연산자

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1. 개요
2. 선형 연산자
3. 유계 연산자
- 3.1. 유계 연산자와 바나흐 대수
4. 다양한 분야에서의 연산자
5. 한국 사회와 연산자 (사회 자유주의적 관점)
참조

1. 개요

연산자는 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 함수를 다른 함수로 변환하거나, 객체의 특성을 나타내는 데 사용된다. 선형 연산자는 가장 흔히 사용되는 연산자 종류로, 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 보존하는 사상이다. 유한 차원에서는 행렬로 표현되며, 무한 차원에서는 함수 해석학에서 연구된다. 유계 연산자는 노름을 사용하여 정의되며, 바나흐 대수 및 스펙트럼 이론과 관련이 있다. 미분, 적분, 푸리에 변환, 라플라스 변환 등은 연산자의 예시이며, 기하학, 확률론, 변환 등 다양한 분야에서 활용된다.

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연산자
개요
분야	수학, 함수해석학
하위 분야	선형대수학, 미분방정식, 적분방정식
관련 개념	함수, 변환, 선형성, 고유값, 고유벡터, 스펙트럼
정의 및 기본 사항
정의	함수 공간에서 함수를 입력으로 받아 다른 함수를 출력하는 변환
선형 연산자	덧셈에 대한 분배 법칙 만족: `T(f + g) = T(f) + T(g)` 스칼라 곱에 대한 결합 법칙 만족: `T(αf) = αT(f)` (단, α는 스칼라)
작용	함수에 작용하여 새로운 함수를 생성
예시	미분 연산자: 함수를 미분하는 연산자 적분 연산자: 함수를 적분하는 연산자 푸리에 변환: 시간 영역 함수를 주파수 영역 함수로 변환하는 연산자
주요 연산자
미분 연산자	정의: 함수의 도함수를 구하는 연산자 표기: `d/dx`, `∂/∂x` 활용: 미분 방정식 풀이, 함수의 변화율 분석
적분 연산자	정의: 함수의 적분을 구하는 연산자 표기: ∫ 활용: 면적 계산, 함수의 누적 변화량 분석
라플라스 연산자	정의: 함수의 2차 편미분의 합 표기: Δ, ∇² 활용: 열 방정식, 파동 방정식, 전자기학
델 연산자	정의: 벡터 미분 연산자 표기: ∇ 활용: 기울기(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 계산
함수 공간
종류	Lp 공간: p-적분 가능한 함수들의 공간 C(Ω) 공간: 연속 함수들의 공간 Sobolev 공간: 도함수가 특정 조건을 만족하는 함수들의 공간
연산자와 함수 공간	특정 함수 공간에서 정의된 연산자는 다른 함수 공간으로 함수를 변환할 수 있음
응용
미분 방정식	미분 연산자를 사용하여 미분 방정식을 표현하고 풀이
양자역학	해밀토니안: 에너지 연산자 슈뢰딩거 방정식: 양자 상태의 시간 변화를 기술
신호 처리	푸리에 변환을 사용하여 신호의 주파수 성분을 분석하고 처리
영상 처리	다양한 연산자를 사용하여 영상의 특징을 추출하고 개선
성질
선형성	선형 연산자는 덧셈과 스칼라 곱에 대해 선형성을 가짐
유계성	유계 연산자는 함수의 크기를 제한
연속성	연속 연산자는 입력 함수의 작은 변화에 대해 출력 함수의 작은 변화를 보장
가역성	가역 연산자는 역 연산자를 가짐
고유값 및 고유벡터	고유벡터는 연산자에 의해 방향이 변하지 않고 스칼라 곱으로만 변환되는 벡터

2. 선형 연산자

선형대수학에서 선형 연산자는 체 에 대한 벡터 공간 와 사이의 사상 $\operatorname{A} : U \to V$ 으로, 모든 , in 와 모든 in 에 대하여 다음을 만족한다.^[1]

$\operatorname{A}\left( \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} \right) = \alpha \operatorname{A} \mathbf{x} + \beta \operatorname{A} \mathbf{y}$

이는 선형 연산자가 벡터 공간 연산을 보존한다는 의미이며, 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 적용하기 전후에 선형 연산자를 적용하는 것은 중요하지 않다. 다시 말해, 선형 연산자는 벡터 공간 간의 사상이다.

, 를 공통 계수체 를 갖는 선형 공간으로 정의했을 때, 에서 로의 부분 집합 위에서 정의된 로의 사상 를 위의 '''연산자'''라고 부른다.

연산자 가 정의역 위에서 단사 함수이면 역함수 는 위의 연산자이며, '''역연산자'''라고 불린다.

에서 로의 연산자 , 의 에 의한 스칼라 곱, 합, 곱은 다음과 같이 정의된다.

$(\alpha T)x := \alpha (Tx) \qquad x \in D(\alpha T) := D(T)$
$(S + T)x := Sx + Tx \qquad x \in D(S + T) := D(S) \cap D(T)$
$(ST)x := S(Tx) \qquad x \in D(ST) := \{\, y \in D(T) \mid Ty \in D(S) \,\}$

2. 1. 선형 연산자의 표현

체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 U와 V에 대해,

\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n

을 U의 기저로,

\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m

을 V의 기저로 선택한다. U의 임의의 벡터

\mathbf{x} = x^i \mathbf{u}_i

와 (아인슈타인 표기법 가정) 선형 연산자

\operatorname{A}: U \to V

에 대해, 다음이 성립한다.

\operatorname{A}\mathbf{x} = x^i \operatorname{A}\mathbf{u}_i = x^i \left( \operatorname{A}\mathbf{u}_i \right)^j \mathbf{v}_j

여기서

a_i^j \equiv \left( \operatorname{A}\mathbf{u}_i \right)^j \in K

는 고정된 기저

\{ \mathbf{u}_i \}_{i=1}^n

에서 연산자

\operatorname{A}

의 행렬 표현이다.

a_i^j

는

x

의 선택에 의존하지 않으며,

\operatorname{A}\mathbf{x} = \mathbf{y}

이면

a_i^j x^i = y^j

이다. 따라서 고정된 기저에서

n \times m

행렬은 U에서 V로의 선형 연산자와 전단사 대응된다.

2. 2. 무한 차원 선형 연산자

무한 차원 벡터 공간에서의 선형 연산자는 함수 해석학의 주요 연구 대상이다. 이 경우, 행렬 표현은 불가능하며, 연산자의 성질을 분석하기 위해 다양한 추상적인 기법들이 사용된다.

실수의 수열 공간, 또는 더 일반적으로 임의의 벡터 공간의 벡터 수열은 그 자체로 무한 차원 벡터 공간을 형성한다. 가장 중요한 경우는 실수 또는 복소수의 수열이며, 이러한 공간은 선형 부분 공간과 함께 수열 공간으로 알려져 있다. 이러한 공간의 연산자는 수열 변환으로 알려져 있다.

바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자는 표준 연산자 노름에 대해 바나흐 대수를 형성한다. 바나흐 대수 이론은 고유 공간 이론을 우아하게 일반화하는 스펙트럼의 매우 일반적인 개념을 개발한다.

2. 3. 선형 연산자와 관련된 개념

유한 차원 벡터 공간 사이의 연산자와 직접적으로 관련된 중요한 개념으로는 계수, 행렬식, 역 연산자, 고유 공간 등이 있다.^[1] 이러한 개념들은 연산자의 특성을 이해하고 분석하는 데 필수적이다.

무한 차원인 경우에도 선형 연산자는 큰 역할을 한다. 다만, 계수와 행렬식의 개념은 무한 차원 행렬로 확장될 수 없다.^[1]

3. 유계 연산자

와 를 동일한 순서체(예: $\mathbb{R}$ ) 위의 벡터 공간으로 하고, 노름이 있다고 하자. 에서 로의 선형 작용소가 유계라는 것은, 상수 가 존재하여 모든 의 ''''''에 대해 다음이 성립하는 것을 의미한다.

: $\|\operatorname{A}\mathbf{x}\|_V \leq c\ \|\mathbf{x}\|_U$

이는 선형 작용소가 연속인 것과 동치이다.^[1]

유계 작용소는 벡터 공간을 형성한다. 이 벡터 공간에는 와 의 노름과 호환되는 다음의 노름을 도입할 수 있다.

: $\|\operatorname{A}\| = \inf\{\ c : \|\operatorname{A}\mathbf{x}\|_V \leq c\ \|\mathbf{x}\|_U \}.$

3. 1. 유계 연산자와 바나흐 대수

U^영어에서 자기 자신으로의 유계 선형 연산자의 경우, 다음이 성립한다.

:

\|\operatorname{A}\operatorname{B}\| \leq \|\operatorname{A}\| \cdot \|\operatorname{B}\|

이러한 성질을 갖는 모든 단위 노름 대수는 바나흐 대수라고 한다. 이러한 대수로 스펙트럼 이론을 일반화할 수 있다. 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자는 표준 작용소 노름에 관하여 바나흐 대수를 이룬다. 바나흐 대수의 이론은 고유 공간론을 일반화하는 스펙트럼의 개념을 발전시켰다.

4. 다양한 분야에서의 연산자

해석학과 미적분학에서 사용되는 미분 연산자와 적분 연산자는 함수 해석학의 관점에서 보면 선형 연산자로 간주된다. 미적분학은 미분 연산자 $\frac{\ \mathrm{d}\ }{ \mathrm{d} t }$ 와 ''볼테라 연산자'' $\int_0^t$ 를 연구하는 분야이다.

푸리에 변환은 응용수학, 특히 물리학과 부호 이론에서 유용한 적분 연산자이다. 이는 시간 영역상의 함수를 주파수 영역상의 함수로 변환하는 가역 변환으로 볼 수 있다.

라플라스 변환은 미분 방정식의 해법에 자주 사용되는 적분 연산자이며, 함수 f(s)에 대한 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

: $F(s) = (\mathcal{L}f)(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

벡터 미적분학의 핵심 연산자는 기울기(Grad, 연산자 기호 $\nabla$ ), 발산(Div, 연산자 기호 ${\nabla \cdot}$ ), 회전(Curl, 연산자 기호 $\nabla \!\times$ ) 세 가지이다.

기울기는 스칼라장의 각 점에서 해당 장의 최대 변화율 방향을 가리키는 벡터를 할당하며, 이 벡터의 노름은 해당 최대 변화율의 절댓값을 측정한다.
발산은 주어진 점으로부터 벡터장의 발산 또는 수렴을 측정하는 벡터 연산자이다.
회전은 주어진 점을 중심으로 벡터장의 회전(회전, 감기) 경향을 측정하는 벡터 연산자이다.

벡터 미적분 연산자를 물리학, 공학 및 텐서 공간으로 확장하면, grad, div 및 curl 연산자는 텐서 미적분학과 벡터 미적분학에도 종종 연관된다.^[3]

기하학에서 벡터 공간에 추가적인 구조를 부여하는 경우가 종종 연구된다. 이러한 벡터 공간을 자기 자신에게 전사적으로 매핑하는 연산자는 이러한 연구에서 매우 유용하며, 자연스럽게 군을 구성한다.

예를 들어, 벡터 공간의 구조를 보존하는 전사적 연산자는 정확히 가역 선형 연산자이다. 이들은 합성 하에서 일반 선형군을 형성한다. 이러한 공간에서 유클리드 거리를 보존하는 연산자는 등거리 변환군을 형성하며, 원점을 고정하는 연산자는 직교군으로 알려진 부분군을 형성한다. 벡터 튜플의 방향도 보존하는 직교군 내의 연산자는 특수 직교군 또는 회전군을 형성한다.

확률론에서 기댓값, 분산, 공분산 등은 확률 변수의 특성을 나타내는 연산자로 볼 수 있다.^[1] 이러한 연산자들은 확률 분포의 중심 경향, 퍼짐 정도, 변수 간의 관계 등을 파악하는 데 사용된다.^[1] 모든 공분산은 기본적으로 내적이다.^[1] 모든 분산은 벡터와 자기 자신의 내적이며, 따라서 2차 노름이다.^[1] 모든 표준 편차는 노름(2차 노름의 제곱근)이다.^[1] 이 내적에 해당하는 코사인은 피어슨 상관 계수이다.^[1] 기댓값은 기본적으로 적분 연산자(공간에서 가중된 형태를 측정하는 데 사용)이다.^[1]

4. 1. 해석학

해석학과 미적분학에서 사용되는 미분 연산자와 적분 연산자는 함수 해석학의 관점에서 보면 선형 연산자로 간주된다. 미적분학은 미분 연산자

\frac{\ \mathrm{d}\ }{ \mathrm{d} t }

와 ''볼테라 연산자''

\int_0^t

를 연구하는 분야이다.

푸리에 변환은 응용수학, 특히 물리학과 부호 이론에서 유용한 적분 연산자이다. 이는 시간 영역상의 함수를 주파수 영역상의 함수로 변환하는 가역 변환으로 볼 수 있다. 단순한 주기 함수의 경우, 임의의 주기 함수가 사인파와 코사인파의 급수로 표현 가능하다는 정리에 기초한다.

:

f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }

이때 계열은 자승 총합 가능 수열로 이루어진 무한 차원 벡터 공간의 벡터이며, 푸리에 급수를 선형 연산자로 간주할 수 있다. 일반 함수 의 경우에는, 변환은 적분

:

f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{g(\omega )e^{i\omega t} \,d\omega }

의 형태를 취한다.

라플라스 변환은 미분 방정식의 해법에 자주 사용되는 적분 연산자이며, 에 대해

:

F(s) = (\mathcal{L}f)(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

를 할당한다.

4. 2. 벡터 미적분학

벡터 미적분학의 핵심 연산자는 세 가지이다.

기울기 (Grad, 연산자 기호 $\nabla$ )는 스칼라장의 각 점에서 해당 장의 최대 변화율 방향을 가리키는 벡터를 할당하며, 이 벡터의 노름은 해당 최대 변화율의 절댓값을 측정한다.
발산 (Div, 연산자 기호 ${\nabla \cdot}$ )는 주어진 점으로부터 벡터장의 발산 또는 수렴을 측정하는 벡터 연산자이다.
회전 (Curl, 연산자 기호 $\nabla \!\times$ )은 주어진 점을 중심으로 벡터장의 회전(회전, 감기) 경향을 측정하는 벡터 연산자이다.

벡터 미적분 연산자를 물리학, 공학 및 텐서 공간으로 확장하면, grad, div 및 curl 연산자는 텐서 미적분학과 벡터 미적분학에도 종종 연관된다.^[3]

4. 3. 기하학

기하학에서 벡터 공간에 추가적인 구조를 부여하는 경우가 종종 연구된다. 이러한 벡터 공간을 자기 자신에게 전사적으로 매핑하는 연산자는 이러한 연구에서 매우 유용하며, 자연스럽게 군을 구성한다.

예를 들어, 벡터 공간의 구조를 보존하는 전사적 연산자는 정확히 가역 선형 연산자이다. 이들은 합성 하에서 일반 선형군을 형성한다. 그러나 항등 연산자와 −항등 연산자 모두 가역적 (전사적)이지만, 그 합인 0은 그렇지 않기 때문에 연산자 덧셈 하에서는 벡터 공간을 형성하지 ''않는다''.

이러한 공간에서 유클리드 거리를 보존하는 연산자는 등거리 변환군을 형성하며, 원점을 고정하는 연산자는 직교군으로 알려진 부분군을 형성한다. 벡터 튜플의 방향도 보존하는 직교군 내의 연산자는 특수 직교군 또는 회전군을 형성한다.

4. 4. 확률론

확률론에서 기댓값, 분산, 공분산 등은 확률 변수의 특성을 나타내는 연산자로 볼 수 있다.^[1] 이러한 연산자들은 확률 분포의 중심 경향, 퍼짐 정도, 변수 간의 관계 등을 파악하는 데 사용된다.^[1]

모든 공분산은 기본적으로 내적이다.^[1] 모든 분산은 벡터와 자기 자신의 내적이며, 따라서 2차 노름이다.^[1] 모든 표준 편차는 노름(2차 노름의 제곱근)이다.^[1] 이 내적에 해당하는 코사인은 피어슨 상관 계수이다.^[1] 기댓값은 기본적으로 적분 연산자(공간에서 가중된 형태를 측정하는 데 사용)이다.^[1]

4. 5. 변환 (Transform)

푸리에 급수와 푸리에 변환은 응용 수학, 특히 물리학 및 신호 처리에서 유용하게 사용된다. 이들은 함수를 다른 영역으로 변환하는 적분 연산자의 일종이다. 주기 함수의 경우, 푸리에 급수는 함수를 사인파와 코사인파의 합으로 나타낸다.

:

f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }

이때 계수들은 무한 차원 벡터 공간의 원소로 볼 수 있으며, 푸리에 급수는 선형 연산자가 된다. 일반적인 함수의 경우, 푸리에 변환은 다음과 같은 적분 형태로 나타난다.

:

f(t) = {1 \over \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}{g(\omega )e^{i\omega t} \,d\omega }

라플라스 변환 역시 미분 방정식 풀이를 단순화하는 데 사용되는 적분 연산자이다. 함수 f(s)에 대한 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

F(s) = (\mathcal{L}f)(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

5. 한국 사회와 연산자 (사회 자유주의적 관점)

한국 사회에서 연산자는 다양한 사회 현상을 분석하고 이해하는 데 유용한 도구가 될 수 있다. 예를 들어, 소득 불평등, 교육 기회 격차, 지역 간 발전 불균형 등은 사회적 연산자의 작용 결과로 해석될 수 있다. 사회 자유주의적 관점에서 이러한 사회적 연산자들을 조절하고 개선함으로써, 더 공정하고 평등한 사회를 만들어나갈 수 있다.

참조

_[1] 서적 Principles of Mathematical Analysis McGraw-Hill
_[2] 서적 Advanced Linear Algebra Springer
_[3] 서적 Div, Grad, Curl, and All That W.W. Norton
_[4] 서적
_[5] 서적 Div Grad Cural and All that http://www.amazon.co[...] W W Norton

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