상관 함수 (양자장론)

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1. 개요
2. 상관 함수의 정의
- 2.1. 윅 정리와 페인만 도형
- 2.2. 진공 거품과 연결된 상관 함수
3. 생성 범함수
4. S-행렬과의 관계
- 4.1. 운동량 공간 상관 함수
5. 상관 함수의 성질 (일본어 문서 내용)
- 5.1. 다양한 형태의 상관 함수
- 5.2. 푸리에 변환과 성질
참조

1. 개요

상관 함수는 양자장론에서 장 연산자의 시간 순서 곱의 진공 기댓값으로 정의되며, 윅 정리와 페인만 도형을 사용하여 계산할 수 있다. 이는 산란 진폭을 계산하는 데 중요한 역할을 하며, LSZ 감소 공식을 통해 S-행렬과 관련된다. 또한, 생성 범함수를 사용하여 계산할 수 있으며, 다양한 형태와 푸리에 변환을 통해 정의되는 성질을 갖는다.

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상관 함수 (양자장론)

2. 상관 함수의 정의

스칼라장론에서 단일 장 $\phi(x)$ 와 모든 시공간 점 $x$ 에서 진공 상태 $|\Omega\rangle$ 를 가정할 때, '''n-점 상관 함수''' $G_n$ 은 하이젠베르크 그림에서 $n$ 개의 장 연산자 곱의 시간 순서에 따른 진공 기댓값으로 정의된다.

$G_n(x_1,\dots, x_n) = \langle \Omega|T\{\mathcal \phi(x_1)\dots \mathcal \phi(x_n)\}|\Omega\rangle.$

여기서 $T\{\cdots \}$ 는 시간 순서 연산자로, 장 연산자들을 시간 순서에 따라 배열하여 시간이 빠른 연산자가 시간이 늦은 연산자의 오른쪽에 오도록 한다. 즉, 시간적으로 먼저 작용하는 연산자가 오른쪽에 위치한다.^[1]

한편, 가장 단순한 형태의 실시간 상관 함수는 두 연산자 $A(t)$ 와 $B(t')$ 의 곱의 평균으로 정의된다.^[5]

: $S_{AB}(t,t') = \langle A(t)B(t') \rangle$

양자장론에서는 입자의 생성 및 소멸이 가능하므로, 여기서 평균 $\langle \quad \rangle$ 은 그랜드 캐노니컬 평균을 사용한다. 하이젠베르크 묘사에서 연산자의 시간 의존성은 해밀토니안 $H$ 뿐만 아니라 화학 포텐셜 $\mu$ 와 입자 수 연산자 $N$ 을 포함하여 다음과 같이 주어진다.

: $A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hbar}Ae^{-i(H-\mu N)t/\hbar}$

이 상관 함수 $S_{AB}(t,t')$ 는 일반적으로 시간 차이 $t-t'$ 에만 의존하므로 $S_{AB}(t-t')$ 로 표기할 수 있다. 이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

: $S_{AB}(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt$

이 푸리에 변환된 상관 함수는 다음과 같은 중요한 성질들을 만족한다.^[5]

: $S_{BA}(\omega) = e^{-\beta \hbar\omega}S_{AB}(\omega)$ (상세 평형 조건)

: $S_{AA^{\dagger}}(\omega) \geqq 0$

: $S^*_{AB}(\omega) = S_{B^{\dagger} A^{\dagger}}(\omega)$

: $\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger}\rangle^{1/2}\langle B^{\dagger}B\rangle^{1/2}$

: $\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|e^{\beta\hbar\omega}d\omega \leqq \langle A^{\dagger}A\rangle^{1/2}\langle BB^{\dagger}\rangle^{1/2}$

이러한 단순 곱 평균 외에도, 물리학적 상황에 따라 다른 형태의 상관 함수들이 자주 사용된다.^[5]

교환자 또는 반교환자의 평균: $\langle [A(t)B(t')]_{\pm} \rangle$ . 이는 진행 그린 함수나 지연 그린 함수 계산에 사용된다.
시간 순서곱의 평균: $\langle T[A(t)B(t')]\rangle$ . 이는 허수 시간 형식주의에서의 온도 그린 함수 계산에 사용된다.

2. 1. 윅 정리와 페인만 도형

상호작용 그림에서

n

-점 상관 함수는 다음과 같이 표현된다.^[1]

G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\langle 0|T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle}{\langle 0|e^{i S[\phi]}|0\rangle}.

여기서

|0\rangle

는 자유 이론의 바닥 상태이고

S[\phi]

는 작용이다. 분자에 있는

e^{iS[\phi]}

항을 테일러 급수로 전개하면,

n

-점 상관 함수는 자유 이론에서의 상관 함수들의 무한한 합으로 표현된다. 이 각 항들은 윅 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

이 복잡한 합을 시각적으로 표현하고 계산하는 강력한 도구가 페르미 다이어그램이다. 각 항은 특정 페르미 다이어그램에 대응하며, 이 다이어그램의 값은 위치 공간 페르미 규칙을 사용하여 계산할 수 있다.

상관 함수 표현식의 분모

\langle 0|e^{iS[\phi]}|0\rangle

는 외부 다리가 없는 모든 가능한 진공 버블 다이어그램들의 합과 같다. 반면, 분자

\langle 0|\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}|0\rangle

는 정확히

n

개의 외부 다리를 가진 모든 가능한 다이어그램의 합으로 주어진다. 여기에는 진공 버블을 포함하는 다이어그램들도 포함된다. 따라서 분자의 합은 (모든 버블 다이어그램의 합)

\times

(버블이 없는 모든 다이어그램의 합) 형태로 인수분해될 수 있다. 분모의 (모든 버블 다이어그램의 합) 항과 분자의 해당 부분이 서로 상쇄되어, 최종적으로

n

-점 상관 함수는 진공 버블을 포함하지 않는 모든 페르미 다이어그램의 합으로 표현된다.

G_n(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\{\phi(x_1) \dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{no bubbles}}.

진공 버블이 없는 다이어그램들의 합에도 여전히 '분리된 다이어그램'(disconnected diagram)이 포함될 수 있다. 이는 다이어그램의 일부가 다른 부분과 연결되지 않은 경우(위의 분리된 다이어그램 예시 참조)를 말한다. 이러한 분리된 다이어그램을 제외하고, 모든 외부 다리가 서로 연결된 경로를 통해 이어지는 '연결된 다이어그램'(connected diagram)만을 고려하여 '''연결된 ''n''-점 상관 함수'''를 정의할 수 있다.

G_n^c(x_1, \dots, x_n) = \langle 0| T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n) e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{connected, no bubbles}}

분리된 다이어그램은 연결된 다이어그램들의 곱으로 표현될 수 있기 때문에, 연결된 상관 함수는 전체 상관 함수가 가진 모든 정보를 포함하면서도 더 기본적인 양으로 간주된다. 다른 종류의 다이어그램을 제외함으로써 일입자 기약 상관 함수와 같은 다른 유형의 상관 함수를 정의할 수도 있다.

경로 적분 공식을 사용하면,

n

-점 상관 함수는 다음과 같은 범함수 평균으로 표현할 수도 있다.

G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\int \mathcal D \phi \ \phi(x_1) \dots \phi(x_n) e^{iS[\phi]}}{\int \mathcal D \phi \ e^{iS[\phi]}}.

이러한 상관 함수들은 분배 범함수

Z[J]

를 이용하여 계산할 수 있다. 여기서

J

는 외부 소스 항이며,

Z[J]

는 상관 함수를 생성하는 생성 범함수 역할을 한다.

G_n(x_1, \dots, x_n) = (-i)^n \frac{1}{Z[J]} \left.\frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\right|_{J=0}.

마찬가지로, 연결된 상관 함수는

W[J] = -i \ln Z[J]

를 사용하여 생성할 수 있다.

G_n^c(x_1, \dots, x_n) = (-i)^{n-1} \left.\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\right|_{J=0}.

2. 2. 진공 거품과 연결된 상관 함수

상호작용 그림으로 장과 상태를 변환하면, n-점 상관 함수

G_n(x_1, \dots, x_n)

는 다음과 같이 표현된다.^[1]

G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\langle 0|T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle}{\langle 0|e^{i S[\phi]}|0\rangle},

여기서

|0\rangle

는 자유 이론의 바닥 상태,

S[\phi]

는 작용,

T\{\cdots \}

는 시간 순서 연산자이다.

e^{iS[\phi]}

항을 테일러 급수로 전개하고 윅 정리를 사용하면, 상관 함수는 상호작용 그림 상관 함수의 합으로 계산된다. 이 계산 과정은 각 항을 페르미 다이어그램으로 나타내어 시각적으로 이해된다.

위 식의 분모

\langle 0|e^{iS[\phi]}|0\rangle

는 외부 다리가 없는 모든 진공 버블 다이어그램의 합으로 계산된다. 반면, 분자

\langle 0|T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle

는 정확히

n

개의 외부 다리를 가진 모든 가능한 다이어그램의 합으로 주어진다. 이 분자에는 진공 버블을 포함하는 분리된 다이어그램도 포함되어 있다. 따라서 분자의 합은 다음과 같이 인수분해될 수 있다.

(모든 버블 다이어그램의 합) $\times$ (버블이 없는 모든 다이어그램의 합)

여기서 '모든 버블 다이어그램의 합' 항은 분모와 정확히 상쇄된다. 결과적으로 n-점 상관 함수는 진공 버블을 포함하지 않는 모든 페르미 다이어그램의 합으로 표현된다.

G_n(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\{\phi(x_1) \dots \phi(x_n)e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{no bubbles}}.

진공 버블이 제거된 이 합에도 여전히 분리된 다이어그램이 포함될 수 있다. 분리된 다이어그램은 적어도 하나의 외부 다리가 다른 모든 외부 다리와 어떤 연결된 경로로도 이어지지 않는 다이어그램을 의미한다. 이러한 분리된 다이어그램을 제외하고, 모든 외부 다리가 서로 연결된 다이어그램만을 고려하여 '''연결된 ''n''-점 상관 함수'''

G_n^c

를 정의한다.

G_n^c(x_1, \dots, x_n) = \langle 0| T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n) e^{iS[\phi]}\}|0\rangle_{\text{connected, no bubbles}}

분리된 다이어그램은 본질적으로 더 낮은 차수의 연결된 다이어그램들의 곱으로 표현될 수 있기 때문에, 연결된 상관 함수는 전체 상관 함수가 가진 모든 물리적 정보를 포함하면서도 계산과 분석을 더 용이하게 만든다. 따라서 이론적으로나 실제 계산에서 연결된 상관 함수를 직접 다루는 것이 더 유용할 때가 많다.

3. 생성 범함수

경로 적분 공식을 사용하면 n-점 상관 함수는 다음과 같은 범함수 평균으로 표현할 수 있다.

$G_n(x_1, \dots, x_n) = \frac{\int \mathcal D \phi \ \phi(x_1) \dots \phi(x_n) e^{iS[\phi]}}{\int \mathcal D \phi \ e^{iS[\phi]}}.$

이 상관 함수들은 분배 범함수 $Z[J]$ 를 이용하여 계산할 수 있다. 여기서 $J$ 는 소스 항이며, $Z[J]$ 는 상관 함수를 만들어내는 생성 범함수 역할을 한다.

$G_n(x_1, \dots, x_n) = (-i)^n \frac{1}{Z[J]} \left.\frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\right|_{J=0}.$

위 식은 분배 범함수 $Z[J]$ 를 소스 $J(x)$ 에 대해 $n$ 번 범함수 미분한 뒤, 소스 $J$ 를 0으로 설정하여 n-점 상관 함수를 얻는 방법을 보여준다.

마찬가지로, 연결된 상관 함수는 $W[J] = -i \ln Z[J]$ 로 정의되는 범함수를 사용하여 생성할 수 있다.

$G_n^c(x_1, \dots, x_n) = (-i)^{n-1} \left.\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\right|_{J=0}.$

$W[J]$ 를 이용하면 연결된 기여만을 포함하는 상관 함수를 직접 계산할 수 있다.

4. S-행렬과의 관계

LSZ 감소 공식은 상관 함수를 이용하여 산란 진폭, 즉 S-행렬 요소를 계산하는 방법을 제공한다. 이 공식은 상관 함수에 외부 입자에 해당하는 특정 미분 연산자(스칼라 장의 경우 클라인-고든 연산자)를 적용하고, 외부 상태의 운동량에 해당하는 푸리에 변환을 수행하는 과정을 포함한다.

이 계산 과정에서 외부 다리에 해당하는 전파자가 제거되고 외부 입자의 상태가 물리적인 상태(온 쉘)로 놓이게 되는데, 이를 절단(amputation)이라고 한다. LSZ 감소 공식은 S-행렬 요소가 특정 조건을 만족하는 절단된 상관 함수의 푸리에 변환과 직접적으로 관련됨을 보여준다. 즉, 상관 함수 계산을 통해 실제 산란 현상을 기술하는 S-행렬을 얻을 수 있는 연결고리 역할을 한다.

4. 1. 운동량 공간 상관 함수

상관 함수의 푸리에 변환을 통해 '''운동량 공간 상관 함수'''

\tilde G(q_1, \dots, q_n)

를 정의하는 것이 일반적이다.^[2]

(2\pi)^4 \delta^{(4)}(q_1+\cdots + q_n) \tilde G_n(q_1, \dots, q_n) = \int d^4 x_1 \dots d^4 x_n \left(\prod^n_{i=1} e^{-i q_i x_i}\right) G_n(x_1, \dots, x_n).

여기서 운동량

q_i

는 관례에 따라 다이어그램 안쪽으로 향하는 것으로 정의된다.

양자장론에서 산란 진폭은 LSZ 감소 공식을 통해 S-행렬과 관련지어 상관 함수를 사용하여 계산할 수 있다. LSZ 감소 공식은 다음과 같다.

\langle f|S|i\rangle = \left[i \int d^4 x_1 e^{-ip_1 x_1} \left(\partial^2_{x_1} + m^2\right)\right]\cdots \left[i \int d^4 x_n e^{ip_n x_n} \left(\partial_{x_n}^2 + m^2\right)\right] \langle \Omega |T\{\phi(x_1)\dots \phi(x_n)\}|\Omega\rangle.

여기서 초기 상태

|i\rangle

의 입자는 지수 함수에

-i

부호를, 최종 상태

|f\rangle

의 입자는

+i

부호를 가진다. 이 공식에서 클라인-고든 연산자

(\partial^2_{x_i} + m^2)

는 외부 다리에 해당하는 전파자에 작용하여,

\left(\partial^2_{x_i} + m^2\right)\Delta_F(x_i,x) = -i\delta^4(x_i-x)

와 같이 디랙 델타 함수를 만든다. 이는 외부 다리의 전파자를 제거하고 외부 상태를 온 쉘 상태로 만드는 효과를 가지며, 이를 절단(amputation)이라고 한다. 상관 함수에서 다른 모든 오프 쉘 기여는 이 과정에서 사라진다. 결과적으로 LSZ 감소 공식은 S-행렬이 온 쉘 외부 상태를 가진 절단된 상관 함수의 푸리에 변환임을 보여준다.

산란 진폭을 계산할 때 유용한 양은 S-행렬로부터 정의되는 행렬 요소

\mathcal M

이다.

\langle f| S - 1 |i\rangle = i(2\pi)^4 \delta^4{\bigg(\sum_i p_i\bigg)} \mathcal M

여기서

p_i

는 외부 입자의 운동량이다. LSZ 감소 공식으로부터, 이 행렬 요소

\mathcal M

은 외부 운동량

p_1, \dots, -p_n

을 가진 절단된(amputated) 연결된(connected) 운동량 공간 상관 함수

\tilde G_n^c

와 동일하다는 것을 알 수 있다.^[3]

i \mathcal M = \tilde G_n^c(p_1, \dots, -p_n)_{\text{amputated}}.

비-스칼라 장 이론의 경우, LSZ 감소 공식은 광자의 편광 벡터나 페르미온의 스피너 상태와 같은 외부 상태에 대한 추가적인 항들을 포함한다. 연결된 상관 함수를 사용하는 이유는 클러스터 분해 원리 때문이다. 이는 공간적으로 멀리 떨어진 곳에서 일어나는 산란 과정들이 서로 간섭하지 않고 독립적으로 취급될 수 있음을 의미한다.^[4]

5. 상관 함수의 성질 (일본어 문서 내용)

양자장론에서의 상관 함수는 특정 연산자들의 곱의 기댓값 등으로 정의되며, 시스템의 동역학적 정보를 담고 있다.^[5] 상관 함수는 계산의 편의를 위해 푸리에 변환을 통해 주파수 공간에서 분석되기도 하며, 이때 여러 유용한 성질들이 나타난다. 또한, 분석 목적에 따라 교환자나 시간 순서곱을 이용한 다양한 형태의 상관 함수가 사용된다. 구체적인 정의와 형태, 푸리에 변환 및 주요 성질은 하위 문단에서 자세히 설명한다.

5. 1. 다양한 형태의 상관 함수

장의 양자장론에서의 상관 함수와 그 성질은 다음과 같이 나타낸다.^[5]

가장 단순한 실시간에 대한 상관 함수는 두 연산자의 곱의 평균을 취한 것이다.

:

S_{AB}(t,t') = \langle A(t)B(t') \rangle

여기서 양자장론에서는 입자의 생성·소멸이 일어나므로, 평균

\langle \quad \rangle

으로서 그랜드 캐노니컬 평균을 채택한다. 따라서 하이젠베르크 묘사에서의 연산자

A(t), B(t)

의 시간 의존성은, 해밀토니안만의 형태

e^{iHt / \hbar} A e^{-iHt / \hbar}

가 아니라, 다음과 같이 화학 포텐셜을 포함한 형태로 결정된다.

:

A(t)=e^{i(H-\mu N)t/\hbar}Ae^{-i(H-\mu N)t/\hbar}

이 상관 함수

S_{AB}(t,t')

는 실제 계산에서 t와 t'에 독립적으로 의존하는 것이 아니라, 그 차이 t-t'의 함수임이 알려져 있다. 따라서

S_{AB}(t-t')

로 표기하며, t'=0일 때는

S_{AB}(t)

이다. 이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

S_{AB}(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt

상관 함수의 푸리에 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.

:

S_{BA}(\omega) = e^{-\beta \hbar\omega}S_{AB}(\omega)

:

S_{AA^{\dagger}}(\omega) \geqq 0

:

S^*_{AB}(\omega) = S_{B^{\dagger} A^{\dagger}}(\omega)

:

\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger}\rangle^{1/2}\langle B^{\dagger}B\rangle^{1/2}

:

\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|e^{\beta\hbar\omega}d\omega \leqq \langle A^{\dagger}A\rangle^{1/2}\langle BB^{\dagger}\rangle^{1/2}

이러한 단순한 곱의 평균 형태 외에도, 다음과 같은 형태의 상관 함수들이 자주 사용된다.

교환자 또는 반교환자의 평균: $\langle [A(t)B(t')]_{\pm} \rangle$
이는 진행 그린 함수나 지연 그린 함수를 계산하는 데 사용된다.
시간 순서곱의 평균: $\langle T[A(t)B(t')]\rangle$
이는 온도 그린 함수에서 사용된다. 단, 온도 그린 함수는 실시간이 아닌 허수 시간 $\tau=it$ 에 대한 그린 함수이다.

5. 2. 푸리에 변환과 성질

상관 함수

S_{AB}(t,t')

를 구체적으로 계산해 보면,

t

와

t'

에 독립적으로 의존하는 것이 아니라, 그 차이

t-t'

의 함수임을 알 수 있다. 따라서 이하에서는

S_{AB}(t-t')

로 쓰기로 한다.

t'=0

일 때는

S_{AB}(t)

이다.^[5] 이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

S_{AB}(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}S_{AB}(t)e^{i\omega t}dt

상관 함수의 푸리에 변환은 다음과 같은 성질을 가진다.^[5]

:

S_{BA}(\omega) = e^{-\beta \hbar\omega}S_{AB}(\omega)

:

S_{AA^{\dagger}}(\omega) \geqq 0

:

S^*_{AB}(\omega) = S_{B^{\dagger} A^{\dagger}}(\omega)

:

\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|d\omega \leqq \langle AA^{\dagger}\rangle^{1/2}\langle B^{\dagger}B\rangle^{1/2}

:

\int^{\infty}_{-\infty}|S_{AB}(\omega)|e^{\beta\hbar\omega}d\omega \leqq \langle A^{\dagger}A\rangle^{1/2}\langle BB^{\dagger}\rangle^{1/2}

참조

_[1] 서적 Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press
_[2] 서적 Introduction to Quantum Field Theory Cambridge University Press 2019
_[3] 서적 Quantum Field Theory John Wiley & Sons 2010
_[4] 서적 The Quantum Theory of Fields: Foundations Cambridge University Press 1995
_[5] 서적 統計物理学 (朝倉物理学大系) 朝倉書店

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