상반방정식

1. 개요

상반방정식은 다항식의 계수가 대칭을 이루는 방정식을 의미하며, 켤레 상반다항식은 복소수 계수를 가질 때 사용된다. 상반 방정식은 차수가 같고 근의 역수도 근이 되는 성질을 가지며, 홀수 차수의 자기 상반 다항식은 x+1로 나누어지므로 기약 다항식이 아니다. 짝수차 상반방정식은 $x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\}$로 치환하여 풀 수 있으며, 홀수차 상반방정식은 조립제법 등을 이용하여 차수를 낮춰 푼다. 준상반방정식은 $x\; +\; \backslash frac\{m\}\{x\}$을 치환하여 해결한다. 상반방정식은 순회 부호 이론과 같은 분야에 응용된다.

2. 정의

상반방정식은 다항식의 계수가 중앙 항을 기준으로 대칭을 이루는 방정식을 의미한다. 일반적인 형태는 다음과 같다. 켤레 상반다항식은 복소수 계수를 가질 때 사용되는 개념으로, 계수들의 켤레 복소수가 원래 계수와 대칭을 이루는 경우를 말한다.

다항식 p(z)가 실수 계수를 갖는 z₀의 최소 다항식이고, |z₀| = 1, z₀ ≠ 1 이라면, p(z)는 자기 상반이다. 이는 z₀가 $z^n\backslash overline\{p(\backslash bar\{z\}^\{-1\})\}$의 근이고, 최소 다항식은 유일하며, 어떤 상수 c에 대해 $cp(z)\; =\; z^n\backslash overline\{p(\backslash bar\{z\}^\{-1\})\}$가 성립하기 때문이다. 결과적으로, 원분 다항식 Φ_n는 n > 1에 대해 자기 상반이며, 특수 수체 체에서 x¹¹ ± 1, x¹³ ± 1, x¹⁵ ± 1 및 x²¹ ± 1 형태의 수를 소인수 분해하는 데 사용된다.

콘 정리에 따르면, 자기 반전 다항식은 단위 원판 내부에 그 도함수의 상반 다항식과 동일한 수의 근을 갖는다.

임의의 체에 계수를 갖는 다항식 p가 주어질 때, 그 상반다항식은 $p^*(x)\; :=\; a\_n\; +\; a\_\{n-1\}x\; +\; \backslash cdots\; +\; a\_0x^n\; =\; x^n\; p(x^\{-1\})$로 정의된다.

다항식 p가 복소수를 계수로 갖는 경우, 켤레 상반다항식은 $p^\{\backslash dagger\}(z)\; :=\; \backslash bar\{a\}\; +\; \backslash bar\{a\}\_\{n-1\}z\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash bar\{a\}\_0z^n\; =\; z^n\backslash ,\backslash overline\{p(\backslash bar\{z\}^\{-1\})\}$로 정의된다. 다항식 p가 자기 상반이라는 것은, p = p*가 성립할 때를 말하며, 켤레 상반의 의미에서의 자기 상반다항식의 계수는 반드시 모두 실수여야 한다.

3. 성질

상반 방정식은 원래 다항식과 밀접한 관련이 있다.

* 차수가 같고, 근의 역수도 근이 되는 성질을 갖는다.
* p(x) = xⁿp^∗(x⁻¹)이다.
* p가 기약 다항식일 경우에만 p^∗도 기약 다항식이다.
* p가 원시다항식이면, p^∗도 원시다항식이다.

홀수 차수의 자기 상반 다항식은 x+1로 나누어지므로, 1보다 큰 차수에서는 기약 다항식이 아니다. 자기 상반 다항식은 계수가 다항식을 오름차순 또는 내림차순으로 쓸 때 회문을 형성하기 때문에 회문 다항식이라고도 한다.

이항 계수의 성질에 따르면, 다항식 (x + 1)ⁿ은 모든 양의 정수에 대해 회문 다항식이며, 다항식 (x – 1)ⁿ은 n이 짝수일 때는 회문 다항식, 패리티가 홀수일 때는 반회문 다항식이다. 회문 다항식의 다른 예로는 원분 다항식과 오일러 다항식이 있다.

* 만약 a가 회문 다항식 또는 반회문 다항식의 근이라면, 1/a 또한 근이며 동일한 중복도를 갖는다.
* 역도 성립한다: 다항식의 각 근 a에 대해, 값 1/a가 동일한 중복도의 근이라면, 그 다항식은 회문 다항식 또는 반회문 다항식이다.
* 임의의 다항식 q에 대해, 다항식 q + q^∗는 회문 다항식이고, 다항식 q − q^∗는 반회문 다항식이다. 따라서 임의의 다항식 q는 회문 다항식과 반회문 다항식의 합으로 표현될 수 있다.
* 두 회문 다항식 또는 반회문 다항식의 곱은 회문 다항식이다.
* 회문 다항식과 반회문 다항식의 곱은 반회문 다항식이다.
* 홀수 차수의 회문 다항식은 x + 1의 배수이며 (–1을 근으로 가짐) x + 1로 나눈 몫 또한 회문 다항식이다.
* 홀수 표수를 갖는 체 k 위의 반회문 다항식은 x – 1의 배수이며 (1을 근으로 가짐) x – 1로 나눈 몫은 회문 다항식이다.
* 짝수 차수의 반회문 다항식은 x² – 1의 배수이며 (–1과 1을 근으로 가짐) x² – 1로 나눈 몫은 회문 다항식이다.
* 만약 p(x)가 짝수 차수 2d의 회문 다항식이라면, p(x) = x^dq(x + 1/x)를 만족하는 차수 d의 다항식 q가 존재한다.
* 만약 p(x)가 홀수 표수를 갖는 체 k 위의 짝수 차수 2d의 단항 반회문 다항식이라면, p(x) = x^d(Q(x) − Q(1/x))로 유일하게 쓸 수 있으며, 여기서 Q는 상수항이 없는 차수 d의 단항 다항식이다.
* 만약 반회문 다항식 P가 홀수 표수를 갖는 체 k 위에서 짝수 차수 2n를 가진다면, 그 "중간" 계수 (n차의 계수)는 0이다.

실수 계수를 갖고 모든 복소수 근이 복소 평면에서 단위 원 위에 있는(즉, 모든 근의 크기가 1인) 다항식은 회문 다항식이거나 반회문 다항식이다.

4. 해법

4.1. 짝수차 상반방정식

최고차항이 짝수인 상반방정식은 다음과 같이 풀 수 있다.

예) $ax^4\; +\; bx^3\; +\; cx^2\; +\; bx\; +\; a\; =\; 0$

양변을 중앙항($x^2$)으로 나눈다.

:$ax^2\; +\; bx\; +\; c\; +\; \backslash frac\{b\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{a\}\{x^2\}\; =\; 0$

$x+\backslash frac\{1\}\{x\}$의 형태로 정리한다.

:$a(x^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{x^2\})\; +\; b(x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\})\; +\; c\; =\; 0$

:$a((x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\})^2\; -\; 2)\; +\; b(x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\})\; +\; c\; =\; 0$

이때 $X\; =\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\}$으로 치환하면

:$aX^2\; +\; bX\; +\; (c\; -\; 2a)\; =\; 0$

이 된다. 이 $X$에 대한 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 풀면

:$X\; =\; \backslash frac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\; \{b^2-4a(c-2a)\backslash \; \}\}\{2a\}$

를 얻는다. 이 식을 $X\; =\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\}$에 대입하면 $x$의 해를 구할 수 있다.

4.2. 홀수차 상반방정식

홀수차 상반방정식은 최고차항이 홀수인 상반방정식을 말한다.

예) a + b + c + c + bx + a = 0

이 식은 먼저 하나의 해는 -1임을 가정한다.
-1이 나올 수 있는 인수는 (x+1)이므로 조립제법이나 다항식의 나눗셈을 통해 남는 인수를 알아낸다.

조립제법을 이용하면 방정식은 차수가 내려가게 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.
a+(-a+b)+(a-b+c)+(-a+b)x+a =0

4.3. 준상반방정식

준상반방정식은, 상반방정식이 아닌 것처럼 보이지만 실제적으로는 상반방정식의 해법을 응용하여 풀 수 있는 방정식이다. 이 방정식의 형태는
:$ax^4\; +\; bx^3\; +\; cx^2\; +\; bmx\; +\; am^2\; =\; 0$
과 같이 중앙항의 바로 다음 항부터는 같은 수인 m을 곱하여 나타낸 것이다. 이 경우에는 상반방정식에서는 $x\; +\; \backslash frac\{1\}\{x\}$을 치환하던 것을 바꾸어 $x\; +\; \backslash frac\{m\}\{x\}$을 치환해서 풀면 된다.

5. 상반다항식 급수 곱

급수 곱을 통해 상반방정식을 표현할 수 있다. 홀수차 상반방정식은 $\backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{n\}\; \{x^n\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{n-1\}\; \{x^n\}\backslash right)$으로, 짝수차 상반방정식은 $\backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{n\}\; \{x^n\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{n\}\; \{x^n\}\backslash right)$으로 표현된다.

예를 들어, $\backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{3\}\; \{x^n\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash sum\_\{n=0\}^\{3-1\}\; \{x^n\}\backslash right)$와 같이 2개의 수렴하는 수열의 곱 $(x^3,x^2,x^1,x^0)\backslash cdot(x^2,x^1,x^0)$에서 상반방정식을 유도할 수 있다.

$(x^3+x^2+x^1+x^0)\backslash cdot(x^2+x^1+x^0)$
$=\; x^3(x^2+x^1+x^0)+x^2(x^2+x^1+x^0)+x^1(x^2+x^1+x^0)+x^0(x^2+x^1+x^0)$
$=\; x^3(x^2+x^1+1)+x^2(x^2+x^1+1)+x^1(x^2+x^1+1)+1(x^2+x^1+1)$
$=\; (x^5+x^4+x^3)+(x^4+x^3+x^2)+(x^3+x^2+x^1)+(x^2+x^1+1)$
$=\; x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x^1+1$ (5차 방정식중 상반방정식)

6. 응용

6.1. 부호 이론

순회 오류 정정 부호 이론에서 상반다항식이 활용된다. xⁿ − 1 = g(x)p(x)와 같이 xⁿ − 1이 두 다항식의 곱으로 인수분해될 수 있다고 가정할 때, g(x)가 순회 부호 C를 생성하면, 상반방정식 p^∗는 C의 직교 여원인 C^⊥를 생성한다. 또한, p^∗가 g(x)를 나눌 때에만 C는 자기 직교(즉, C ⊆ C^⊥)이다.

6.2. 기타 응용

실수 계수를 갖는 다항식의 모든 복소수 근이 복소 평면에서 단위 원 위에 있을 때 (즉, 모든 근의 크기가 1), 그 다항식은 회문 다항식이거나 반회문 다항식이다. 다른 표현으로, 실수 계수 다항식의 근이 모두 가우스 평면 상의 단위 원 위에 놓여 있고 모든 근의 절대값이 1(단모)이면, 자기 상반이거나 반 자기 상반 중 하나이다.

7. 한국 교육과정과의 연관성