맨위로가기

사영기하학

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

사영 기하학은 유클리드 기하학보다 덜 제한적인 기하학으로, 원근법 미술의 원리를 수학적으로 공식화한 것이다. 역사적으로는 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 17세기 데자르그, 파스칼 등의 연구를 거쳐 19세기에 퐁슬레, 슈타이너 등에 의해 체계화되었다. 사영 기하학은 사건 구조와 사영 변환을 보존하며, 평행선이 무한대에서 만난다는 개념을 포함한다. 사영 기하학은 대수 기하학의 발전에 기여했으며, 쌍대성, 파노 평면, 데자르그 정리 등의 주요 특징을 갖는다. 응용 분야로는 양자 역학, 컴퓨터 그래픽스 등이 있으며, 공리적 체계를 통해 정의된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 사영기하학 - 무한원점
    무한원점은 사영평면에서 z=0인 동차좌표로 표현되는 점들의 집합으로 무한원직선을 구성하며, 유클리드 기하학에는 없지만 사영기하학 등에서 평행선의 교점으로 정의되고 투영기하학에서 소실점과 관련되어 응용되지만 교육적 어려움을 야기한다는 비판도 있다.
  • 사영기하학 - 동차좌표
    동차좌표는 (n+1)개의 수로 이루어진 순서쌍 집합에서 0이 아닌 원소를 제외하고 동치관계를 정의하여 얻는 n차원 사영 공간의 좌표이며, 데카르트 좌표와 달리 단일 점을 무한히 많은 좌표로 표현하고 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 비전 등에 응용된다.
  • 수학 - 회귀 분석
    회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
  • 수학 - 수학적 최적화
    수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
사영기하학
개요
분야기하학
유형기하학의 한 분야
역사
기원르네상스 시대의 미술 원근법
발전19세기
특징
연구 대상사영 변환에 불변하는 기하학적 성질
무한원점
주요 개념사영 공간
쌍대성
데자르그 정리
응용
활용 분야컴퓨터 비전
그래픽스
기하학적 모델링
구조 디자인

2. 역사

사영 기하학의 기원은 고대 알렉산드리아의 파푸스가 기원전 3세기경 발견한 기하학적 성질까지 거슬러 올라가지만,[6] 본격적인 발전은 르네상스 시대 예술가들의 원근법 연구와 함께 시작되었다. 필리포 브루넬레스키는 1425년경 원근법의 기하학적 원리를 탐구하며 중요한 기초를 마련했다.[13]

17세기에는 요하네스 케플러와 제라르 데자르그가 독립적으로 "무한원점" 개념을 도입하여 사영 기하학의 핵심 아이디어를 제시했다.[14] 특히 데자르그는 소실점 개념을 무한히 먼 지점까지 확장하고, 평행선들이 무한원점에서 만난다고 가정함으로써 유클리드 기하학을 더 포괄적인 체계의 일부로 간주할 수 있게 했다. 그의 원뿔 곡선 연구는 블레즈 파스칼의 파스칼의 정리 발견에 영향을 주었다.

19세기 초, 장 빅토르 퐁슬레, 라자르 카르노 등의 연구를 통해 사영 기하학은 수학의 독립적인 분야로 자리 잡았다. 카를 폰 슈타우트가 엄밀한 기초를 다졌고, 이후 주세페 페아노를 비롯한 이탈리아 학자들이 이를 완성했다. 펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램에서 사영 기하학을 사영군 변환 하의 불변량 연구로 특징지었다. 이 시기에는 쌍대성 원리(조제프 제르곤, 퐁슬레), 동차 좌표, 교차비와 같은 핵심 개념들이 정립되었다.

사영 기하학은 해석 기하학 및 대수 기하학 발전에도 기여했다. 율리우스 플뤼커는 동차 좌표를 사용하여 직선 기하학을 연구했으며, 이는 대수 기하학의 초기 예시가 되었다. 또한, 사영 기하학은 비유클리드 기하학, 특히 쌍곡 기하학의 모델(클라인 모델, 푸앵카레 원반 모델 등)을 제공하고 이해하는 데 중요한 역할을 했다.[1] 한편, 퐁슬레와 야코프 슈타이너 등은 좌표계에 의존하지 않는 합성적 접근 방식을 발전시키기도 했다.

19세기 후반에는 대수 곡선 연구(클레프슈, 베른하르트 리만, 막스 뇌터)와 불변량 이론이 발전했으며, 이탈리아 대수 기하학 학파는 사영 기하학을 더욱 심화시켰다. 헤르만 슈베르트는 열거 기하학 분야에서 중요한 연구를 수행했는데, 이는 훗날 천 특성 이론의 선구가 되었다.

20세기에는 물리학자 폴 디랙이 양자역학의 개념을 발전시키는 과정에서 사영 기하학적 통찰력을 활용한 것으로 알려져 있다.[2]

2. 1. 고대와 중세

사영적인 현상의 기하학적 성질이 처음 발견된 것은 기원전 3세기경 알렉산드리아의 파푸스에 의해서이다.[6] 이후 르네상스 시대인 1425년경 필리포 브루넬레스키(1404–1472)가 원근법의 기하학을 연구하기 시작했다.[13]

17세기 초에는 요하네스 케플러(1571–1630)와 제라르 데자르그(1591–1661)가 각각 독립적으로 중요한 개념인 "무한원점"을 고안했다.[14] 특히 데자르그는 소실점의 사용을 무한히 먼 경우까지 포함하도록 일반화하여 원근 그림을 그리는 대안적인 방법을 제시했다. 이를 통해 그는 평행선이 실제로 평행하게 존재하는 유클리드 기하학을 더 포괄적인 기하학 시스템의 특수한 경우로 만들었다. 또한 데자르그의 원뿔 곡선에 관한 연구는 당시 16세였던 블레즈 파스칼에게 영향을 주어, 그가 파스칼의 정리를 공식화하는 데 기여했다.

2. 2. 르네상스 시대

사영 기하학의 초기 발전은 르네상스 시대 예술가들의 원근법 연구와 밀접한 관련이 있다. 이탈리아의 건축가이자 예술가인 필리포 브루넬레스키(1404–1472)는 1425년경부터 원근법의 기하학적 원리를 탐구하기 시작했다.[13] 이는 사영 기하학 발전의 중요한 계기가 되었다.

이후 요하네스 케플러(1571–1630)와 제라르 데자르그(1591–1661)는 각자 독립적으로 '무한원점'(무한히 먼 점)이라는 혁신적인 개념을 도입했다.[14] 특히 데자르그는 소실점의 개념을 무한히 먼 경우까지 확장하여 원근법을 일반화했다. 그는 이를 통해 평행선들이 무한원점에서 만난다고 가정함으로써, 기존의 유클리드 기하학을 더 포괄적인 기하학 체계의 특수한 경우로 만들었다. 또한 데자르그는 원뿔 곡선에 대한 연구를 진행했으며, 이는 16세의 젊은 블레즈 파스칼에게 영향을 주어 파스칼의 정리를 공식화하는 데 기여했다.

2. 3. 근대

19세기 초, 장 빅토르 퐁슬레, 라자르 카르노 등의 연구를 통해 사영 기하학은 수학의 독립적인 분야로 자리 잡았다. 그 엄밀한 기초는 카를 폰 슈타우트에 의해 다루어졌으며, 19세기 후반 이탈리아 학자 주세페 페아노, 마리오 피에리, 알레산드로 파도아, 지노 파노에 의해 완성되었다. 사영 기하학은 아핀 기하학 및 유클리드 기하학과 마찬가지로 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 다루어졌으며, 사영군의 변환 하에서 변하지 않는 불변량을 연구하는 학문으로 특징지어졌다.

사영 기하학의 기본적인 불변량으로는 사건 구조와 교차비가 있다. 사영 기하학은 아핀 평면이나 아핀 공간에 무한히 먼 곳에 있는 선(또는 초평면)을 추가하고, 이를 다른 선(또는 초평면)과 동일하게 취급함으로써 모델링할 수 있다. 해석 기하학 방식으로 사영 기하학을 다루기 위해 동차 좌표라는 대수적 모델이 사용된다. 반면, 공리적 연구를 통해 비데자르그 평면과 같이 동차 좌표계만으로는 설명할 수 없는 구조(주로 2차원에 한정)가 존재함이 밝혀지기도 했다.

사영 기하학의 초기 아이디어는 고대에도 있었지만, 근대적인 발전은 미술에서의 원근법 연구와 밀접한 관련이 있다. 필리포 브루넬레스키는 1425년경 원근법의 기하학을 연구하기 시작했고,[13] 요하네스 케플러와 제라르 데자르그는 독립적으로 "무한대 점" 개념을 개발했다.[14] 데자르그는 소실점 사용을 무한히 먼 경우까지 확장하여 원근 그림을 그리는 새로운 방법을 제시했으며, 이를 통해 평행선이 실제로 평행한 유클리드 기하학을 더 포괄적인 기하학 시스템의 특수한 경우로 만들었다. 그의 원뿔 곡선 연구는 젊은 블레즈 파스칼에게 영향을 주어 파스칼의 정리를 공식화하는 데 기여했다. 18세기 말과 19세기 초 가스파르 몽주의 작업 역시 사영 기하학 발전에 중요했다. 데자르그의 연구는 오랫동안 잊혔다가 1845년 미셸 찰스가 필사본을 발견하면서 다시 주목받았다.

장 빅토르 퐁슬레는 1822년 사영 기하학에 대한 기초적인 논문을 발표했다. 그는 물체의 사영적 성질(중심 투영 하에서 변하지 않는 성질)을 연구하고, 원에 대한 극과 극선 관계를 바탕으로 이론을 세워 거리적 성질과 사영적 성질 사이의 관계를 확립했다. 이후 발견된 비유클리드 기하학은 쌍곡 공간의 클라인 모델과 같은 모델을 통해 사영 기하학과 관련이 있음이 밝혀졌다.

1855년 A. F. 뫼비우스는 복소 평면에서 일반화된 원에 대한 뫼비우스 변환 연구를 발표했는데, 이는 복소 사영 직선의 사영 변환에 해당한다. 공간상의 선을 연구한 율리우스 플뤼커는 동차 좌표를 사용했으며, 선들의 집합이 클라인 사차 곡면이라는 특정 구조를 이룬다는 것을 보였다. 이는 사영 기하학이 해석 기하학의 한 분야인 대수 기하학 발전에 기여한 초기 사례 중 하나이다.

사영 기하학은 쌍곡 기하학에 대한 로바체프스키와 볼리아이의 추측을 증명하는 데 중요한 역할을 했다.[1] 예를 들어, 푸앵카레 원반 모델에서는 단위 원에 수직인 원호들이 쌍곡 기하학의 직선(측지선)에 해당하며, 이 모델에서의 변환은 단위 원반을 자신에게 매핑하는 뫼비우스 변환으로 설명된다. 점 사이의 거리는 교차비를 이용한 케이리-클라인 거리로 정의되는데, 이는 변환 하에서 불변인 것으로 알려져 있다. 이 변환은 거리 공간 이론에서 등거리 변환으로, 형식적으로는 선형 분수 변환으로, 그리고 이 경우 SU(1, 1)인 사영 선형군의 사영 선형 변환으로 다양하게 설명된다.

퐁슬레, 야코프 슈타이너 등은 해석 기하학을 확장하기보다는 합성적 방법을 선호했다. 즉, 사영 공간을 공리를 통해 정의하는 방식을 택했다. 이로 인해 초기 사영 기하학 연구를 현대적 엄밀함의 기준으로 재구성하는 것은 다소 어려울 수 있다. 사영 평면의 경우만 보더라도, 공리적 접근법은 선형 대수학으로 설명할 수 없는 모델을 만들어낼 수 있다.

19세기 중반 이후, 클레프슈, 베른하르트 리만, 막스 뇌터 등이 일반적인 대수 곡선을 연구하면서 기존의 기하학적 기술이 확장되었고, 이후 불변량 이론이 발전했다. 19세기 말 이탈리아 대수 기하학 학파(페데리고 엔리케스, 코라도 세그레, 프란체스코 세베리 등)는 사영 기하학을 더 깊이 있는 기술을 요구하는 영역으로 발전시켰다.

19세기 후반에는 사영 기하학 자체에 대한 상세한 연구가 다소 줄었지만, 열거 기하학 분야에서 슈베르트 등에 의해 중요한 연구가 이루어졌다. 이는 현재 그라스만 다양체의 대수적 위상을 나타내는 천 특성 이론의 선구적인 작업으로 평가받는다.

폴 디랙은 사영 기하학을 연구하여 양자 역학의 개념을 발전시키는 데 활용했다. 양자 측정의 비가환성(순서에 따라 결과가 달라지는 성질)에 대한 발견은 베르너 하이젠베르크를 당황하게 했지만, 디랙은 비가환환 위의 사영 평면에 대한 과거 연구 경험 덕분에 이를 자연스럽게 받아들일 수 있었을 가능성이 높다. 그는 자신의 방정식을 직관적으로 이해하기 위해 사영 기하학적 그림을 광범위하게 사용했다고 알려져 있다 (비록 발표된 결과는 주로 대수적 형태였지만).[2]

로렌스 에드워즈의 연구에 기반한 성장 측정과 극 소용돌이. 사영 기하학 원리가 자연 현상 분석에 응용될 수 있음을 보여준다.


1825년 조제프 제르곤은 사영 평면 기하학의 중요한 특징인 쌍대성의 원리를 제시했다. 이 원리에 따르면, 어떤 정리나 정의에서 '점'과 '선', '위에 있다'와 '지나간다', '공선점'(한 직선 위의 점들)과 '공점선'(한 점을 지나는 선들) 등을 서로 맞바꾸면 또 다른 유효한 정리나 정의, 즉 원래의 "쌍대"를 얻을 수 있다. 3차원 공간에서는 점과 평면 사이에 유사한 쌍대 관계가 성립한다. 일반적으로 차원이 N인 사영 공간의 경우, 차원이 ''R''인 부분 공간과 차원이 ''N'' − ''R'' − 1인 부분 공간 사이에 쌍대성이 존재한다. ''N'' = 2일 경우, 이는 가장 일반적으로 알려진 쌍대성의 형태, 즉 점과 선 사이의 쌍대성으로 특수화된다. 이 쌍대성 원리는 장-빅토르 퐁슬레에 의해서도 독립적으로 발견되었다.

쌍대성 원리는 두 기하학적 구성 사이에 '쌍대 대응'을 설정하는 데 유용하다. 대표적인 예로 원뿔 곡선 (2차원) 또는 이차 곡면 (3차원)에서 두 도형의 극성 또는 상반성이다. 또한, 브리앙숑 정리는 파스칼의 정리의 쌍대 정리이며, 그 증명 중 하나는 파스칼의 정리에 쌍대성 원리를 적용하는 것으로 간단하게 구성된다. 다음은 이 두 정리의 비교 진술이다 (두 경우 모두 사영 평면의 틀 내에서):

  • '''파스칼의 정리:''' 육각형의 여섯 꼭짓점이 모두 원뿔 곡선 위에 있으면, 마주보는 변들의 교점 세 개는 한 직선 위에 있다. 이 직선을 육각형의 '''파스칼 선'''이라고 한다.
  • '''브리앙숑의 정리:''' 육각형의 여섯 변이 모두 원뿔 곡선에 접하면, 마주보는 꼭짓점을 연결하는 대각선 세 개는 한 점에서 만난다. 이 점을 육각형의 '''브리앙숑 점'''이라고 한다.

2. 4. 현대

19세기의 사영 기하학은 해석 기하학에서 대수 기하학으로 발전하는 중요한 발판이 되었다. 제차 좌표계를 사용하여 사영 기하학을 다루는 방식은, 해석 기하학에서 기하학적 문제를 대수학으로 환원하는 방법을 확장한 것으로 볼 수 있으며, 이를 통해 몇 가지 특별한 경우로 문제를 단순화할 수 있었다. 이차 곡면에 대한 상세한 연구나 율리우스 플뤼커의 "직선의 기하학"은 더 일반적인 기하학적 개념을 연구하는 학자들에게 풍부한 예시를 제공했다.

한편, 장-빅토르 퐁슬레나 슈타이너와 같은 학자들의 연구는 해석 기하학을 확장하는 방향과는 달랐다. 그들은 "종합 기하학"이라는 접근법을 사용했으며, 이 덕분에 사영 공간은 오늘날 공리적으로 도입되는 개념으로 이해되고 있다. 결과적으로 사영 기하학의 초기 연구는 재정립되었고, 현재의 표준적인 방식으로는 엄밀한 이해가 다소 어려울 수 있다. 사영 평면만을 고려하는 경우에도 공리적인 방법으로는 선형대수학을 통해 기술할 수 없는 모델이 존재한다는 결과가 나온다.

기하학에서의 이러한 상황은 크레브슈, 리만, 막스 네터 등이 일반적인 대수 곡선에 관한 연구를 진행하고 불변식론이 등장하면서 변화를 맞이했다. 19세기 말에는 대수 기하학 이탈리아 학파 (엔리케, 세그레, 세베리)가 기존의 사영 기하학적 수법을 넘어서 더 깊은 기법을 요구하는 주제로 심화시켰다.

19세기 후반에는 사영 기하학에 대한 연구가 중심에서는 다소 벗어났지만, 관련 문헌들은 꾸준히 간행되었다. 특히 수치 기하학 분야에서 슈베르트가 중요한 연구를 수행했는데, 이는 오늘날 그라스만 다양체의 위상을 나타내는 천 특성 이론의 선구적인 작업으로 평가받는다.

20세기에 들어서는 폴 디랙이 사영 기하학을 연구하여 양자역학 개념을 발전시키는 기초로 활용하기도 했다. 다만, 디랙은 연구 결과를 발표할 때는 항상 대수적인 형태로 서술했다.

3. 주요 특징

사영 기하학은 유클리드 기하학이나 아핀 기하학보다 더 일반적이며 제약이 적은 기하학이다. 본질적으로 비계량 기하학으로, 거리 개념 없이 점, 선, 면 등의 접속 관계와 같은 기하학적 대상 간의 근본적인 관계에 집중한다.[6]

가장 두드러진 특징 중 하나는 쌍대성의 원리이다. 이는 사영 공간에서 점과 선(또는 더 높은 차원에서는 특정 차원의 부분 공간과 그 쌍대 차원의 부분 공간)의 역할을 서로 바꾸어도 기하학적 명제가 여전히 유효하게 성립한다는 원리이다.

또한, 유클리드 기하학에서의 평행선 개념을 확장하여 모든 직선이 무한대에서 만난다고 가정한다. 이는 각 직선의 '방향'을 나타내는 '무한원점'과 이러한 점들의 집합인 '무한원선'을 도입함으로써 가능해지며, 이를 통해 평행선과 비평행선을 구분하지 않고 모든 직선 쌍이 교점을 갖는 것으로 통일하여 다룰 수 있다. 이러한 접근은 해석 기하학에서 동차 좌표를 사용하여 형식화된다.[9][10]

사영 변환이라는 특별한 종류의 기하학적 변환 아래에서 사건 구조와 교차비와 같은 특정 속성들이 불변량으로 유지된다는 점도 중요한 특징이다.[8] 교차비는 한 직선 위의 네 점 사이의 상대적인 위치 관계를 나타내는 값으로, 사영 변환에 의해 그 값이 보존된다.

데자르그 정리와 파푸스 육각형 정리는 사영 기하학의 중요한 기본 정리이며, 특히 데자르그 정리는 기하학적 구조와 대수적 구조(체) 사이의 연결 고리를 제공한다. 원뿔 곡선 이론 역시 사영 기하학의 틀 안에서 타원, 포물선, 쌍곡선을 무한원선과의 관계를 통해 통일적으로 이해할 수 있게 한다.

사영 기하학은 자만 사용하는 작도에 기반을 둘 수 있으며,[5] 컴퍼스를 필요로 하지 않기 때문에 원이나 각도와 같은 거리 기반 개념이 본질적이지 않다.[6] 이러한 일반성과 단순성 덕분에 사영 기하학은 아핀 기하학이나 유클리드 기하학의 기초를 제공하며,[11][12] 이들 기하학의 정리들을 더 명료하고 포괄적인 관점에서 이해하도록 돕는다.

3. 1. 기본 개념

사영 기하학은 기본적인 비계량 기하학의 한 형태로, 거리 개념을 지원하지 않는다. 2차원에서는 점과 선의 배치에 대한 연구로 시작하며, 이러한 제한적인 환경에서도 데자르그 등이 원근법 원리를 탐구하면서 기하학적 의미를 발견했다.[4] 사영 기하학은 자만 사용하는 작도 기하학으로 볼 수도 있어, 컴퍼스를 사용하지 않으므로 원, 각도, 측정값, 평행선, 중간성 개념이 없다.[5][6]

핵심 특징 중 하나는 쌍대성의 원리이다. 사영 평면에서 "두 점은 유일한 선을 결정한다"와 "두 선은 유일한 점을 결정한다"는 명제가 동일한 구조를 가진다는 것이 대표적인 예시다. 또한, 모든 평행선은 무한대에서 만나는 것으로 간주한다. 이는 각 선의 "방향"을 무한원점이라는 추가적인 점으로 보고, 이러한 방향들의 집합인 "지평선"을 무한원선이라는 추가적인 선으로 간주하는 유클리드 기하학의 확장으로 이해할 수 있다. 순수한 사영 기하학에서는 무한원점이나 무한원선도 다른 점, 선과 동일하게 취급하며 특별히 구분하지 않는다.

19세기 초 퐁슬레, 라자르 카르노 등의 연구로 독립적인 수학 분야로 확립되었고,[6] 카를 폰 슈타우트가 엄밀한 기초를 다졌으며, 이후 주세페 페아노, 마리오 피에리, 알레산드로 파도아, 지노 파노 등이 완성했다.[7] 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서는 사영군 변환 하에서 변하지 않는 불변량으로 사영 기하학을 특징짓는다. 사건 구조와 교차비는 사영 변환의 기본적인 불변량이다.

사영 기하학은 아핀 평면(또는 공간)에 무한원선(또는 초평면)을 추가하여 모델링할 수 있으며,[8] 해석 기하학적으로는 동차 좌표를 사용하여 다룬다.[9][10] 공리적 연구를 통해 비데자르그 평면과 같이 동차 좌표로 설명되지 않는 구조도 발견되었다.

데자르그 정리와 파푸스 육각형 정리는 중요한 속성이다. 3차원 이상에서는 데자르그 정리가 항상 성립하지만, 2차원에서는 별도로 가정해야 할 수 있다. 데자르그 정리가 성립하면 산술 연산을 기하학적으로 정의할 수 있으며, 그 결과는 체(field)의 공리를 만족한다(곱셈의 교환성은 파푸스 정리가 필요). 이 경우 직선 위의 점들은 주어진 체 ''F''에 무한대 원소(∞)를 추가한 것과 일대일 대응된다.

사영 기하학은 원뿔 곡선 이론을 포함하며, 유클리드 기하학보다 더 통일된 관점을 제공한다. 예를 들어, 쌍곡선과 타원은 무한원선과의 교차 여부로, 포물선은 무한원선과의 접함 여부로 구별할 수 있다. 복소 좌표를 사용하면 모든 원은 무한원선 위의 특정 두 점을 지나는 원뿔 곡선으로 간주될 수 있다.

사영 기하학은 유클리드 기하학이나 아핀 기하학보다 제약이 적고 더 일반적이다. 유클리드 기하학의 많은 정리가 사영 기하학의 틀 안에서 더 단순하고 통일적으로 다뤄질 수 있다. 예를 들어, 평행선과 비평행선을 구분할 필요 없이 모든 두 직선은 (무한원점을 포함하여) 한 점에서 만난다고 본다. 이는 "타원형 접속 관계"라고도 불리며, 사영 기하학의 쌍대성 원리를 이끌어내는 핵심 아이디어이다.

기초적인 관점에서 사영 기하학과 순서 기하학은 모두 최소한의 공리로 시작하여 아핀 기하학과 유클리드 기하학의 기초를 제공할 수 있지만,[11][12] 사영 기하학은 순서 개념이 없으므로[6] 서로 다른 기하학적 기초가 된다.

3. 2. 사영 변환

한 평면의 사영 구성의 공간적 원근 투영은 다른 평면에서 그러한 구성을 생성하며, 이는 완전 사변형의 구성에도 적용된다. 따라서 조화 사중점은 원근 투영에 의해 보존된다. 하나의 원근 투영이 다른 원근 투영을 따른다면 그 구성도 함께 따라간다. 두 원근 투영의 합성은 더 이상 원근 투영이 아니라 사영 변환이다.

원근 투영의 대응점은 모두 한 점으로 수렴하지만, 이러한 수렴은 원근 투영이 아닌 사영 변환에서는 사실이 아니다. 사영 기하학에서 평면의 사영 변환의 대응점에 의해 형성된 선의 교차점은 특히 중요하다. 이러한 교차점의 집합을 사영 원뿔 곡선이라고 하며, 야코프 슈타이너의 업적을 기려 슈타이너 원뿔 곡선이라고 한다.

사영 변환이 점 ''A''와 ''B''를 중심으로 하는 두 개의 원근 투영에 의해 형성되어, 중간점 ''p''를 통해 ''x''를 ''X''와 관련시킨다고 가정해 보자.

:x \ \overset{A}{\doublebarwedge}\ p \ \overset{B}{\doublebarwedge} \ X.

그러면 사영 변환은 x \ \barwedge \ X이다. 그런 다음 사영 변환 \barwedge가 주어지면 유도된 원뿔 곡선은 다음과 같다.

:C(\barwedge) \ = \ \bigcup\{xX \cdot yY : x \barwedge X \ \ \land \ \ y \barwedge Y \}.

원뿔 곡선 ''C''와 그 위에 없는 점 ''P''가 주어지면, ''P''를 지나는 두 개의 서로 다른 할선은 ''C''와 네 점에서 교차한다. 이 네 점은 ''P''가 대각점인 사변형을 결정한다. 다른 두 대각점을 지나는 선을 ''P''의 극선이라고 하며, ''P''는 이 선의 극점이다. 또는, ''P''의 극선은 ''P''와 ''C''를 통과하는 가변 할선 위의 ''P''의 사영 조화 공액점의 집합이다.

사영 변환 하에서는 접속 구조와 복비(사영 조화 공액 관계 포함)가 보존된다. 이는 사영 기하학의 중요한 특징 중 하나이다. 에를랑겐 프로그램의 관점에서 사영 기하학은 사영군에 속하는 변환, 즉 사영 변환 하에서 불변인 기하학적 성질들을 연구하는 학문으로 정의될 수 있다. 사영 변환 군은 임의의 직선을 무한원선으로 옮기거나 그 반대로 옮길 수 있으므로, 사영 기하학에서는 무한원점을 포함한 모든 점과 직선을 동등하게 다룬다.

3. 3. 복비 (Cross Ratio)

사영 변환을 해도 변하지 않는 중요한 성질 중 하나로 접속 구조와 복비(Cross Ratio)가 있다.[8] 복비는 사영 변환에서 기본적인 불변량이다.

세 점이 한 직선 위에 있지 않은 네 점(세 점은 공선점이 아님)이 주어지면, 이 점들을 잇는 6개의 직선과 그 교점들로 '완전 사변형'이라는 도형이 만들어진다. 이때 교점 중 원래 네 점이 아닌 세 점을 '대각점'이라고 한다. 복비는 이러한 네 점의 관계를 나타내는 값으로, 사영 변환에 의해 그 값이 보존된다.

특히, 한 직선 위의 네 점이 특별한 관계, 즉 '조화 사중점'을 이룰 때가 있다. 이는 완전 사변형과 관련이 깊은데, 예를 들어 완전 사변형의 두 대각점이 네 점 중 첫 번째와 세 번째 점이고, 나머지 두 점이 세 번째 대각점을 지나는 직선과 사변형의 변이 만나는 점일 때 조화 사중점이 된다. 이 조화 관계 역시 원근 투영이나 더 일반적인 사영 변환에 의해 보존되는 중요한 성질이다.

3. 4. 쌍대성 (Duality)

1825년, 조제프 제르곤은 사영 평면 기하학을 특징짓는 쌍대성의 원리를 설명했다. 이 원리에 따르면, 사영 기하학의 어떤 정리나 정의가 주어졌을 때, '점'을 '선'으로, '위에 있다'를 '지나간다'로, '공선점(collinear)'을 '공점선(concurrent)'으로, '교차점'을 '결합선(join)'으로 서로 바꾸면 또 다른 유효한 정리나 의미 있는 정의를 얻을 수 있다. 이렇게 얻어진 새로운 정리나 정의를 원래의 것의 쌍대(dual)라고 부른다.

이러한 쌍대성은 3차원 공간에서도 성립하는데, 여기서는 점과 평면 사이에 쌍대 관계가 적용된다. 즉, 어떤 정리에서 '점'과 '평면', '에 포함된다'와 '을 포함한다'를 서로 바꾸면 또 다른 유효한 정리가 된다. 더 일반적으로, 차원이 N인 사영 공간에서는 차원이 ''R''인 부분 공간과 차원이 ''N'' − ''R'' − 1인 부분 공간 사이에 쌍대성이 존재한다. 만약 ''N'' = 2 (사영 평면)이라면, 이는 가장 잘 알려진 형태인 점과 선 사이의 쌍대성이 된다. 쌍대성의 원리는 장-빅토르 퐁슬레에 의해서도 독립적으로 발견되었다.

쌍대성을 확립하기 위해서는 해당 차원의 공리들에 대한 쌍대 버전이 참임을 증명하면 된다. 예를 들어, 3차원 공간에서는 다음 명제들의 쌍대 버전을 증명해야 한다.

  • (1*) 모든 점은 세 개의 서로 다른 평면 위에 놓여 있다.
  • (2*) 모든 두 평면은 하나의 고유한 선에서 교차한다.
  • (3*) 평면 P와 Q의 교차선이 평면 R과 S의 교차선과 같은 평면 위에 있다면, 평면 P와 R의 교차선과 평면 Q와 S의 교차선도 같은 평면 위에 있다 (단, 평면 P, S는 Q, R과 다르다고 가정).


쌍대성 원리는 두 기하학적 구성 사이에 쌍대 대응(dual correspondence)을 설정하는 데 유용하게 사용된다. 가장 유명한 예는 원뿔 곡선(2차원) 또는 이차 곡면(3차원)에서의 극성(polarity) 또는 상호 관계(reciprocation)이다. 흔한 예시로는 동심 구(concentric sphere)를 기준으로 다면체를 상호 변환하여 쌍대 다면체를 얻는 과정이 있다.

또 다른 중요한 예는 브리앙숑 정리와 파스칼의 정리 사이의 관계이다. 브리앙숑 정리는 파스칼 정리의 쌍대이며, 파스칼 정리에 쌍대성 원리를 적용하여 간단히 증명할 수 있다. 두 정리의 내용은 다음과 같다 (모두 사영 평면 기준).

  • 파스칼의 정리: 만약 육각형의 여섯 꼭짓점이 모두 하나의 원뿔 곡선 위에 있다면, 마주보는 변들의 교차점 세 개는 한 직선 위에 있다. 이 직선을 육각형의 파스칼 선(Pascal line)이라고 한다.
  • 브리앙숑 정리: 만약 육각형의 여섯 변이 모두 하나의 원뿔 곡선에 접한다면, 마주보는 꼭짓점을 연결하는 세 개의 대각선은 한 점에서 만난다. 이 점을 육각형의 브리앙숑 점(Brianchon point)이라고 한다.


(만약 원뿔 곡선이 두 개의 직선으로 축퇴(degenerate)되면, 파스칼의 정리는 파푸스의 육각형 정리가 된다. 이 경우 브리앙숑 점은 두 직선의 교차점이 되므로 특별히 흥미로운 쌍대 관계는 없다.)

4. 사영 평면

사건 기하학에서 다루는 사영 평면은 점과 선의 관계에 대한 특정 공리들을 만족하는 기하학적 구조이다. 사영 평면을 정의하는 방식에는 여러 접근법이 있다.

일반적으로는 가장 작은 유한 사영 평면인 파노 평면 PG(2, 2)를 포함하도록 공리계를 설정하는 경우가 많다.[3] 하지만 콕세터가 그의 저서 ''기하학 입문''에서 제시한 것처럼, 파푸스 정리를 공리에 추가하여 비데자르그 평면과 같은 특정 유형의 평면을 제외하는 더 제한적인 정의도 존재한다. 이러한 정의 방식의 차이는 다루는 사영 평면의 범위와 그 성질, 특히 실수 사영 평면과의 관련성에 영향을 미친다.

사영 평면의 구체적인 공리계와 파노 평면, 비데자르그 평면 등 다양한 종류에 대한 자세한 내용은 이어지는 하위 문단에서 다룬다.

4. 1. 정의

사건 기하학에서는 대부분의 경우[3] 최소의 유한 사영 평면인 파노 평면 PG(2, 2)를 포함하는 방식으로 사영 평면을 정의한다. 이를 위한 공리계는 다음과 같다.

  • (P1) 서로 다른 두 점은 유일한 선 위에 놓인다.
  • (P2) 서로 다른 두 선은 유일한 점에서 만난다.
  • (P3) 일직선 위에 있지 않은 네 점 이상이 존재한다.


한편, 콕세터(Coxeter)는 그의 저서 ''기하학 입문''(Introduction to Geometry)에서 위의 공리 목록에 파푸스 정리를 추가하고 비데자르그 평면을 제외하는, 바흐만(Bachmann)이 제시한 더 제한적인 공리계를 소개한다. 이 공리계는 표수 2인 체 위에서의 사영 평면(파노의 공리를 만족하지 않는 평면)을 제외하며, 실수 사영 평면과 더 유사한 성질을 갖는다.

4. 2. 파노 평면 (Fano Plane)

파노 평면은 점과 선이 가장 적은 투영 평면이다.


가장 작은 2차원 투영 기하학 (점이 가장 적은 것)은 파노 평면이다. 이는 각 선에 3개의 점이 있으며 총 7개의 점과 7개의 선으로 구성된다. 점과 선 사이의 공선(collinearity) 관계는 다음과 같다.

  • [ABC]
  • [ADE]
  • [AFG]
  • [BDG]
  • [BEF]
  • [CDF]
  • [CEG]


동차 좌표로는 A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0)와 같이 표현할 수 있다. 아핀 좌표로는 A = (0,0), B = (0,1), C = (∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1), G = (1)와 같다.

표준 표기법에서 유한 투영 기하학은 PG(''a'', ''b'')로 표기된다. 여기서 ''a''는 투영 (또는 기하학적) 차원이고, ''b''는 선 위의 점의 수보다 1 작은 값 (기하학의 '차수')이다. 따라서 7개의 점만 있는 파노 평면은 PG(2, 2)로 표기된다.

사건 기하학에서는 최소의 유한 사영 평면으로 파노 평면 PG(2, 2)를 포함하는 공리계를 사용하기도 한다.[3] 이 공리계는 다음과 같다.

  • (P1) 서로 다른 두 점은 유일한 선 위에 놓인다.
  • (P2) 서로 다른 두 선은 유일한 점에서 만난다.
  • (P3) 일직선 위에 있지 않은 네 점 이상이 존재한다.


콕서터(Coxeter)의 ''기하학 입문''에서는 위의 공리 목록에 파푸스 정리를 추가하여, 표수 2의 체에 대한 사영 평면(파노 평면 포함)을 제외하는 더 제한적인 사영 평면 개념을 제시한다. 이 방식은 실수 사영 평면과 더 유사하다.

4. 3. 비데자르그 평면 (Non-Desarguesian Plane)

사건 기하학에서는 일반적으로 최소의 유한 사영 평면인 파노 평면 PG(2, 2)을 포함하도록 공리계를 설정한다.[3] 이 공리계는 다음과 같다.

  • (P1) 서로 다른 두 점은 유일한 선 위에 놓인다.
  • (P2) 서로 다른 두 선은 유일한 점에서 만난다.
  • (P3) 일직선 위에 있지 않은 네 점 이상이 존재한다.


하지만 콕서터(Coxeter)의 기하학 입문(Introduction to Geometry)에서는 위의 공리 목록에 파푸스 정리를 추가하여, 비데자르그 평면을 배제하는 더 제한적인 사영 평면 개념을 제시한다. 이 방식은 표수 2인 체 위에서의 사영 평면(파노의 공리를 만족하지 않는 평면)을 제외하며, 이렇게 정의된 제한된 평면들은 실수 사영 평면과 더 유사한 성질을 가진다.

5. 공리

어떤 기하학이든 적절한 일련의 공리로부터 유추될 수 있다. 사영 기하학은 "타원형 평행선 공리"로 특징지어지는데, 이는 ''어떤 두 평면도 항상 하나의 선에서 만나고'', 평면에서는 ''어떤 두 선도 항상 하나의 점에서 만난다''는 것을 의미한다. 다시 말해, 사영 기하학에는 평행선이나 평행면과 같은 것이 존재하지 않는다.

사영 기하학에 대한 여러 대체 공리 집합이 제안되었다(예: H.S.M. Coxeter(2003), 힐베르트와 콘-포센(Cohn-Vossen)(1999), 그린버그(Greenberg)(1980) 등의 연구 참조).

접속 기하학의 관점에서 최소 유한 파노 평면 PG(2, 2)를 다루는 문헌도 있으며[17][18], 이 경우 다음과 같은 공리계를 사용한다.


  • (P1) 임의의 서로 다른 두 점에 대해 그 점을 지나는 직선은 단 하나 존재한다.
  • (P2) 임의의 서로 다른 두 직선은 단 한 점에서 만난다.
  • (P3) 어느 세 점도 동일 직선 위에 있지 않은 4개 이상의 점이 존재한다.


콕세터의 저서 "기하학 입문"[19]에는 바흐만(Bachmann)이 제시한 사영 기하학의 다섯 가지 공리가 실려 있다. 이 공리계는 위에 언급된 공리계에 파푸스 정리를 더하여, 표수가 2인 체 위의 사영 평면을 제외하는 방식이다.

5. 1. 화이트헤드의 공리 (Whitehead's Axioms)

어떤 기하학이든 적절한 일련의 공리로부터 유추될 수 있다. 사영 기하학은 두 평면이 항상 하나의 선에서 만나고, 평면 위 두 선은 항상 하나의 점에서 만난다는 특징을 가진다. 즉, 사영 기하학에는 평행선이나 평행면이 존재하지 않는다.

사영 기하학을 위한 여러 공리계가 제시되었는데, 그중 화이트헤드가 제시한 "사영 기하학의 공리"가 기반이 되는 경우가 많다. 이 공리계에서는 '점'과 '선'이라는 두 종류의 요소와 그들 사이의 '결합'(incidence) 관계, 즉 점이 선 위에 있는 관계를 가정한다. 세 가지 기본 공리는 다음과 같다.

  • G1: 모든 선은 적어도 3개의 점을 포함한다.
  • G2: 서로 다른 두 점 A와 B는 유일한 선 AB 위에 놓인다.
  • G3: 두 선 AB와 CD가 교차하면, 두 선 AC와 BD도 교차한다 (단, A와 D는 B와 C와 다르다고 가정한다).


G1 공리에서 각 선이 적어도 3개의 점을 포함한다고 가정하는 이유는 일부 특수한 경우(퇴화된 경우)를 배제하기 위함이다. 이 세 공리(G1, G2, G3)를 만족하는 공간은 다음 중 하나이다.

  • 최대 하나의 선만을 가지는 공간
  • 어떤 나눗셈환 위의 특정 차원을 가지는 사영 공간
  • 비데자르그 평면


여기에 추가적인 공리를 더하여 공간의 차원이나 좌표환의 종류를 제한할 수 있다. 예를 들어, 콕세터(Coxeter)는 그의 저서 "사영 기하학"[15]에서 베블렌(Veblen)[16]을 인용하며, 위의 세 공리에 다섯 개의 공리를 추가하여 차원이 3이고 좌표환이 표수 2가 아닌 가환체가 되도록 하는 경우를 다루었다.

5. 2. 삼항 관계를 이용한 공리

사영기하학의 공리화 방법 중 하나로, 세 점(반드시 서로 다를 필요는 없음)이 한 직선 위에 있을 때를 나타내는 삼항 관계 `[ABC]`를 사용하는 방식이 있다. 이 관계를 기반으로 다음과 같은 공리들을 설정할 수 있다.

  • '''C0''': 임의의 점 A, B에 대해 `[ABA]`가 성립한다.
  • '''C1''': 두 점 A, B가 서로 다르고 `[ABC]`와 `[ABD]`를 만족하면 `[BDC]`가 성립한다.
  • '''C2''': 임의의 서로 다른 두 점 A, B에 대해 `[ABC]`를 만족하는 세 번째 점 C가 존재한다.
  • '''C3''': 임의의 서로 다른 두 점 A, C와 또 다른 서로 다른 두 점 B, D에 대해, `[BCE]`와 `[ADE]`는 만족하지만 `[ABE]`는 만족하지 않을 때, `[ACF]`와 `[BDF]`를 만족하는 점 F가 존재한다.


서로 다른 두 점 A, B가 주어졌을 때, 선 AB는 `[ABC]`를 만족하는 모든 점 C의 집합으로 정의된다. 공리 C0과 C1은 기본적인 선의 성질을 규정하며(화이트헤드의 공리 G2 형식 제공), C2는 선 위에 최소 세 점이 존재함을 보장하고(G1 제공), C3는 파슈의 공리와 유사한 역할을 하여 평면의 분리를 다룬다(G3 제공).

이러한 선의 개념은 평면이나 더 높은 차원의 부분 공간 개념으로 확장될 수 있다. 즉, 부분 공간 AB…XY는 점 Z가 부분 공간 AB…X 위를 움직일 때, 모든 선 YZ 위의 점들 전체로 이루어진 부분 공간으로 재귀적으로 정의될 수 있다. 이때 공선성의 개념은 "독립성"의 개념으로 일반화된다. 점들의 집합 {A, B, …, Z}가 독립이라는 것은 이 집합이 부분 공간 AB…Z를 생성하는 가장 작은 집합임을 의미하며, 때로는 `[AB…Z]`로 표기하기도 한다.

사영 공리는 공간의 차원에 대한 가정을 추가하여 보완될 수 있다. 최소 차원과 최대 차원을 결정하는 공리는 다음과 같다.

최소 차원 공리:

  • '''(L1)''' 적어도 한 점을 가지면 차원은 0 이상이다.
  • '''(L2)''' 적어도 서로 다른 두 점(따라서 적어도 하나의 선)을 가지면 차원은 1 이상이다.
  • '''(L3)''' 적어도 세 개의 공선이 아닌 점(또는 두 선, 또는 선과 그 위에 있지 않은 점)을 가지면 차원은 2 이상이다.
  • '''(L4)''' 적어도 네 개의 공면이 아닌 점(동일 평면 위에 있지 않은 점)을 가지면 차원은 3 이상이다.


최대 차원 공리:

  • '''(M1)''' 점이 하나 이하라면 차원은 0 이하이다.
  • '''(M2)''' 선이 하나 이하라면 차원은 1 이하이다.
  • '''(M3)''' 평면이 하나 이하라면 차원은 2 이하이다.


공리 (C3)의 결과로, 같은 평면 위의 어떤 두 선도 반드시 한 점에서 만난다는 정리가 성립한다. 이는 사영 기하학의 기본 원리 중 하나이며, 유클리드 기하학의 평행선 공리와 대비되는 특징이다. 따라서 공리 (M3)는 '어떤 두 선이든 반드시 만난다'는 말과 동등하게 진술될 수 있다.

일반적으로 사영 공간의 차원은 2 이상이라고 가정한다. 사영 평면만을 다룰 때는 (M3)과 같은 조건을 명시적으로 가정하기도 한다. 예를 들어, 어떤 공리계에서는 C1, C2, L3, M3을 가정하는데, 이 경우 C3는 M3 하에서 항상 참이므로 명시적으로 가정할 필요가 없다.

6. 응용

사영 기하학은 유클리드 기하학이나 아핀 기하학보다 제약이 적으며, 본질적으로 거리 개념이 없는 기하학으로 거리 구조와 관계없는 사실들을 다룬다. 사영 변환 아래에서는 사건 구조와 사영 조화 공액의 관계가 보존되며, 사영 범위는 1차원 기초를 이룬다.

사영 기하학의 중요한 응용 중 하나는 원근법의 수학적 원리를 설명하는 것이다. 평행한 선들이 무한대에서 만나는 것으로 간주하고 이를 그림으로 표현하는 방식이 사영 기하학의 기본 아이디어와 연결된다. 이는 각 선의 '방향'을 해당 선 위의 추가적인 '점'(무한대점)으로, 같은 평면 위의 선들이 공유하는 방향들의 모임을 '지평선'이라는 새로운 '선'(무한대선)으로 간주하여 유클리드 기하학을 확장한 것으로 볼 수 있다. 이를 통해 서로 다른 평행선들은 같은 방향(무한대점)을 공유하며 지평선(무한대선) 위에서 만난다고 설명할 수 있다. 더 나아가 모든 무한대선은 무한대 평면 위에 있다고 생각할 수 있다. 하지만 순수한 사영 기하학에서는 무한대점, 무한대선, 무한대 평면을 다른 기하학적 대상과 특별히 구분하지 않고 동등하게 다룬다.

유클리드 기하학은 사영 기하학의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 사영 기하학은 더 단순한 공리계를 가지므로 유클리드 기하학의 여러 결과를 더 명확하고 통합적인 방식으로 유도하는 데 활용될 수 있다. 예를 들어, 유클리드 기하학에서 평행선과 비평행선을 구분하여 다루어야 하는 정리들을 사영 기하학에서는 하나의 틀 안에서 처리할 수 있다. 이는 특정 사영 평면을 이상 평면(무한대 평면)으로 지정하고 동차 좌표를 사용하여 '무한대'에 위치시키는 방식으로 이루어진다.

추가적으로 중요한 속성에는 데자르그 정리와 파푸스 육각형 정리가 있다. 차원이 3 이상인 사영 공간에서는 데자르그 정리를 증명할 수 있는 구성이 있다. 그러나 차원이 2인 경우에는 별도로 가정해야 한다.

데자르그 정리를 다른 공리와 결합하면 산술의 기본 연산을 기하학적으로 정의할 수 있다. 결과적인 연산은 체의 공리를 만족한다. 단, 곱셈의 교환성은 파푸스 육각형 정리를 필요로 한다. 결과적으로 각 선의 점은 주어진 체 F와 일대일 대응을 이루며, r ⋅ ∞ = ∞, −∞ = ∞, r + ∞ = ∞, r / 0 = ∞, r / ∞ = 0, ∞ − r = r − ∞ = ∞와 같은 추가 요소 ∞가 보충된다. 단, 0 / 0, ∞ / ∞, ∞ + ∞, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞ 및 ∞ ⋅ 0는 정의되지 않은 상태로 유지된다.

사영 기하학은 또한 원뿔 곡선에 대한 완전한 이론을 포함하며, 이 주제는 유클리드 기하학에서도 광범위하게 개발되었다. 쌍곡선과 타원을 쌍곡선이 "무한대선 위에 놓이는 방식"에 의해서만 구별된다고 생각할 수 있다는 장점이 있다. 그리고 포물선은 동일한 선에 접한다는 사실에 의해서만 구별된다. 원의 전체 집합은 "무한대선에서 두 개의 주어진 점을 통과하는 원뿔 곡선"으로 간주할 수 있다. 이는 복소수 좌표를 요구하는 대가이다. 좌표가 "합성적"이지 않으므로, 선과 그 위에 두 점을 고정하고, 이 점들을 통과하는 모든 원뿔 곡선의 "선형 시스템"을 연구의 기본 객체로 고려하여 대체한다. 이 방법은 재능 있는 기하학자들에게 매우 매력적이었고, 이 주제는 철저하게 연구되었다. 이 방법의 예는 H. F. Baker의 다권 논문이다.

참조

[1] 간행물 Hyperbolic geometry: The first 150 years https://projecteucli[...] Project Euclid 1982
[2] 논문 Dirac's hidden geometry https://www.nature.c[...] Nature Publishing Group 2005-09-15
[3] 서적 Bennett, Beutelspacher, Rosenbaum, Casse, Cederberg, Garner, Hughes, Piper, Mihalek, Polster, Samuel
[4] 서적 Ramanan 1997
[5] 서적 Coxeter 2003
[6] 서적 Coxeter 1969
[7] 서적 Coxeter 2003
[8] 서적 Coxeter 1969
[9] 서적 Coxeter 1969
[10] 서적 Coxeter 2003
[11] 서적 Coxeter 1969
[12] 서적 Coxeter 2003
[13] 서적 Coxeter 2003
[14] 서적 Coxeter 2003
[15] 서적 Coxeter 2003
[16] 서적 Veblen 1966
[17] 서적 Polster 1998
[18] 서적 Cederberg 2001
[19] 서적 Coxeter 1969


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com