삼진환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 삼진환의 공리
3. 성질
4. 관련 대수 구조
5. 역사
6. 렌츠-발로티 분류
참조

1. 개요

삼진환은 3항 연산과 두 개의 상수(0, 1)로 정의되는 대수 구조로, 특정 공리들을 만족한다. 평면 삼진환은 삼진환의 한 유형으로, 사영 평면을 구성하는 데 사용된다. 삼진환은 두 개의 이항 연산(덧셈과 곱셈)을 정의할 수 있으며, 이 연산들을 통해 유사군, 루프, 그리고 유사군을 구성할 수 있다. 삼진환은 사영 평면의 좌표화에 사용되며, 선형 삼진환, 데카르트 군, 준체, 반체, 그리고 평면 근체와 같은 관련 대수 구조가 존재한다. 1941년 마셜 홀에 의해 처음 소개되었다.

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삼진환
평면 삼항환
유형	대수적 구조
분야	기하학, 특히 사영기하학
정의
구성 요소	집합 R 삼항 연산 T: R³ → R
표기	(R, T)
삼항 연산	T: R³ → R
특징
주요 특징	사영 평면의 점과 선의 대수적 표현에 사용됨 사영 평면의 구조 연구에 기여
역할	사영 평면의 데자르그 정리 만족 여부와 관련
예시
예시	체 (대수학) 준체 반체 데자르그 평면
설명	다양한 종류의 사영 평면 구성에 사용
참고
관련 개념	사영 평면, 데자르그 정리
응용	암호학, 코딩 이론

2. 정의

삼진환 $(R,\top,0,1)$ 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$\top\colon R\times R\times R\to R$ 는 3항 연산이다.
$0\in R$ 및 $1\in R$ 는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

$0\ne1$
임의의 $x,y\in R$ 에 대하여, $\top(x,0,y)=\top(0,x,y)=\top(1,y,0)=\top(y,1,0)=y$
임의의 $x,y,x',y'\in X$ 에 대하여, 만약 $x\ne x'$ 라면, $\top(z,x,y)=\top(z,x',y')$ 인 $z\in X$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 $x,y,z\in X$ 에 대하여, $\top(x,y,w)=z$ 인 $w\in X$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 $x,y,x',y'$ 에 대하여, 만약 $x\ne x'$ 라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 $z,w\in X$ 를 갖는다.
: $\top(x, z, w) = y$
: $\top(x', z, w) = y'$

'''평면 삼진환'''은

(R,T)

구조로, 여기서

R

은 0과 1이라고 불리는 적어도 두 개의 서로 다른 원소를 포함하는 집합이고,

T\colon R^3\to R \,

는 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 매핑이다:^[2]

#

T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad \forall a,b \in R

;

#

T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad \forall a \in R

;

#

\forall a,b,c,d \in R, a\neq c

에 대해,

T(x,a,b)=T(x,c,d) \,

를 만족하는 유일한

x\in R

가 존재한다;

#

\forall a,b,c \in R

에 대해,

T(a,b,x)=c \,

를 만족하는 유일한

x \in R

가 존재한다; 그리고

#

\forall a,b,c,d \in R, a\neq c

에 대해, 방정식

T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d \,

는 유일한 해

(x,y)\in R^2

를 가진다.

R

이 유한할 때, 셋째 및 다섯째 공리는 넷째 공리가 존재할 경우 서로 동등하다.^[3]

T

가 여전히 처음 두 공리를 만족하도록

R^2

에서 다른 쌍 (0', 1')을 찾을 수 없다.

2. 1. 삼진환의 공리

'''평면 삼진환'''은 (R, T) 구조로, 여기서 R은 0과 1이라고 불리는 적어도 두 개의 서로 다른 원소를 포함하는 집합이고, T는 다음 다섯 가지 공리를 만족하는 삼항 연산이다.^[2]

T(a,0,b)=T(0,a,b)=b, 모든 a, b ∈ R;
T(1,a,0)=T(a,1,0)=a, 모든 a ∈ R;
모든 a, b, c, d ∈ R, a ≠ c에 대해, T(x,a,b) = T(x,c,d)를 만족하는 유일한 x ∈ R가 존재한다;
모든 a, b, c ∈ R에 대해, T(a,b,x) = c를 만족하는 유일한 x ∈ R가 존재한다;
모든 a, b, c, d ∈ R, a ≠ c에 대해, 방정식 T(a,x,y) = b, T(c,x,y) = d는 유일한 해 (x,y) ∈ R²를 가진다.

R이 유한할 때, 셋째 및 다섯째 공리는 넷째 공리가 존재할 경우 서로 동등하다.^[3]

T가 여전히 처음 두 공리를 만족하도록 R²에서 다른 쌍 (0', 1')을 찾을 수 없다.

3. 성질

"이항 연산"은 반드시 결합적이지 않다. 이를 강조하기 위해 연산자는 둥근 괄호로 표시한다(즉, 아래는 직합이나 텐서 곱 등이 아니다).

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의할 수 있다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$

: $x\otimes y=\top(x,y,0)$

여기서 $(R,\oplus,0)$ 은 항등원 0을 갖는 유사군이며, $(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군이다.

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

: $x\oplus y=\top(x,1,y)$

구조 $(R,\oplus)$ 는 항등원 0을 갖는 루프이다.^[4]

삼진환 $(R,\top)$ 이 주어졌을 때, 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

: $x\otimes y=\top(x,y,0)$

즉, 곱셈은 삼항 연산에서 세 번째 항을 0으로 고정하여 정의한다.

$(R,\otimes,1)$ 은 항등원 1을 갖는 유사군을 이룬다.

집합 $R_{0} = R \setminus \{0\} \,$ 는 이 곱셈에 대해 닫혀 있다. 구조 $(R_{0},\otimes)$ 는 항등원 1을 갖는 루프이다.

: $a\otimes b=T(a,b,0)$ .

나눗셈환 $(K,+,0,\cdot,1)$ 가 주어졌을 때, 삼항 연산 $\top(x,y,z)=xy+z$ 를 정의하면 삼진환을 이룬다.^[9] 평면 삼진환 $(R,T)$ 에서 모든 $a,b,c \in R$ 에 대해 $T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c$ 로 표현될 수 있다면, 이 삼진환을 "선형"이라고 한다.^[9] 예를 들어, 준체(quasifield)에 연관된 평면 삼진환은 선형이다.^[9]

3. 1. 특별한 이항 연산

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의할 수 있다.

:

x\oplus y=\top(x,1,y)

:

x\otimes y=\top(x,y,0)

여기서

(R,\oplus,0)

은 항등원 0을 갖는 유사군이며,

(R,\otimes,1)

은 항등원 1을 갖는 유사군이다.

3. 1. 1. 덧셈

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

:

x\oplus y=\top(x,1,y)

구조

(R,\oplus)

는 항등원 0을 갖는 루프이다.^[4]

3. 1. 2. 곱셈

wikitext

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

x\otimes y=\top(x,y,0)

즉, 곱셈은 삼항 연산에서 세 번째 항을 0으로 고정하여 정의한다.

(R,\otimes,1)

은 항등원 1을 갖는 유사군을 이룬다.

집합

R_{0} = R \setminus \{0\} \,

는 이 곱셈에 대해 닫혀 있다. 구조

(R_{0},\otimes)

는 항등원 1을 갖는 루프이다.

:

a\otimes b=T(a,b,0)

.

3. 2. 선형 삼진환

나눗셈환

(K,+,0,\cdot,1)

가 주어졌을 때, 삼항 연산

\top(x,y,z)=xy+z

를 정의하면 삼진환을 이룬다.^[9] 평면 삼진환

(R,T)

에서 모든

a,b,c \in R

에 대해

T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c

로 표현될 수 있다면, 이 삼진환을 "선형"이라고 한다.^[9] 예를 들어, 준체(quasifield)에 연관된 평면 삼진환은 선형이다.^[9]

3. 3. 삼진환에 대응하는 사영 평면

모든 삼진환은 사영 평면을 정의하며, 역으로 모든 사영 평면은 삼진환으로 좌표화될 수 있다.

== 사영 평면 구성 ==

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면

(X,L,\vartriangleleft)

을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

:

X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}

이 사이의 인접 관계

:

\vartriangleleft \subseteq X\times L

는 다음과 같다.

:

(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b

:

(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c

:

(a,b)\not\vartriangleleft ()

:

() \not\vartriangleleft (c, d)

:

(a) \not\vartriangleleft (c)

:

(a) \vartriangleleft ()

:

() \vartriangleleft (c)

:

() \vartriangleleft ()

또한,

:

(0,0), (1,1), (), (0) \in X

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요충분조건이 알려져 있다.^[16]

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 ''P''와 선 집합 ''L''을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다:^[5]^[6] (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.

$P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}$ , 및
$L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}$ .

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

:

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a,b),[\infty])\notin I

:

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a), [c])\notin I

:

((a),[\infty])\in I

:

((\infty),[c,d])\notin I

:

((\infty),[a])\in I

:

((\infty),[\infty])\in I

적절한 평면 삼항환에서 시작하여 모든 사영 평면은 이 방식으로 구성될 수 있다. 그러나 두 개의 비동형 평면 삼항환은 동형 사영 평면의 구성을 초래할 수 있다.

== 사영 평면의 좌표화 ==

반대로, 임의의 사영 평면 π가 주어지면, 같은 선 위에 있지 않은 네 점, 즉 ''o'', ''e'', ''u'', ''v''를 선택하여, 이 특수 점에 다음과 같은 좌표를 부여하도록 π에 좌표를 도입할 수 있다: ''o'' = (0,0), ''e'' = (1,1), ''v'' = (

\infty

) 및 ''u'' = (0).^[7] 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

제외)에 대해 다음과 같이 정의된다. 점 (''x'',''y'')가 (''a'')와 (0,''b'')를 연결하는 선 위에 있는 경우에만 ''y'' = T(''x'',''a'',''b'')이다. 사영 평면을 정의하는 공리는 이것이 평면 삼항환을 제공함을 보여주는 데 사용된다.

3. 3. 1. 사영 평면 구성

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면

(X,L,\vartriangleleft)

을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

:

X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}

이 사이의 인접 관계

:

\vartriangleleft \subseteq X\times L

는 다음과 같다.

:

(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b

:

(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c

:

(a,b)\not\vartriangleleft ()

:

() \not\vartriangleleft (c, d)

:

(a) \not\vartriangleleft (c)

:

(a) \vartriangleleft ()

:

() \vartriangleleft (c)

:

() \vartriangleleft ()

또한,

:

(0,0), (1,1), (), (0) \in X

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요충분조건이 알려져 있다.^[16]

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 ''P''와 선 집합 ''L''을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다:^[5]^[6] (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.

$P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}$ , 및
$L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}$ .

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

:

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a,b),[\infty])\notin I

:

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a), [c])\notin I

:

((a),[\infty])\in I

:

((\infty),[c,d])\notin I

:

((\infty),[a])\in I

:

((\infty),[\infty])\in I

적절한 평면 삼항환에서 시작하여 모든 사영 평면은 이 방식으로 구성될 수 있다. 그러나 두 개의 비동형 평면 삼항환은 동형 사영 평면의 구성을 초래할 수 있다.

반대로, 임의의 사영 평면 π가 주어지면, 같은 선 위에 있지 않은 네 점, 즉 ''o'', ''e'', ''u'', ''v''를 선택하여, 이 특수 점에 다음과 같은 좌표를 부여하도록 π에 좌표를 도입할 수 있다: ''o'' = (0,0), ''e'' = (1,1), ''v'' = (

\infty

) 및 ''u'' = (0).^[7] 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

제외)에 대해 다음과 같이 정의된다. 점 (''x'',''y'')가 (''a'')와 (0,''b'')를 연결하는 선 위에 있는 경우에만 ''y'' = T(''x'',''a'',''b'')이다. 사영 평면을 정의하는 공리는 이것이 평면 삼항환을 제공함을 보여주는 데 사용된다.

3. 3. 2. 사영 평면의 좌표화

삼진환

(R,\top)

이 주어졌을 때, 이에 대응하는 사영 평면

(X,L,\vartriangleleft)

을 구성할 수 있다. 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.

:

X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}

이 사이의 인접 관계

:

\vartriangleleft \subseteq X\times L

는 다음과 같다.

:

(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b

:

(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c

:

(a,b)\not\vartriangleleft ()

:

() \not\vartriangleleft (c, d)

:

(a) \not\vartriangleleft (c)

:

(a) \vartriangleleft ()

:

() \vartriangleleft (c)

:

() \vartriangleleft ()

또한,

:

(0,0), (1,1), (), (0) \in X

은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 필요 충분 조건이 알려져 있다.^[16]

평면 삼항환

(R,T)

가 주어지면 다음과 같이 점 집합 ''P''와 선 집합 ''L''을 사용하여 사영 평면을 구성할 수 있다:^[5]^[6] (참고로,

\infty

는

R

에 없는 추가 기호이다.)

다음과 같이 정의한다.

$P=\{(a,b)|a,b\in R\}\cup \{(a)|a \in R \}\cup \{(\infty)\}$ , 및
$L=\{[a,b]|a,b \in R\}\cup\{[a]|a \in R \}\cup \{[\infty]\}$ .

그런 다음,

\forall a,b,c,d \in R

에 대해 다음과 같이 사건 관계

I

를 정의한다.

:

((a,b),[c,d])\in I \Longleftrightarrow T(a,c,d)=b

:

((a,b),[c])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a,b),[\infty])\notin I

:

((a), [c,d])\in I \Longleftrightarrow a=c

:

((a), [c])\notin I

:

((a),[\infty])\in I

:

((\infty),[c,d])\notin I

:

((\infty),[a])\in I

:

((\infty),[\infty])\in I

적절한 평면 삼항환에서 시작하여 모든 사영 평면은 이 방식으로 구성될 수 있다. 그러나 두 개의 비동형 평면 삼항환은 동형 사영 평면의 구성을 초래할 수 있다.

반대로, 임의의 사영 평면 π가 주어지면, 같은 선 위에 있지 않은 네 점, 즉 ''o'', ''e'', ''u'', ''v''를 선택하여, 이 특수 점에 다음과 같은 좌표를 부여하도록 π에 좌표를 도입할 수 있다: ''o'' = (0,0), ''e'' = (1,1), ''v'' = (

\infty

) 및 ''u'' = (0).^[7] 이제 삼항 연산은 좌표 기호(

\infty

제외)에 대해 다음과 같이 정의된다. 점 (''x'',''y'')가 (''a'')와 (0,''b'')를 연결하는 선 위에 있는 경우에만 ''y'' = T(''x'',''a'',''b'')이다. 사영 평면을 정의하는 공리는 이것이 평면 삼항환을 제공함을 보여주는 데 사용된다.

4. 관련 대수 구조

덧셈 루프가 결합적(따라서 군)인 선형 PTR은 '''데카르트 군'''이라고 한다. 데카르트 군에서 다음과 같은 사상

: $x \longrightarrow -x \otimes a + x \otimes b$ , 및

: $x \longrightarrow a \otimes x - b \otimes x$

는 $a \neq b$ 일 때 순열이어야 한다. 데카르트 군은 덧셈에 대해 군을 이루므로 덧셈 연산에는 간단히 "+"를 사용한다.

준체는 우분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.

: $(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z$ .

준체에서의 덧셈은 교환적이다.

반체는 좌분배 법칙도 만족하는 준체이다.

: $x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z.$

'''평면 근체'''는 곱셈 루프가 결합적인 준체(따라서 군)이다. 모든 근체가 평면 근체는 아니다.

4. 1. 데카르트 군

덧셈이 결합적인 선형 삼진환은 '''데카르트 군'''이라고 한다. 데카르트 군에서 다음과 같은 사상

:

x \longrightarrow -x \otimes a + x \otimes b

, 및

:

x \longrightarrow a \otimes x - b \otimes x

는

a \neq b

일 때 순열이어야 한다. 데카르트 군은 덧셈에 대해 군을 이루므로 덧셈 연산에는 간단히 "+"를 사용한다.

준체는 우분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.

:

(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z

.

준체에서의 덧셈은 교환적이다.

반체는 좌분배 법칙도 만족하는 준체이다.

:

x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z.

4. 2. 준체 (Quasifield)

준체는 우분배 법칙

:

(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z

을 만족하는 데카르트 군이다. 임의의 준체에서 덧셈은 가환이다.

4. 3. 반체 (Semifield)

준체는 우분배 법칙

:

(x+y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z

을 만족하는 데카르트 군이다. 임의의 준체에서 덧셈은 가환이다.

반체는 좌분배 법칙

:

x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z

도 만족하는 준체이다. 즉, 반체는 양측 분배 법칙을 만족하는 데카르트 군이다.

4. 4. 평면 근체 (Planar Near-field)

평면 근체는 곱셈 루프가 결합적인 준체(따라서 군)이다. 모든 근체가 평면 근체는 아니다.

5. 역사

1941년에 마셜 홀(Marshall Hall)이 사영 평면을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”(ternary ring)이라는 용어를 도입하였다.^[17] 이름과 달리, 삼진환은 환이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, ternary field^영어) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, planar ternary ring^영어) 등으로 불린다.

6. 렌츠-발로티 분류

참조

_[1] 참고문헌 1943
_[2] 참고문헌 1973
_[3] 참고문헌 1973
_[4] 참고문헌 1959
_[4] 참고문헌 1968
_[4] 참고문헌 1968
_[4] 참고문헌 1973
_[4] 참고문헌 1975
_[4] 참고문헌 1972
_[5] 논문 Recent Advances in the Foundations of Euclidean Plane Geometry The American Mathematical Monthly 1955
_[6] 참고문헌 1943
_[7] 참고문헌 1943
_[7] 참고문헌 1968
_[8] 참고문헌 1968
_[9] PlanetMath Veblen-Wedderburn system
_[10] 학술지 On ''d''-dual hyperovals in ''PG''(2''d'',2) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2008-04
_[11] 학술지 有限単純群の分類 https://doi.org/10.1[...] 日本数学会 1982
_[12] 논문 Recent Advances in the Foundations of Euclidean Plane Geometry 1955
_[13] 웹사이트 Lenz types http://www.math.uni-[...] Universität Kiel 2011-01-17
_[14] 문서 Prieß-Crampe V.5: Lenz-Barlotti-Klassifizierung angeordneter projektiver Ebenen
_[15] 웹사이트 Lenz Barlotti http://www.math.uni-[...] Universität Kiel 2011-12-25
_[16] 저널 A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes 2004-09
_[17] 저널 Projective planes 1943

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