삼진환

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1. 개요

삼진환은 3항 연산과 두 개의 상수(0, 1)로 정의되는 대수 구조로, 특정 공리들을 만족한다. 평면 삼진환은 삼진환의 한 유형으로, 사영 평면을 구성하는 데 사용된다. 삼진환은 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)을 정의할 수 있으며, 이 연산들을 통해 유사군, 루프, 그리고 유사군을 구성할 수 있다. 삼진환은 사영 평면의 좌표화에 사용되며, 선형 삼진환, 데카르트 군, 준체, 반체, 그리고 평면 근체와 같은 관련 대수 구조가 존재한다. 1941년 마셜 홀에 의해 처음 소개되었다.

삼진환

평면 삼항환

유형	대수적 구조
분야	기하학, 특히 사영기하학

정의

구성 요소	집합 R 삼항 연산 T: R³ → R
표기	(R, T)
삼항 연산	T: R³ → R

특징

주요 특징	사영 평면의 점과 선의 대수적 표현에 사용됨 사영 평면의 구조 연구에 기여
역할	사영 평면의 데자르그 정리 만족 여부와 관련

예시

예시	체 (대수학) 준체 반체 데자르그 평면
설명	다양한 종류의 사영 평면 구성에 사용

참고

관련 개념	사영 평면, 데자르그 정리
응용	암호학, 코딩 이론

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 삼진환의 공리
3. 성질
4. 관련 대수 구조
5. 역사
6. 렌츠-발로티 분류

2. 정의

삼진환 $(R,\top,0,1)$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* $\top\colon R\times R\times R\to R$ 는 3항 연산이다.
* $0\in R$ 및 $1\in R$ 는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* $0\ne1$
* 임의의 $x,y\in R$ 에 대하여, $\top(x,0,y)=\top(0,x,y)=\top(1,y,0)=\top(y,1,0)=y$
* 임의의 $x,y,x',y'\in X$ 에 대하여, 만약 $x\ne x'$ 라면, $\top(z,x,y)=\top(z,x',y')$ 인 $z\in X$ 가 유일하게 존재한다.
* 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $\top(x,y,w)=z$ 인 $w\in X$ 가 유일하게 존재한다.
* 임의의 $x,y,x',y'$ 에 대하여, 만약 $x\ne x'$ 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 $z,w\in X$ 를 갖는다.
*: $\top(x, z, w) = y$
*: $\top(x', z, w) = y'$

평면 삼진환은 $(R,T)$ 구조로, 여기서 $R$ 은 0과 1이라고 불리는 적어도 두 개의 서로 다른 원소를 포함하는 집합이고, $T\colon R^3\to R \,$ 는 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 매핑이다:
# $T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b \in R$ ;
# $T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a \in R$ ;
# $\forall a,b,c,d \in R, a\neq c$ 에 대해, $T(x,a,b)=T(x,c,d) \,$ 를 만족하는 유일한 $x\in R$ 가 존재한다;
# $\forall a,b,c \in R$ 에 대해, $T(a,b,x)=c \,$ 를 만족하는 유일한 $x \in R$ 가 존재한다; 그리고
# $\forall a,b,c,d \in R, a\neq c$ 에 대해, 방정식 $T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d \,$ 는 유일한 해 $(x,y)\in R^2$ 를 가진다.

$R$ 이 유한할 때, 셋째 및 다섯째 공리는 넷째 공리가 존재할 경우 서로 동등하다.

$T$ 가 여전히 처음 두 공리를 만족하도록 $R^2$ 에서 다른 쌍 (0', 1')을 찾을 수 없다.

2.1. 삼진환의 공리

평면 삼진환은 (R, T) 구조로, 여기서 R은 0과 1이라고 불리는 적어도 두 개의 서로 다른 원소를 포함하는 집합이고, T는 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 삼항 연산이다.

* T(a,0,b)=T(0,a,b)=b, 모든 a, b ∈ R;
* T(1,a,0)=T(a,1,0)=a, 모든 a ∈ R;
* 모든 a, b, c, d ∈ R, a ≠ c에 대해, T(x,a,b) = T(x,c,d)를 만족하는 유일한 x ∈ R가 존재한다;
* 모든 a, b, c ∈ R에 대해, T(a,b,x) = c를 만족하는 유일한 x ∈ R가 존재한다;
* 모든 a, b, c, d ∈ R, a ≠ c에 대해, 방정식 T(a,x,y) = b, T(c,x,y) = d는 유일한 해 (x,y) ∈ R²를 가진다.

R이 유한할 때, 셋째 및 다섯째 공리는 넷째 공리가 존재할 경우 서로 동등하다.

T가 여전히 처음 두 공리를 만족하도록 R²에서 다른 쌍 (0', 1')을 찾을 수 없다.

3. 성질

"이항 연산"은 반드시 결합적이지 않다. 이를 강조하기 위해 연산자는 둥근 괄호로 표시한다(즉, 아래는 직합이나 텐서 곱 등이 아니다).

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의할 수 있다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$
: $x\otimes y=\top(x,y,0)$

여기서 $(R,\oplus,0)$ 은 항등원 0을 갖는 유사군이며, $(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군이다.

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$

구조 $(R,\oplus)$ 는 항등원 0을 갖는 루프이다.

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
: $x\otimes y=\top(x,y,0)$
즉, 곱셈은 삼항 연산에서 세 번째 항을 0으로 고정하여 정의한다.
$(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군을 이룬다.
집합 $R_{0} = R \setminus \{0\} \,$ 는 이 곱셈에 대해 닫혀 있다. 구조 $(R_{0},\otimes)$ 는 항등원 1을 갖는 루프이다.
: $a\otimes b=T(a,b,0)$ .

나눗셈환 $(K,+,0,\cdot,1)$ 가 주어졌을 때, 삼항 연산 $\top(x,y,z)=xy+z$ 를 정의하면 삼진환을 이룬다. 평면 삼진환 $(R,T)$ 에서 모든 $a,b,c \in R$ 에 대해 $T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c$ 로 표현될 수 있다면, 이 삼진환을 "선형"이라고 한다. 예를 들어, 준체(quasifield)에 연관된 평면 삼진환은 선형이다.

3.1. 특별한 이항 연산

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의할 수 있다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$
: $x\otimes y=\top(x,y,0)$

여기서 $(R,\oplus,0)$ 은 항등원 0을 갖는 유사군이며, $(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군이다.

3.1.1. 덧셈

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$

구조 $(R,\oplus)$ 는 항등원 0을 갖는 루프이다.

3.1.2. 곱셈

wikitext
삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
: $x\otimes y=\top(x,y,0)$
즉, 곱셈은 삼항 연산에서 세 번째 항을 0으로 고정하여 정의한다.
$(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군을 이룬다.
집합 $R_{0} = R \setminus \{0\} \,$ 는 이 곱셈에 대해 닫혀 있다. 구조 $(R_{0},\otimes)$ 는 항등원 1을 갖는 루프이다.
: $a\otimes b=T(a,b,0)$ .

3.2. 선형 삼진환

나눗셈환 $(K,+,0,\cdot,1)$ 가 주어졌을 때, 삼항 연산 $\top(x,y,z)=xy+z$ 를 정의하면 삼진환을 이룬다. 평면 삼진환 $(R,T)$ 에서 모든 $a,b,c \in R$ 에 대해 $T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c$ 로 표현될 수 있다면, 이 삼진환을 "선형"이라고 한다. 예를 들어, 준체(quasifield)에 연관된 평면 삼진환은 선형이다.

3.3. 삼진환에 대응하는 사영 평면

모든 삼진환은 사영 평면을 정의하며, 역으로 모든 사영 평면은 삼진환으로 좌표화될 수 있다.

== 사영 평면 구성 ==
삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면 $(X,L,\vartriangleleft)$ 을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

: $X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}$

이 사이의 인접 관계
: $\vartriangleleft \subseteq X\times L$ 는 다음과 같다.

: $(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b$
: $(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c$
: $(a,b)\not\vartriangleleft ()$
: $() \not\vartriangleleft (c, d)$
: $(a) \not\vartriangleleft (c)$
: $(a) \vartriangleleft ()$
: $() \vartriangleleft (c)$
: $() \vartriangleleft ()$

또한,

: $(0,0), (1,1), (), (0) \in X$ 은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요충분조건이 알려져 있다.

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 P와 선 집합 L을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다: (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.

*

P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}

, 및
*

L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}

.

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a,b),[\infty])\notin I

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a), [c])\notin I

((a),[\infty])\in I

((\infty),[c,d])\notin I

((\infty),[a])\in I

((\infty),[\infty])\in I

적절한 평면 삼항환에서 시작하여 모든 사영 평면은 이 방식으로 구성될 수 있다. 그러나 두 개의 비동형 평면 삼항환은 동형 사영 평면의 구성을 초래할 수 있다.

== 사영 평면의 좌표화 ==
반대로, 임의의 사영 평면 π가 주어지면, 같은 선 위에 있지 않은 네 점, 즉 o, e, u, v를 선택하여, 이 특수 점에 다음과 같은 좌표를 부여하도록 π에 좌표를 도입할 수 있다: o = (0,0), e = (1,1), v = (

\infty

) 및 u = (0). 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

제외)에 대해 다음과 같이 정의된다. 점 (x,y)가 (a)와 (0,b)를 연결하는 선 위에 있는 경우에만 y = T(x,a,b)이다. 사영 평면을 정의하는 공리는 이것이 평면 삼항환을 제공함을 보여주는 데 사용된다.

3.3.1. 사영 평면 구성

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면 $(X,L,\vartriangleleft)$ 을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

: $X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}$

이 사이의 인접 관계
: $\vartriangleleft \subseteq X\times L$ 는 다음과 같다.

: $(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b$
: $(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c$
: $(a,b)\not\vartriangleleft ()$
: $() \not\vartriangleleft (c, d)$
: $(a) \not\vartriangleleft (c)$
: $(a) \vartriangleleft ()$
: $() \vartriangleleft (c)$
: $() \vartriangleleft ()$

또한,

: $(0,0), (1,1), (), (0) \in X$ 은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요충분조건이 알려져 있다.

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 P와 선 집합 L을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다: (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.

*

P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}

, 및
*

L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}

.

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a,b),[\infty])\notin I

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a), [c])\notin I

((a),[\infty])\in I

((\infty),[c,d])\notin I

((\infty),[a])\in I

((\infty),[\infty])\in I

적절한 평면 삼항환에서 시작하여 모든 사영 평면은 이 방식으로 구성될 수 있다. 그러나 두 개의 비동형 평면 삼항환은 동형 사영 평면의 구성을 초래할 수 있다.

반대로, 임의의 사영 평면 π가 주어지면, 같은 선 위에 있지 않은 네 점, 즉 o, e, u, v를 선택하여, 이 특수 점에 다음과 같은 좌표를 부여하도록 π에 좌표를 도입할 수 있다: o = (0,0), e = (1,1), v = (

\infty

) 및 u = (0). 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

3.3.2. 사영 평면의 좌표화

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면 $(X,L,\vartriangleleft)$ 을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

: $X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}$

이 사이의 인접 관계
: $\vartriangleleft \subseteq X\times L$
는 다음과 같다.

: $(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b$
: $(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c$
: $(a,b)\not\vartriangleleft ()$
: $() \not\vartriangleleft (c, d)$
: $(a) \not\vartriangleleft (c)$
: $(a) \vartriangleleft ()$
: $() \vartriangleleft (c)$
: $() \vartriangleleft ()$

또한,

: $(0,0), (1,1), (), (0) \in X$
은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 P와 선 집합 L을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다: (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.
*

P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}

, 및
*

L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}

.

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a,b),[\infty])\notin I

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

((a), [c])\notin I

((a),[\infty])\in I

((\infty),[c,d])\notin I

((\infty),[a])\in I

((\infty),[\infty])\in I

\infty

) 및 u = (0). 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

4. 관련 대수 구조

덧셈 루프가 결합적(따라서 군)인 선형 PTR은 데카르트 군이라고 한다. 데카르트 군에서 다음과 같은 사상

: $x \longrightarrow -x \otimes a + x \otimes b$ , 및
: $x \longrightarrow a \otimes x - b \otimes x$

는 $a \neq b$ 일 때 순열이어야 한다. 데카르트 군은 덧셈에 대해 군을 이루므로 덧셈 연산에는 간단히 "+"를 사용한다.

준체는 우분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.
: $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$ .
준체에서의 덧셈은 교환적이다.

반체는 좌분배 법칙도 만족하는 준체이다.
: $x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z.$

평면 근체는 곱셈 루프가 결합적인 준체(따라서 군)이다. 모든 근체가 평면 근체는 아니다.

4.1. 데카르트 군

덧셈이 결합적인 선형 삼진환은 데카르트 군이라고 한다. 데카르트 군에서 다음과 같은 사상

: $x \longrightarrow -x \otimes a + x \otimes b$ , 및
: $x \longrightarrow a \otimes x - b \otimes x$

는 $a \neq b$ 일 때 순열이어야 한다. 데카르트 군은 덧셈에 대해 군을 이루므로 덧셈 연산에는 간단히 "+"를 사용한다.

준체는 우분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.

: $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$ .

준체에서의 덧셈은 교환적이다.

반체는 좌분배 법칙도 만족하는 준체이다.

: $x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z.$

4.2. 준체 (Quasifield)

준체는 우분배 법칙
: $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$
을 만족하는 데카르트 군이다. 임의의 준체에서 덧셈은 가환이다.

4.3. 반체 (Semifield)

준체는 우분배 법칙
: $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$
을 만족하는 데카르트 군이다. 임의의 준체에서 덧셈은 가환이다.

반체는 좌분배 법칙
: $x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z$
도 만족하는 준체이다. 즉, 반체는 양측 분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.

4.4. 평면 근체 (Planar Near-field)

평면 근체는 곱셈 루프가 결합적인 준체(따라서 군)이다. 모든 근체가 평면 근체는 아니다.

5. 역사

1941년에 마셜 홀(Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(ternary ring)이라는 용어를 도입하였다. 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, ternary field^영어) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, planar ternary ring^영어) 등으로 불린다.

삼진환

1. 개요

2. 정의

2.1. 삼진환의 공리

3. 성질

3.1. 특별한 이항 연산

3.1.1. 덧셈

3.1.2. 곱셈

3.2. 선형 삼진환

3.3. 삼진환에 대응하는 사영 평면

3.3.1. 사영 평면 구성

3.3.2. 사영 평면의 좌표화

4. 관련 대수 구조

4.1. 데카르트 군

4.2. 준체 (Quasifield)

4.3. 반체 (Semifield)

4.4. 평면 근체 (Planar Near-field)

5. 역사

6. 렌츠-발로티 분류