사원수 벡터 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 예
참조

1. 개요

사원수 벡터 공간은 환론에서 가군의 개념으로 정의되거나, 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의될 수 있으며, 이 세 가지 정의는 서로 동치이다. 사원수 대수 위의 가군, 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조, 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조를 통해 정의될 수 있으며, 사원수 선형 변환과 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조에 대해서도 설명한다. 예시로 복소수 벡터 공간의 사원수 구조를 제시한다.

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사원수 벡터 공간

2. 정의

'''사원수 벡터 공간'''은 환론에서의 가군 개념으로 직접 정의할 수도 있고, 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

2. 1. 사원수 대수의 가군

사원수 대수

\mathbb{H}

는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한,

\mathbb{H}

는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산

:

\bar{}\colon\mathbb{H}\to\mathbb{H}

:

\bar{}\colon a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd

아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.

:

\mathbb{H}\cong\mathbb{H}^{\operatorname{op}}

따라서,

\mathbb{H}

위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

2. 2. 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조

complex|콤플렉스^영어 벡터 공간

V

위의 '''사원수 구조'''는 다음 조건을 만족시키는

\mathbb C

-반선형 변환

K\colon V\to V

이다.

:

K^2=-1

사원수 구조를 갖춘 복소수 벡터 공간을 '''사원수 벡터 공간'''이라고 한다.

2. 3. 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조

Real vector space^영어 벡터 공간

V

위의 '''사원수 구조'''

(I,J,K)

는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의

\mathbb R

-선형 변환

I,J,K\colon V\to V

로 구성된다.

:

I^2=J^2=K^2=IJK=-1

즉,

(I,J,K)

는

-1

을 보존하는 군 준동형

:

\phi\colon Q\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)

:

\phi\colon-1\mapsto-\operatorname{id}_V

를 정의한다. 여기서

Q

는 사원수군이다.

2. 4. 사원수 선형 변환

사원수 벡터 공간

V

가 주어졌을 때,

V

위의 '''사원수 선형 변환'''

T\colon V\to V

는

\mathbb H

위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군

\operatorname{GL}(V;\mathbb H)

를 이루며,

V

가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

2. 5. 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조

n차원 복소수 벡터 공간

V

위의 실수 구조는

C^2=1

인 반선형 변환

C\colon V\to V

에 의하여 주어진다. 이 경우

C

는 각 성분의 복소켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 '''복소수 구조'''(complex structure^영어)는

C^2=1

인 반선형 변환으로서 주어진다.

3. 예

복소수 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, $V\oplus\bar V$ 는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.^[1]

: $J\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-v_2,\bar v_1)$

이 함수가 $\mathbb C$ -반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

: $J\left(z(v_1,v_2)\right)=J\left((zv_1,\overline{\bar zv_2})\right)=(-\bar zv_2,\overline{zv_1})=\bar z(-v_2,\bar v_1)=\bar zJ\left((v_1,v_2)\right)$

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

: $I\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(iv_1,-\overline{iv_2})$

: $K=IJ=\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-iv_2,-\overline{iv_1})$

그렇다면

: $I^2=J^2=K^2=IJK=-1$

임을 쉽게 확인할 수 있다.

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