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사원수군

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목차

1. 개요

사원수군은 8개의 원소를 가진 비아벨군으로, Q 또는 Q₈로 표기하며, {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}로 구성된다. 곱셈 연산을 통해 비가환군임을 알 수 있다. 사원수군은 행렬 표현, 생성원과 관계를 이용한 표현 등 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 해밀턴 군이라는 특이한 성질을 가진다. 또한, 이면체군 D₄와 비교되며, 일반화된 사원수군 Q4n으로 확장될 수 있다. 사원수군은 갈루아 군, 3차원 회전, 양자역학 등 다양한 분야에 응용된다.

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사원수군
기본 정보
종류비가환군
차수8
표현
생성원2
관계math: "i^4 = 1"
math: "i^2 = j^2 = k^2 = i'j'k = -1"
성질
중심math: "{1, -1}"
교환자 부분군math: "{1, -1}"
멱영 지표2

2. 정의

'''사원수군'''은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군이다. 사원수군은 흔히 ''Q'' 또는 ''Q''8로 표기되며, {1, -1, ''i'', -''i'', ''j'', -''j'', ''k'', -''k''}의 8개 원소로 구성된다.

2. 1. 연산

1은 항등원이며 (-1)² = 1이다. 임의의 원소 a에 대해 (-1)a = a(-1) = -a이다. i² = j² = k² = ijk = -1 관계가 성립한다.

사원수군의 군 표(Cayley table)는 다음과 같다.

1-1i-ij-jk-k
11-1i-ij-jk-k
-1-11-ii-jj-kk
ii-i-11k-k-jj
-i-ii1-1-kkj-j
jj-j-kk-11i-i
-j-jjk-k1-1-ii
kk-kj-j-ii-11
-k-kk-jji-i1-1



표를 통해 사원수군이 교환법칙이 성립하지 않는 비가환군임을 알 수 있다. 예를 들어 ''ij'' = -''ji''이다.

2. 2. 케일리 표 (군 표)

사원수군의 곱셈 연산을 나타내는 표이다.[1] 표를 통해 비가환군(교환법칙이 성립하지 않음)임을 확인할 수 있다. 예를 들어 ''ij'' = -''ji''이다.

1−1i−ij−jk−k
11−1i−ij−jk−k
−1−11−ii−jj−kk
ii−i−11k−k−jj
−i−ii1−1−kkj−j
jj−j−kk−11i−i
−j−jjk−k1−1−ii
kk−kj−j−ii−11
−k−kk−jji−i1−1


3. 표현

사원수군은 GL2('''C''')의 부분군으로 나타낼 수 있다.[15] 여기서 Q = {±1, ±''i'', ±''j'', ±''k''}의 원소들은 각각 특정한 행렬에 대응된다. ''i''는 허수 단위이다. (자세한 내용은 행렬 표현 참고)

3. 1. 행렬 표현

사원수군은 GL2('''C''')의 부분군으로 나타낼 수 있다.[1] 여기서 '''C'''는 복소수를 의미한다. Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}의 원소들은 각각 다음과 같은 2x2 복소수 행렬에 대응된다.

원소행렬 표현
1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
i\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}
j\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
k\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}



여기에서 i는 허수 단위이다.

사원수군의 곱셈표는 SL(2,'''C''')의 부분군으로 나타낸다. 항목은 인수에 해당하는 부문으로 표시된다: 1 (녹색), ''i'' (파란색), −1 (빨간색), −''i'' (노란색).


사원수군은 사원수 대수의 곱셈 부분군으로, 다음과 같은 정규 표현 \rho:\mathrm{Q}_8 \to \operatorname{GL}(2,\C)을 갖는다.

:\begin{matrix}

e \mapsto \begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 1

\end{pmatrix} &

i \mapsto \begin{pmatrix}

i & 0 \\

0 & \!\!\!\!-i

\end{pmatrix}&

j \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!\!-1 \\

1 & 0

\end{pmatrix}&

k \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!\!-i \\

\!\!\!-i & 0

\end{pmatrix} \\

\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!\!-1 & 0 \\

0 & \!\!\!\!-1

\end{pmatrix} &

\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!\!-i & 0 \\

0 & i

\end{pmatrix}&

\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

\!\!\!-1 & 0

\end{pmatrix}&

\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & i \\

i & 0

\end{pmatrix}.

\end{matrix}



위의 모든 행렬은 단위 행렬식을 가지므로, 이는 Q8의 특수 선형군 \operatorname{SL}(2,\C)에서의 표현이다.[5]

또한, 사원수군은 유니타리 행렬을 이용하여 다음과 같이 SU(2)의 부분군으로 표현할 수 있다.

:\begin{matrix}

e \mapsto \begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 1

\end{pmatrix} &

i \mapsto \begin{pmatrix}

i & 0 \\

0 & \!\!\!\!-i

\end{pmatrix}&

j \mapsto \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

\!\!\!-1 & 0

\end{pmatrix}&

k \mapsto \begin{pmatrix}

0 & i \\

i & 0

\end{pmatrix} \\

\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!\!-1 & 0 \\

0 & \!\!\!\!-1

\end{pmatrix} &

\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!\!-i & 0 \\

0 & i

\end{pmatrix}&

\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!\!-1 \\

1 & 0

\end{pmatrix}&

\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!\!-i \\

\!\!\!-i & 0

\end{pmatrix}.

\end{matrix}

물리학에서는 파울리 행렬과의 연결을 위해 다음과 같은 SU(2) 행렬 표현을 사용하기도 한다.

:\begin{matrix}

&e \mapsto \begin{pmatrix}

1 & 0 \\

0 & 1

\end{pmatrix} = \quad\, 1_{2\times2}

&i \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!-i\! \\

\!\!-i\!\! & 0

\end{pmatrix} = -i \sigma_x

&j \mapsto \begin{pmatrix}

0 & \!\!\!-1\! \\

1 & 0

\end{pmatrix} = -i \sigma_y

&k \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!-i\!\! & 0 \\

0 & i

\end{pmatrix} = -i \sigma_z\\

&\overline{e} \mapsto \begin{pmatrix}

\!\!\!-1\! & 0 \\

0 & \!\!\!-1\!

\end{pmatrix} = -1_{2\times2}

&\overline{i} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & i \\

i & 0

\end{pmatrix} = \,\,\,\, i \sigma_x

&\overline{j} \mapsto \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

\!\!-1\!\! & 0

\end{pmatrix} = \,\,\,\, i \sigma_y

&\overline{k} \mapsto \begin{pmatrix}

i & 0 \\

0 & \!\!\!-i\!

\end{pmatrix} = \,\,\,\, i \sigma_z.

\end{matrix}

4. 성질

사원수군 Q8은 비가환군이지만 모든 부분군이 정규 부분군인 해밀턴 군이라는 특이한 성질을 가지고 있다.[3] 모든 해밀턴 군은 Q8의 복사본을 포함한다.[4]

사원수군은 다음과 같은 다섯 개의 기약 표현을 갖는다.


  • '''자명 표현''': 가장 기본적인 표현이다.
  • '''i, j, k-커널을 갖는 부호 표현''': Q8의 세 최대 정규 부분군(i, j, k로 생성되는 순환 부분군) 각각에 대해, 2원소 몫군을 통해 인수분해되는 1차원 표현을 얻는다. 이 표현은 해당 부분군의 원소를 1로, 그 외의 원소를 -1로 보낸다.
  • '''2차원 표현''': 복소수 표현이지만 실수 위에서 실현될 수 없다. 이는 복소수 위의 대수로서 고려된 사원수 \mathbb{H}이며, 작용은 Q_8\subset \mathbb H 에 의한 왼쪽 곱셈이다.


이 기약 표현들에 대응하는 멱등원(e_\rho\in \R[\mathrm{Q}_8])은 다음과 같다.

:\begin{align}

e_{\text{triv}} &= \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i+j+\bar j+k+\bar k) \\

e_{i\text{-ker}} &= \tfrac 18(e + \bar e + i +\bar i-j-\bar j-k-\bar k) \\

e_{j\text{-ker}} &= \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i+j+\bar j-k-\bar k) \\

e_{k\text{-ker}} &= \tfrac 18(e + \bar e - i -\bar i-j-\bar j+k+\bar k) \\

e_{2} &= \tfrac 12(e - \bar e)

\end{align}

마지막 아이디얼 (e_2)는 사원수의 사체 \mathbb{H}와 동형이다.

4. 1. 중심(Center)과 교환자 부분군(Commutator Subgroup)

사원수군의 중심과 교환자 부분군은 모두 \{\pm1\}이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군과 동형이다.[2] 사원수군 Q8의 내부 자기 동형 군은 중심에 대한 군, 즉 몫군 \mathrm{Q}_8/\{e,\bar{e}\},으로 주어지며 이는 클라인 네원군 V와 같다.

Q8의 문자표는 D4의 문자표와 동일하다.

표현(ρ)/공액류{ e }{ \bar{e} }{ i, \bar{i} }{ j, \bar{j} }{ k, \bar{k} }
자명 표현11111
i-커널을 갖는 부호 표현111−1−1
j-커널을 갖는 부호 표현11−11−1
k-커널을 갖는 부호 표현11−1−11
2차원 표현2−2000


4. 2. 자기동형군(Automorphism Group)

사원수군의 자기 동형군은 4차 대칭군 \operatorname{Sym}(4)이다. 외부 자기 동형군은 \operatorname{Sym}(4)/(\operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2))\cong\operatorname{Sym}(3)이다.

4. 3. 부분군(Subgroup)

사원수군의 부분군은 자명군과 자기 자신을 포함하여 총 6개가 있다.

  • 크기 8: Q
  • 크기 4: ⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩|⟨i⟩, ⟨j⟩, ⟨k⟩|영어 ≤ Q. 이들은 모두 4차 순환군과 동형이다.
  • 크기 2: ⟨-1⟩|⟨-1⟩영어 ≤ Q. 이는 2차 순환군과 동형이다.
  • 크기 1: 자명군 1


이들은 모두 정규 부분군이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군을 이룬다. 사원수군은 비가환군이지만 모든 부분군이 정규 부분군인 해밀턴 군이다.[3]

4. 4. 멱영군(Nilpotent Group)

사원수군 Q8과 이면체군 D4는 멱영 비가환군의 가장 작은 두 가지 예이다.[2]

4. 5. 문자표(Character Table)

표현(ρ)/공액류{ e }{ }{ i, }{ j, }{ k, }
자명 표현11111
i-커널을 갖는 부호 표현111−1−1
j-커널을 갖는 부호 표현11−11−1
k-커널을 갖는 부호 표현11−1−11
2차원 표현2−2000



사원수군 Q8의 문자표는 이면체군 D4의 문자표와 동일하다.[2]

5. 다른 군과의 비교

빨간색 화살표는 g→gi를 연결하고, 녹색 화살표는 g→gj를 연결한다.

순환 그래프


5. 1. 이면체군(Dihedral Group) D₄와의 비교

빨간색 화살표는 g→gi를 연결하고, 녹색 화살표는 g→gj를 연결한다.순환 그래프



D₄의 다이어그램에서, 군의 원소들은 정의 표현 '''R'''2에서 문자 F에 대한 작용으로 표시된다. Q8은 '''R'''2 또는 '''R'''3에서 충실한 표현을 갖지 않으므로, Q8에 대해서는 같은 작업을 수행할 수 없다. D₄는 Q8이 사원수의 부분 집합으로 볼 수 있는 것과 같은 방식으로 분할 사원수의 부분 집합으로 실현될 수 있다.

6. 일반화된 사원수군(Generalized Quaternion Group)

일반화된 사원수군 Q4''n''은 위수 4''n''을 가지며, 다음과 같은 표현으로 정의된다.[2]

:\langle x,y \mid x^{2n} = y^4 = 1, x^n = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle

여기서 ''n'' ≥ 2인 정수이며, ''n'' = 2일 때 일반적인 사원수군을 얻는다.[9] 콕세터는 Q4''n''을 이중 순환군 \langle 2, 2, n\rangle라고 부르는데, 이는 이진 다면체군 \langle \ell, m, n\rangle의 특수한 경우이며, 다면체군 (p,q,r) 및 이이각군 (2,2,n)과 관련이 있다.

일반화된 사원수군은 \operatorname{GL}_2(\Complex)의 부분군으로 실현될 수 있으며, 이는

:\left(\begin{array}{cc}

\omega_n & 0 \\

0 & \overline{\omega}_n

\end{array}

\right)

\mbox{ 및 }

\left(\begin{array}{cc}

0 & -1 \\

1 & 0

\end{array}

\right)



에 의해 생성된다. 여기서 \omega_n = e^{i\pi/n}이다.[2] 또한, x=e^{i\pi/n}과 y=j에 의해 생성되는 단위 사원수의 부분군으로 실현될 수도 있다.[10]

일반화된 사원수군은 모든 아벨 부분군이 순환군이라는 성질을 갖는다.[11] 이 성질(모든 아벨 부분군이 순환군)을 갖는 유한한 ''p''-군은 순환군이거나 위에서 정의된 일반화된 사원수군임을 보일 수 있다.[12] 또 다른 특징은 위수 ''p''의 유일한 부분군이 존재하는 유한 ''p''-군은 순환군이거나 일반화된 사원수군과 동형인 2-군이라는 것이다.[13] 특히, 홀수 표수를 갖는 유한 체 ''F''에 대해, SL2(''F'')의 2-실로우 부분군은 비아벨군이며 위수 2의 부분군을 단 하나만 가지므로, 이 2-실로우 부분군은 반드시 일반화된 사원수군이어야 한다. ''p''가 소수이고 ''pr''이 ''F''의 크기라고 하면, SL2(''F'')의 2-실로우 부분군의 크기는 2''n''이다.

브라우어-스즈키 정리는 실로우 2-부분군이 일반화된 사원수인 군은 단순군이 될 수 없음을 보여준다.

"일반화된 사원수군"이라는 이름은 2의 거듭제곱 위수를 갖는 이중 순환군을 위해 사용되기도 하는데,[14] 이는 다음과 같은 표현을 갖는다.

:\langle x,y \mid x^{2^m} = y^4 = 1, x^{2^{m-1}} = y^2, y^{-1}xy = x^{-1}\rangle.

7. 응용

사원수군은 갈루아 이론과 관련이 있다. 리하르트 데데킨트는 체 \mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]을 연구하면서 사원수군과 갈루아 이론을 연결하려 했다.[6] 에른스트 비트는 1936년에 갈루아 이론을 통해 사원수군에 접근하는 방법을 발표했다.[7] 1981년 리처드 딘은 사원수군이 갈루아 군 Gal(T/'''Q''')으로 실현될 수 있음을 보였다. 여기서 '''Q'''는 유리수의 체이고, T는 다항식 x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36의 분해체이다. 이러한 발전은 '''Q'''와 T 사이의 네 개의 중간 체와 그들의 갈루아 군을 명시하는 갈루아 이론의 기본 정리와 체 위에서의 4차 순환 확대에 대한 두 개의 정리를 사용한다.[8]

7. 1. 갈루아 군(Galois Group)

리하르트 데데킨트는 갈루아 이론과 사원수군을 관련시키려 시도하면서 체 \mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]을 연구했다.[6] 1936년 에른스트 비트는 갈루아 이론을 통한 사원수군에 대한 접근 방식을 발표했다.[7]

1981년 리처드 딘은 사원수군이 갈루아 군 Gal(T/'''Q''')으로 실현될 수 있음을 보였다. 여기서 '''Q'''는 유리수의 체이고, T는 다음 다항식의 분해체이다.

:x^8 - 72 x^6 + 180 x^4 - 144 x^2 + 36.

이러한 발전은 '''Q'''와 T 사이의 네 개의 중간 체와 그들의 갈루아 군을 명시하는 갈루아 이론의 기본 정리와 체 위에서의 4차 순환 확대에 대한 두 개의 정리를 사용한다.[8]

참조

[1] 웹사이트 a table http://www.wolframal[...]
[2] 문헌
[3] 서적 https://books.google[...]
[4] 서적 https://books.google[...]
[5] 문헌
[6] 논문 Konstrucktion der Quaternionkörpern
[7] 논문 Konstruktion von galoisschen Körpern...
[8] 학술지 A Rational Polynomial whose Group is the Quaternions
[9] 문헌
[10] 문헌
[11] 문헌
[12] 문헌 Theorem 11.6
[13] 문헌 Theorem 4.3
[14] 서적 Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach Springer
[15] 서적 Algebra https://archive.org/[...] Springer-Verlag


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