로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)

폴란드 공간 X의 부분 공간 A에 대한 다음 조건은 서로 동등하다.

* A는 해석적 집합이다.
* A는 공집합이거나 베어 공간 ω^ω의 연속적인 상이다.
* A는 수슬린 공간이다. 즉, A는 폴란드 공간을 연속 사상으로 사영한 것이다.
* A는 폴란드 공간에서 보렐 집합의 연속적인 상이다.
* A는 수슬린 집합이며, 수슬린 연산의 상이다.
* 폴란드 공간 $Y$와 보렐 대수 집합 $B\backslash subseteq\; X\backslash times\; Y$가 존재하여 $A$가 $B$를 $X$로 사영한 것이 된다. 즉,
:$A=\backslash \{x\backslash in\; X|(\backslash exists\; y\backslash in\; Y)\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\backslash in\; B\backslash \}.$
* A는 X와 베어 공간의 데카르트 곱에서의 닫힌 집합을 사영한 것이다.
* A는 X와 칸토어 공간 2^ω의 데카르트 곱에서의 G_δ 집합을 사영한 것이다.

$X$가 베어 공간 ω^ω인 구체적이고 중요한 경우에 대한 다른 특징은, 해석적 집합이 $\backslash omega\backslash times\backslash omega$ 상의 트리의 사영과 정확히 일치한다는 것이다. 마찬가지로, 칸토어 공간 2^ω의 해석적 부분 집합은 $2\backslash times\backslash omega$ 상의 트리의 사영과 정확히 일치한다.

3. 성질

폴란드 공간의 해석적 집합은 가산 합집합과 교집합, 연속 이미지 및 역 이미지에 대해 닫혀 있다.

해석적 집합의 여집합은 해석적일 필요가 없다. 수슬린은 해석적 집합의 여집합이 해석적이면 그 집합은 보렐 집합임을 증명했다. 반대로 모든 보렐 집합은 해석적이며, 보렐 집합은 여집합에 대해 닫혀 있다. 루진은 더 일반적으로 두 개의 상호소별 해석적 집합은 보렐 집합에 의해 분리된다는 것을 증명했다. 즉, 하나를 포함하고 다른 집합과는 상호소별인 보렐 집합이 존재한다. 이것은 때때로 "루진 분리 원리"라고 불린다(수슬린의 정리 증명에 암묵적으로 포함되어 있지만).

해석적 집합은 항상 르베그 가측이며 (실제로, 보편 가측) 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

해석적 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

* 폴란드 공간 $X$에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.
* 폴란드 공간 $X$에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.
* 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ 및 해석적 집합 $A\backslash subseteq\; X$에 대하여, 그 상 $f(A)$ 역시 해석적 집합이다.
* 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$ 및 해석적 집합 $B\backslash subseteq\; Y$에 대하여, 그 원상 $f^\{-1\}(B)$ 역시 해석적 집합이다.

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\backslash subset\; X$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $A$는 보렐 집합이다.
* $A$와 $X\backslash setminus\; A$ 둘 다 해석적 집합이다.

해석적 집합의 여집합은 해석적 집합일 필요는 없다. 수슬린은 해석적 집합의 여집합이 해석적 집합이면 그 집합은 보렐 집합임을 증명했다. 루진은 더 일반적으로, 두 개의 상호소별 해석적 집합은 보렐 집합에 의해 분리된다는 것을 증명했다.

해석적 집합은 항상 르베그 가측이며, 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다.

3.2. 보렐 집합과의 관계

폴란드 공간의 해석적 집합은 가산 합집합과 교집합, 연속 이미지 및 역 이미지에 대해 닫혀 있다.

해석적 집합의 여집합은 해석적일 필요가 없다. 수슬린(Suslin)은 해석적 집합의 여집합이 해석적이면 그 집합은 보렐 집합임을 증명했다. (반대로 모든 보렐 집합은 해석적이며, 보렐 집합은 여집합에 대해 닫혀 있다.) 루진(Luzin)은 더 일반적으로 두 개의 상호소별 해석적 집합은 보렐 집합에 의해 분리된다는 것을 증명했다. 즉, 하나를 포함하고 다른 집합과는 상호소별인 보렐 집합이 존재한다. 이것은 때때로 "루진 분리 원리"라고 불린다(수슬린의 정리 증명에 암묵적으로 포함되어 있지만).

해석적 집합은 항상 르베그 가측 (실제로, 보편 가측)이며, 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다.

3.3. 분리 정리

루진-노비코프 분리 정리(Lusin–Novikoff separation theorem^영어)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\backslash \{A\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}\backslash subseteq\backslash boldsymbol\backslash Sigma^1\_1(X)$, $|I|\backslash le\backslash aleph\_0$에 대하여, 만약 $\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{i\backslash in\; I\}A\_i=\backslash varnothing$이라면, $\backslash forall\; i\backslash in\; I\backslash colon\; B\_i\backslash supseteq\; A\_i$이자 $\backslash textstyle\backslash bigcap\_\{i\backslash in\; I\}B\_i=\backslash varnothing$인 보렐 집합들의 집합족 $\backslash \{B\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}\backslash subseteq\backslash boldsymbol\backslash Delta^1\_1(X)$이 존재한다.

쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\backslash \{A\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}\backslash subseteq\backslash boldsymbol\backslash Sigma^1\_1(X)$, $|I|\backslash le\backslash aleph\_0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 $\backslash \{C\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}\backslash subseteq\backslash boldsymbol\backslash Pi^1\_1(X)$가 존재한다.
* 임의의 $i\backslash in\; I$에 대하여, $\backslash textstyle\; A\_i\backslash setminus\backslash bigcup\_\{j\backslash ne\; i\}A\_j\backslash subseteq\; C\_i$
* 임의의 $i,j\backslash in\; I$에 대하여, $i\backslash ne\; j$라면 $C\_i\backslash cap\; C\_j=\backslash varnothing$

루진은 교차하지 않는 두 해석적 집합은 보렐 집합으로 분리할 수 있음을 증명했다. 즉, 한쪽 해석적 집합을 포함하고, 다른 한쪽 해석적 집합과 교차하지 않는 보렐 집합을 취할 수 있다.

3.4. 가측성

실수선 $\backslash mathbb\; R$의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다.

해석적 집합의 여집합은 해석적일 필요가 없다. 수슬린(Suslin)은 해석적 집합의 여집합이 해석적이면 그 집합은 보렐 집합임을 증명했다. (반대로 모든 보렐 집합은 해석적이며, 보렐 집합은 여집합에 대해 닫혀 있다.) 루진(Luzin)은 더 일반적으로 두 개의 상호소별 해석적 집합은 보렐 집합에 의해 분리된다는 것을 증명했다. 즉, 하나를 포함하고 다른 집합과는 상호소별인 보렐 집합이 존재한다. 이것은 때때로 "루진 분리 원리"라고 불린다(수슬린의 정리 증명에 암묵적으로 포함되어 있지만).

해석적 집합은 항상 르베그 가측 (실제로, 보편 가측)이며, 베어 성질과 완비 집합 성질을 갖는다.

4. 사영 위계

해석적 집합은 사영 계층의 용어를 사용하여 $\backslash boldsymbol\{\backslash Sigma\}^1\_1$ 집합이라고도 한다. 이 굵은 글씨는 단순한 장식이 아니라, 해석적 계층에서의 일반 글꼴 $\backslash Sigma^1\_1$과는 다름을 나타낸다. 해석적 집합의 여집합은 공해석적 집합이라 불리며, $\backslash boldsymbol\{\backslash Pi\}^1\_1$로 표기한다. $\backslash boldsymbol\{\backslash Delta\}^1\_1=\backslash boldsymbol\{\backslash Sigma\}^1\_1\backslash cap\; \backslash boldsymbol\{\backslash Pi\}^1\_1$ 교집합은 보렐 집합족과 같다.

5. 역사

니콜라이 루진과 미하일 수슬린이 1917년에 해석적 집합을 정의하였다.

니콜라이 루진은 1927년에 루진-노비코프 분리 정리에서 두 개의 집합에 대한 경우를 증명하였고, 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 이를 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.

6. 예시

자연수의 집합 $A$가 주어질 때, 집합 $\backslash \{x-y\backslash mid\; y\backslash leq\; x\backslash land\; x,y\backslash in\; A\backslash \}$를 $A$의 차집합이라고 한다. 자연수의 차집합 집합은 해석적 집합이며, 해석적 집합에 대해 완전하다.