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사원수 벡터 공간

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1. 개요

사원수 벡터 공간은 환론에서 가군의 개념으로 정의되거나, 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의될 수 있으며, 이 세 가지 정의는 서로 동치이다. 사원수 대수 위의 가군, 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조, 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조를 통해 정의될 수 있으며, 사원수 선형 변환과 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조에 대해서도 설명한다. 예시로 복소수 벡터 공간의 사원수 구조를 제시한다.

사원수 벡터 공간
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목차

2. 정의

사원수 벡터 공간은 환론에서의 가군 개념으로 직접 정의할 수도 있고, 추가 구조를 갖춘 실수 또는 복소수 벡터 공간으로 정의할 수도 있다. 이 세 가지 정의는 서로 동치이다.

2.1. 사원수 대수의 가군

사원수 대수 \mathbb{H}는 노름을 갖춘 나눗셈환이며, 따라서 그 위의 가군들은 모두 자유 가군이다. 또한, \mathbb{H}는 비가환환이지만 사원수 켤레 연산
:\bar{}\colon\mathbb{H}\to\mathbb{H}
:\bar{}\colon a+ib+jc+kd\mapsto a-ib-jc-kd
아래 스스로의 반대환과 표준적으로 동형이다.
:\mathbb{H}\cong\mathbb{H}^{\operatorname{op}}
따라서, \mathbb{H} 위의 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 표준적으로 일대일 대응하며, 왼쪽 · 오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.

2.2. 복소수 벡터 공간 위의 사원수 구조

complex영어 벡터 공간 V 위의 사원수 구조는 다음 조건을 만족시키는 \mathbb C-반선형 변환 K\colon V\to V이다.
:K^2=-1
사원수 구조를 갖춘 복소수 벡터 공간을 사원수 벡터 공간이라고 한다.

2.3. 실수 벡터 공간 위의 사원수 구조

Real vector space영어 벡터 공간 V 위의 사원수 구조 (I,J,K)는 다음 조건을 만족시키는, 세 개의 \mathbb R-선형 변환 I,J,K\colon V\to V로 구성된다.

:I^2=J^2=K^2=IJK=-1

즉, (I,J,K)는 -1을 보존하는 군 준동형

:\phi\colon Q\to\operatorname{GL}(V;\mathbb R)
:\phi\colon-1\mapsto-\operatorname{id}_V

를 정의한다. 여기서 Q는 사원수군이다.

2.4. 사원수 선형 변환

사원수 벡터 공간 V가 주어졌을 때, V 위의 사원수 선형 변환 T\colon V\to V는 \mathbb H 위의 가군으로서의 준동형이다. 이들은 사원수 일반 선형군 \operatorname{GL}(V;\mathbb H)를 이루며, V가 유한 차원일 경우 그 원소는 사원수 행렬들로 생각할 수 있다.

2.5. 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조

n차원 복소수 벡터 공간 V 위의 실수 구조는 C^2=1인 반선형 변환 C\colon V\to V에 의하여 주어진다. 이 경우 C는 각 성분의 복소켤레 연산에 해당한다. 마찬가지로, 사원수 벡터 공간 위의 복소수 구조(complex structure영어)는 C^2=1인 반선형 변환으로서 주어진다.

3. 예

복소수 벡터 공간 V가 주어졌을 때, V\oplus\bar V는 다음과 같은 자연스러운 사원수 구조를 가진다.

:J\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-v_2,\bar v_1)

이 함수가 \mathbb C-반선형이라는 것은 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

:J\left(z(v_1,v_2)\right)=J\left((zv_1,\overline{\bar zv_2})\right)=(-\bar zv_2,\overline{zv_1})=\bar z(-v_2,\bar v_1)=\bar zJ\left((v_1,v_2)\right)

이 경우, 나머지 두 복소수 구조는 구체적으로 다음과 같다.

:I\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(iv_1,-\overline{iv_2})
:K=IJ=\colon(v_1,\bar v_2)\mapsto(-iv_2,-\overline{iv_1})

그렇다면

:I^2=J^2=K^2=IJK=-1

임을 쉽게 확인할 수 있다.