상트페테르부르크의 역설

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1. 개요

상트페테르부르크의 역설은 동전을 던져 앞면이 나올 때까지 상금을 두 배로 늘려 받는 게임에서 기댓값이 무한대로 계산되지만, 실제로는 사람들이 높은 금액을 지불하고 게임에 참여하지 않는 현상을 말한다. 이 역설은 기대 효용 이론, 확률 가중치, 유한한 자원, 그리고 에르고딕성 등 다양한 해결책을 제시하며, 사람들의 의사 결정이 금전적 기댓값만으로는 설명되지 않음을 보여준다. 또한, 이 역설은 윌리엄 펠러, 폴 새뮤얼슨, 그리고 "파사데나 게임"과 같은 변형 게임을 통해 논의가 이어지고 있으며, 현대 사회의 도박, 투자, 정책 결정 등 다양한 분야에 시사점을 제공한다.

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상트페테르부르크의 역설
개요
이름	상트페테르부르크의 역설
다른 이름	상트페테르부르크 게임
역사
창시자	니콜라스 베르누이
최초 분석	피에르 레몽 드 몽모르
대중화	다니엘 베르누이
역설 내용
내용	공정한 동전 던지기 게임에서 기대값과 실제 사람들이 지불하려는 금액 간의 불일치를 보이는 역설
게임 규칙	앞면이 나올 때까지 동전을 던짐. n번째 시도에서 앞면이 나오면 2^n-1달러를 받음.
기대값	무한대
문제점	대부분의 사람들은 기대값인 무한대에 훨씬 못 미치는 금액만 지불하려 함.
해결 방안
한계 효용 이론	다니엘 베르누이는 돈의 가치가 선형적으로 증가하지 않고, 로그 함수 형태로 증가한다고 주장
확률 가중	낮은 확률에 대한 과대평가 및 높은 확률에 대한 과소평가
유한한 자원	게임을 운영하는 사람이 가진 자원이 유한하므로, 무한대의 보상을 지급할 수 없음

2. 상트페테르부르크 게임

상트페테르부르크의 어떤 도박장에는 다음과 같은 게임이 있었다. 동전을 던져 뒷면이 나오면 계속 던지고, n번째 처음 앞면이 나오면 게임이 종료되고 2^n-1 루블의 상금을 지급한다. 도박의 참가비는 10,000루블이었다.^[5]

편향되지 않은 동전^[35]을 앞면이 나올 때까지 계속 던지는 게임을 가정해 보자. 받을 수 있는 상금은 1회째에 앞면이 나오면 1엔^[36], 2회째에 앞면이 나오면 2엔, 3회째에 처음으로 앞면이 나오면 4엔과 같이 앞면이 나올 때까지 던진 횟수에 따라 두 배씩 늘어난다.^[37] 즉, 앞면이 처음 나올 때까지 던진 횟수를 n이라고 하면, 2^n-1 엔을 받을 수 있다.

하지만 실제로는 이 게임에서는 1/2의 확률로 1엔, 1/4의 확률로 2엔, 1/1024의 확률로 512엔의 상금을 얻을 수 있을 뿐이다(상금이 512엔 이하에 머무를 확률이 1023/1024).^[37]

2. 1. 게임 규칙

상트페테르부르크의 어떤 도박장에서는 다음과 같은 확률 게임을 제공한다. 한 명의 플레이어를 대상으로 하며, 각 단계에서 공정한 동전을 던진다. 초기 베팅은 2USD로 시작하며, 뒷면이 나올 때마다 두 배로 증가한다.^[5] 처음 앞면이 나오면 게임이 끝나고, 플레이어는 현재 베팅 금액을 얻는다.^[5]

첫 번째 던지기에서 앞면이 나오면: 2USD 획득^[5]
첫 번째 던지기에서 뒷면, 두 번째 던지기에서 앞면이 나오면: 4USD 획득^[5]
처음 두 번의 던지기에서 뒷면, 세 번째 던지기에서 앞면이 나오면: 8USD 획득^[5]

이런 식으로, 플레이어는 k번 연속으로 뒷면이 나오고 k+1번째에 앞면이 나오면 k|k^영어가 연속적인 뒷면 던지기 횟수일 때

2^{k+1}

달러를 얻는다.^[5]

2. 2. 기댓값 계산

상트페테르부르크의 어떤 도박장 게임에서, n번째 처음 앞면이 나오면 게임이 종료되고 2^n-1루블의 상금을 지급한다. 이 게임의 기댓값(E)을 계산해 보면 다음과 같다.^[5]

:

E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots

::

=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots

::

=\sum_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty

어떤 카지노에서 제공하는 확률 게임을 예로 들면, 초기 베팅은 2달러로 시작하고, 뒷면이 나올 때마다 두 배로 증가한다. 처음 앞면이 나오면 게임이 끝나고 플레이어는 현재 베팅 금액을 얻는다. 즉, 첫 번째 던지기에서 앞면이 나오면 2달러, 뒷면 후 앞면이 나오면 4달러, 두 번 뒷면 후 앞면이 나오면 8달러를 얻는 식이다. 수학적으로

k

가 연속적인 뒷면 던지기 횟수일 때, 플레이어는

2^{k+1}

달러를 얻는다.^[5]

각 단계에서 예상되는 지불금을 고려하면, 확률 로 2달러, 확률 로 4달러, 확률 로 8달러를 얻는 식이다. 동전 던지기 결과가 뒷면인 한 게임을 계속할 수 있고, 카지노가 무제한의 자원을 가지고 있다고 가정하면, 기댓값은 다음과 같다.^[5]

:

\begin{align}E &= \frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{4}\cdot 4 + \frac{1}{8}\cdot 8 + \frac{1}{16}\cdot 16 + \cdots \\&= 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots \\&= \infty \,.\end{align}

이 합은 무한대로 증가하므로 예상되는 승리는 무한대의 금액이다.

3. 역설

다니엘 베르누이가 제시한 상트페테르부르크의 역설은 다음과 같은 게임을 통해 설명할 수 있다.

편향되지 않은 동전^[35]을 앞면이 나올 때까지 계속 던져서, 앞면이 나왔을 때 상금을 받는 게임이다. 상금은 다음과 같이 결정된다.

1회째에 앞면이 나오면: 1엔^[36]
1회째는 뒷면, 2회째에 앞면이 나오면: 2엔
2회까지 뒷면, 3회째에 처음으로 앞면이 나오면: 4엔
n-1회까지 뒷면, n회째에 처음으로 앞면이 나오면: 2^n-1엔

이 게임은 금전적 부의 순 변화에 대한 기대값만을 고려하면, 어떤 가격으로든 참여하는 것이 유리하다. 하지만, 사람들은 직관적으로 큰돈을 지불하고 이 게임에 참여하는 것을 꺼린다.

3. 1. 직관과의 불일치

다니엘 베르누이는 1 두카트의 초기 자본으로 게임을 설명한 후, "표준 계산에 따르면 [플레이어의] 기대 가치는 무한히 크지만, ... 상당히 합리적인 사람은 20 두카트에 기꺼이 자신의 기회를 팔 것이다."라고 말했다.^[5] 로버트 마틴은 이언 해킹의 말을 인용하여 "우리 중 그런 게임에 참여하기 위해 25달러라도 지불할 사람은 거의 없을 것이다"라고 말했고, 그는 대부분의 논평가들이 이에 동의할 것이라고 말한다.^[6] 겉보기에 보이는 역설은 사람들이 게임에 참여하기 위해 지불할 의향이 있는 금액과 무한한 기대 가치 사이의 불일치이다.^[5]

이 게임에서 상금의 기댓값을 계산해 보면, 그 수치는 무한대로 발산한다. 즉, 기댓값을 W라고 하면, 다음과 같다.

:

W=\sum_{k=1}^\infty \left( \frac {1}{2^k} \cdot 2^{k-1} \right) = \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \cdots = \infty

따라서 기댓값으로 판단한다면, 참가비(판돈)가 아무리 큰 돈이라도 참가해야 한다는 결론이 나온다.

하지만 실제로는 이 게임에서는 1/2의 확률로 1엔, 1/4의 확률로 2엔, 1/1024의 확률로 512엔의 상금을 얻을 수 있을 뿐이다(상금이 512엔 이하에 머무를 확률이 1023/1024). 따라서 그렇게 이득일 리가 없다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 이것이 이 문제가 역설이라고 불리는 이유이다.

3. 2. 의사 결정 기준

다니엘 베르누이는 1 두카트의 초기 자본으로 게임을 설명한 후, "표준 계산에 따르면 [플레이어의] 기대 가치는 무한히 크지만, ... 상당히 합리적인 사람은 20 두카트에 기꺼이 자신의 기회를 팔 것이다."라고 말했다.^[5] 이언 해킹의 말을 인용하여 로버트 마틴은 "우리 중 그런 게임에 참여하기 위해 25달러라도 지불할 사람은 거의 없을 것이다"라고 말했고, 그는 대부분의 논평가들이 이에 동의할 것이라고 말한다.^[6] 겉보기에 보이는 역설은 사람들이 게임에 참여하기 위해 지불할 의향이 있는 금액과 무한한 기대 가치 사이의 불일치이다.^[5]

편향되지 않은 동전^[35]을 앞면이 나올 때까지 계속 던져서, 앞면이 나왔을 때 상금을 받을 수 있는 게임을 가정할 때, 받을 수 있는 상금은 다음과 같이 결정된다.

1회째에 앞면이 나오면: 1엔^[36]
1회째는 뒷면, 2회째에 앞면이 나오면: 2엔
2회까지 뒷면, 3회째에 처음으로 앞면이 나오면: 4엔
3회까지 뒷면, 4회째에 처음으로 앞면이 나오면: 8엔

즉, 앞면이 처음 나올 때까지 던진 횟수를 n이라고 하면, 2^n-1엔을 받을 수 있다. 예를 들어 10회째에 처음으로 앞면이 나오면 512엔, 20회째에 처음으로 앞면이 나오면 524,288엔, 30회째에 처음으로 앞면이 나오면 536,870,912엔을 받을 수 있다.

이 게임에 참가비(판돈)가 있다면, 참가비가 얼마까지여야 손해가 아닐지를 수학적으로 판단하기 위해 상금의 기댓값을 계산한다. 참가비가 기댓값 이하면 참가자는 손해를 보지 않는다. 이 문제에서 상금의 기댓값을 계산하면 무한대로 발산한다. 즉, 기댓값을 W라고 하면,

:

W=\sum_{k=1}^\infty \left( \frac {1}{2^k} \cdot 2^{k-1} \right) = \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \frac {1}{2} + \cdots = \infty

가 된다. 따라서 기댓값으로 판단하면, 참가비가 아무리 큰 돈이라도 참가해야 한다는 결론이 나온다.

하지만 실제로는 이 게임에서는 1/2의 확률로 1엔, 1/4의 확률로 2엔, 1/1024의 확률로 512엔의 상금을 얻을 수 있을 뿐이다(상금이 512엔 이하에 머무를 확률이 1023/1024). 따라서 직관적으로 큰 이득을 보기 어렵다는 것을 알 수 있다. 이것이 이 문제가 역설이라고 불리는 이유이다.^[37]

4. 해결

이 역설은 사람들의 의사결정 기준이 기댓값이 아니라는 것을 보여주며, 이 문제를 해결하기 위해 기대 효용 이론이 제시되었다.^[35] 상트페테르부르크의 역설을 해결하기 위한 여러 가지 방법이 제안되었다.

유한한 자원: 현실적으로 상금에는 상한이 있다. 예를 들어 주최 측의 재산이 한정되어 있다면, 특정 횟수 이상 뒷면이 나오면 게임을 중단해야 한다. 뷔퐁은 주최 측이 아무리 거액의 재산을 가지고 있더라도, 현실적인 범위에서는 기대값이 기껏해야 수십 엔 범위에 머물게 된다고 하였다.
알렉시스 퐁텐 드 베르탱은 1754년에 게임의 잠재적 후원자의 자원은 유한하다고 지적했다.^[16]
1777년, 뷔퐁은 29번의 게임 라운드 후에 프랑스 왕국에 베팅을 감당할 충분한 돈이 없을 것이라고 계산했다.^[17]
다음 표는 다양한 잠재적 은행가와 그들의 자금 ''W''를 가진 게임의 기대 가치 ''E''를 보여준다.

은행가	자금	한 게임의 기대 가치
백만장자	105만달러	20USD
억만장자	10.75억달러	30USD
일론 머스크(2022년 4월)^[19]	2650억달러	38USD
미국 GDP(2020)^[20]	20.8조달러	44USD
세계 GDP(2020)^[20]	83.8조달러	46USD
10억-억만장자^[21]	1Q	59USD
우주 내 원자^[22]	10E80	266USD
구골이오네어	1E100	332USD

확률 가중치: 니콜라스 베르누이는 사람들이 일어날 가능성이 낮은 사건을 무시할 것이라고 추측했다.^[4] 장 르 롱 달랑베르는 확률이 매우 작은 경우에는 그 확률을 0으로 취급해야 한다고 주장했다.^[40] 뷔퐁은 아이에게 동전을 반복해서 던지게 하는 실험을 통해 1회 게임에서의 획득 금액의 평균은 약 5엔임을 보였다.^[42]
수학적 기대값 거부: 장 르 롱 달랑베르와 존 메이너드 케인스를 포함한 여러 학자들은 기대값(또는 효용) 극대화를 적절한 행동 규칙으로 받아들이지 않았다.^[23]^[24]
반복 횟수: 게임을 반복하는 횟수를 미리 정해두면 비교적 공정한 베팅 금액을 설정할 수 있다. 참가 횟수 n에 따라 참가비를 n log₂ n 으로 하면 공정한 게임이 된다.
에르고딕성: 윌리엄 앨런 휘트워스는 1870년에 곱셈 역학을 가정한 수학적 논증을 담은 초기 해결책을 제시했다.^[27]
의사 결정 모델: 전략의 인지적 측면과 관련된 매개변수를 사용하는 접근 방식이 주목받고 있다.^[30]^[31]

4. 1. 기대 효용 이론

기대 효용 이론은 사람들이 의사결정을 할 때 기댓값보다는 효용 함수를 기준으로 삼는다는 점을 제시하여 상트페테르부르크의 역설을 해결하고자 했다. 이 이론의 핵심은 돈의 한계 효용 체감을 가정하는 것이다.

다니엘 베르누이는 어떤 품목의 가치는 가격이 아닌 그것이 산출하는 효용에 기반해야 하며, 1,000 두카트의 이득은 부자보다 빈자에게 더 중요하다는 점을 강조했다.^[7] 그는 로그 함수 (로그 효용)를 일반적인 효용 모델로 제안했다. 이 모델은 도박꾼의 총 재산의 함수이며, 돈의 한계 효용 체감 개념을 내포한다. 각 가능한 사건에 대해 효용의 변화는 해당 사건이 발생할 확률에 의해 가중된다. 복권의 예상 증분 효용은 유한한 값으로 수렴한다.

이 공식은 도박꾼의 재산과 그가 지불할 의향이 있는 금액 간의 관계를 나타낸다. 예를 들어, 자연 로그 효용의 경우, 백만장자(1,000,000달러)는 최대 20.88달러, 1,000달러를 가진 사람은 최대 10.95달러, 2달러를 가진 사람은 1.35달러를 빌려서 최대 3.35달러를 지불할 의향이 있다.

베르누이는 주관적 가치인 "효용"을 정의하여 이 역설을 회피했다. 누구에게나 일정한 "가치"에 대해 효용은 효용을 평가하는 사람의 개별적인 사정에 좌우된다. 금액이 커질수록 효용의 증가 정도는 완만해진다. 100만 엔이 200만 엔이 될 때의 효용은 1000만 엔이 1100만 엔이 될 때의 효용보다 크다. 이는 경제학에서의 한계효용 체감과 같은 생각이다.

베르누이는 효용은 금액의 로그로 얻어진다고 했다. 100만 엔이 200만 엔이 될 때의 효용과 1000만 엔이 2000만 엔이 될 때의 효용은 같다. 로그 함수로 얻어지는 효용을 "로그 함수적 효용"이라고 한다. 이 모델은 (작은) 자산의 증가에 따른 효용은 자산의 총량에 반비례한다는 것이며, 이를 "베르누이 규칙"이라고 부른다.

금액의 기대치가 금액의 가중치 산술 평균인 데 반해, 효용의 기대치는 금액의 가중치 기하 평균의 효용이 된다. 산술-기하 평균 부등식으로부터, 효용의 기대치는 금액의 기대치의 효용보다 대부분의 경우 작다. 따라서 효용의 기대치를 최대화하는 전략은 금액의 기대치를 최대화하는 전략보다 위험에 대해 신중해진다.

도박사의 총 자산을 , 도박의 가격을 라고 하면, 도박 종료 후의 총 자산은

:

\sum_{k=1}^\infty \left\{ \frac {1}{2^k} \left( a - b + 2^{k-1} \right)  \right\} = \infty

로 발산하지만, 효용의 기대치는

:

\sum_{k=1}^\infty \left\{ \frac {1}{2^k} \log \left( a - b + {2^{k-1}} \right) \right\}

가 되어, 이 값은 유한하게 남는다.

(가진 돈 전부를 건다)라고 하면,

:

\sum_{k=1}^\infty \left( \frac {1}{2^k} \log {2^{k-1}} \right) = \log2 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac {k}{2^{k+1}} = \log2

가 된다. 총 자산 2엔 (효용 log 2) 이하라면, 도박으로 인해 효용이 증가하므로, 가진 돈 전부를 걸어서라도 도박에 참여해야 한다. 총 자산 2엔이라는 상황은 상상하기 어려우므로, 상금의 시작을 1엔에서 200만 엔으로 끌어올리면, 가진 돈 전부를 걸어서라도 도박에 참여해야 할 자산은 400만 엔 이하가 된다.

총 자산이 2엔보다 많다면, 2엔과 총 자산의 사이 어딘가에, 걸어야 할지 말아야 할지의 경계가 되는 이 있다. 을 구하려면 방정식

:

\sum_{k=1}^\infty \left\{ \frac {1}{2^k} \log \left( a - b_0 + {2^{k-1}} \right) \right\} = \log a

를 풀면 된다. 400만 엔에 대해서는 약 12엔이 되어, 현실에 가깝다.

다니엘 베르누이의 출판 이전에, 제네바 출신의 수학자 가브리엘 크라머는 1728년에 이미 이 아이디어의 일부를 발견했다.^[7] 그는 수학자들은 돈을 그 양에 비례하여 추정하고, 분별력 있는 사람들은 그들이 사용할 수 있는 용도에 비례하여 추정한다고 언급했다. 니콜라스 베르누이에게 보낸 편지에서 이득의 한계 효용 감소를 설명하는 제곱근 함수가 문제를 해결할 수 있음을 보여주었다. 크라머는 베르누이와 달리 개인의 총 재산이 아닌, 복권으로 얻는 이득만을 고려했다.

가브리엘 크라머가 니콜라스 베르누이에게 보낸 편지의 내용이 다니엘 베르누이의 논문에 소개되어 있다.^[38] 크라머는 금액의 가치는 그 액면에 비례하지 않는다고 생각하여 두 가지 모델을 제시했다. 첫 번째 모델은 (약 1600만)보다 큰 금액은 모두 같다고 보는 모델이며, 이 경우의 기대값은 13이다.

:

\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2^2} \cdot 2 + \cdots + \frac{1}{2^{25}} \cdot 2^{24} + \frac{1}{2^{26}} \cdot 2^{24} + \frac{1}{2^{27}} \cdot 2^{24}  +\cdots =13

다른 모델은 금액의 가치는 그 액면의 제곱근에 비례한다고 보는 모델이며, 이 경우의 "가치의" 기대값은 다음과 같다.

:

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} + \frac{1}{2^2} \cdot \sqrt{2} + \frac{1}{2^3}\cdot \sqrt{2^2}+\cdots=\frac{1}{2-\sqrt{2}}

액면으로 환산하면 그 제곱으로 약 2.9로 계산된다. 그러나 이러한 모델들은 임의적이며, 타당성에 대한 고찰은 전혀 없다.

크라머와 베르누이의 해결책은 완전히 만족스럽지 않았는데, 칼 멩거는 1회 뒷면이 나올 때마다 상금이 2배가 되는 것이 아니라, 제곱이 되는 도박에서는 (상금이 자산을 충분히 초과한 후에는) 효용이 2배가 되고, 기대치가 발산한다는 것을 지적했다.^[8] 효용의 증가 정도를 자연 로그보다 완만하게 (로그의 로그 등) 하면 대응할 수 있다. 100만 엔이 200만 엔이 되는 효용보다 100억 엔이 200억 엔이 되는 효용이 더 적다는 것이며, "다 써버릴 수 없다"는 것을 생각하면 타당한 모델이다. 효용의 증가가 아무리 완만해도, 1회 뒷면이 나올 때마다 "효용이 2배가 되도록" 상금을 설정하면, 효용의 기대치는 역시 발산한다.

완전히 방지하기 위해서는 효용에는 상한이 있다고 생각할 필요가 있다. 어떤 금액을 넘으면, 효용은 기본적으로 더 이상 증가하지 않는다. 효용의 상한은 돈으로 살 수 있는 모든 욕망을 충족한 상태를 의미하며, 이를 "지복 수준"이라고 부른다. 이 설정을 통해, 아무리 급격하게 상금이 증가해도 효용의 기대치는 유한하게 남는다.

최근, 기대 효용 이론은 더 많은 행동 의사 결정 모델에 도달하도록 확장되었다. 이러한 새로운 이론 중 일부, 예를 들어 누적 전망 이론에서는 효용 함수가 오목하더라도 상트페테르부르크 역설이 특정 경우에 다시 나타나지만, 제한된 경우에는 그렇지 않다.^[9]

4. 2. 확률 가중치

니콜라스 베르누이는 사람들이 일어날 가능성이 낮은 사건을 무시할 것이라고 추측했다.^[4] 상트페테르부르크 복권에서는 매우 높은 상금은 확률이 낮은 사건에서만 나오기 때문에, 이는 역설을 해결할 수 있다. 확률 가중치의 아이디어는 훗날 다니엘 카너먼과 아모스 트버스키의 행동경제학 이론 연구에서 다시 등장했다. 폴 웨이리히도 위험 회피가 역설을 해결할 수 있다고 썼다. 웨이리히는 상금을 늘리면 실제로 게임에 참여하려는 사람들의 기회가 감소한다고 쓰면서 "손 안의 새 한 마리가 덤불 속의 새 여러 마리보다 가치있다"고 말했다.^[10]^[11] 그러나 일부 이론가들은 이러한 주장을 거부했는데, 그들은 일부 사람들이 도박의 위험을 즐긴다는 점과 상금을 늘리는 것이 더 많은 위험을 초래한다는 가정을 하는 것은 비논리적이기 때문이다.

누적 전망 이론은 기대 효용 이론의 일반화 중 하나이다.^[12] 그러나 누적 전망 이론에 도입된 작은 확률 사건의 과대 평가로 인해 상트페테르부르크 역설이 다시 나타날 수 있다. 누적 전망 이론은 효용 함수의 지수 계수가 확률 가중 함수의 지수 계수보다 낮을 때만 상트페테르부르크 역설을 피할 수 있다.^[13] 즉, 효용 함수는 단순히 오목할 뿐만 아니라 상트페테르부르크 역설을 피하기 위해 확률 가중 함수에 대해 오목해야 한다. 전망 이론의 공식은 400USD 미만의 영역에서 얻어진다고 주장할 수 있다.^[12] 이는 상트페테르부르크 역설에서 무한히 증가하는 합에는 적용되지 않는다.

4. 3. 유한한 자원

알렉시스 퐁텐 드 베르탱은 1754년에 게임의 잠재적 후원자의 자원은 유한하다고 지적했다.^[16] 더 중요한 것은, 게임의 기대 가치는 카지노의 자원에 따라 로그적으로 증가한다는 것이다. 결과적으로, 게임의 기대 가치는 현실적으로 상상할 수 있는 가장 큰 자금을 가진 카지노를 상대로 플레이하더라도 상당히 적다. 1777년, 조르주루이 르클레르 드 뷔퐁은 29번의 게임 라운드 후에 프랑스 왕국에 베팅을 감당할 충분한 돈이 없을 것이라고 계산했다.^[17]

카지노가 유한한 자원을 가지고 있다면, 해당 자원이 소진되면 게임은 종료되어야 한다.^[15] 카지노의 총 자원(또는 최대 잭팟)이 ''W'' 달러라고 가정할 때(더 일반적으로, ''W''는 게임의 초기 베팅의 절반 단위로 측정된다), 카지노가 다음 베팅을 완전히 감당할 수 없을 때까지 플레이할 수 있는 최대 횟수는 (는 ''X''보다 작거나 같은 가장 큰 정수인 바닥 함수를 나타낸다) 이다.^[18] 카지노가 베팅을 더 이상 감당할 수 없을 때 게임이 종료된다고 가정하면, 로또의 기대 가치 ''E''는 다음과 같다:^[18]

:

\begin{align}E &= \sum_{k=1}^{L} \frac{1}{2^k} \cdot 2^k = L\,.\end{align}

다음 표는 다양한 잠재적 은행가와 그들의 자금 ''W''를 가진 게임의 기대 가치 ''E''를 보여준다.

은행가	자금	한 게임의 기대 가치
백만장자	105만달러	20USD
억만장자	10.75억달러	30USD
일론 머스크(2022년 4월)^[19]	2650억달러	38USD
미국 GDP(2020)^[20]	20.8조달러	44USD
세계 GDP(2020)^[20]	83.8조달러	46USD
10억-억만장자^[21]	1Q	59USD
우주 내 원자^[22]	10E80	266USD
구골이오네어	1E100	332USD

'''참고:''' 플레이어가 카지노의 자금보다 더 많이 딴 경우, 카지노가 가진 모든 것을 지급하도록 규정하는 게임 규칙에 따르면, 추가 기대 가치는 카지노가 한 라운드를 더 감당할 수 있는 충분한 자금을 가지고 있는 경우보다 적다. 즉, 1USD 미만이다. 플레이어가 를 얻기 위해서는 라운드 을 플레이할 수 있어야 한다. 따라서 추가 기대 가치는 이다.

뷔퐁^[17]은 합리적인 행동 이론은 합리적인 의사 결정자가 실제 생활에서 행하는 방식과 일치해야 하며, 합리적인 사람들은 충분히 발생 가능성이 낮은 사건들을 정기적으로 무시하기 때문에, 합리적인 의사 결정자 또한 그러한 드문 사건들을 무시해야 한다고 주장했다.

무시할 수 있는 임계값의 추정치로, 그는 56세 남성이 다음 24시간 내에 사망할 가능성을 무시하는데, 이는 당시 생명표에 따르면 1/10189의 확률을 가지므로, 1/10,000 미만의 확률을 가진 사건들은 무시할 수 있다고 주장했다. 이를 가정하면, 상트페테르부르크 게임의 기대 가치는 13이다.

현실적으로는, 상금에는 상한이 있다. 예를 들어, 주최 측의 재산이 1억 엔이라고 하자. 27회 연속으로 뒷면이 나오면, 상금은 1억 엔을 넘게 되므로, 26회 뒷면이 나온 시점에서 게임을 중단해야 할 것이다. 그러면, 기대값은

: $\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2^2}\cdot 2+\cdots+\frac{1}{2^{26}}\cdot 2^{25}+\frac{1}{2^{26}}\cdot 2^{26}=14$

로 14JPY이 된다. 비슷한 계산을 해보면, 주최 측이 아무리 거액의 재산을 가지고 있더라도, 현실적인 범위에서는 기대값이 기껏해야 수십 엔의 범위에 머물게 된다는 것을 알 수 있다.

4. 4. 수학적 기대값 거부

장 르 롱 달랑베르와 존 메이너드 케인스를 포함한 여러 학자들은 기대값(또는 효용) 극대화를 적절한 행동 규칙으로 받아들이지 않았다.^[23]^[24] 특히 케인스는 어떤 대안의 '상대적 위험'이 매우 커서 기대값이 아무리 크더라도 그 대안을 거부할 수 있다고 주장했다.^[24] 최근에는 일부 연구자들이 기대값을 중앙값으로 대체하여 공정한 가치를 추정하자는 제안을 하기도 했다.^[25]^[26]

4. 5. 에르고딕성

윌리엄 앨런 휘트워스는 1870년에 곱셈 역학을 가정한 필수적인 수학적 논증을 담은 초기 해결책을 제시했다.^[27] 에르고딕 문제에 대한 명시적인 연관성은 2011년 피터스에 의해 제기되었다.^[28] 이러한 해결책은 켈리 기준 또는 로그 효용을 사용하는 것과 수학적으로 유사하다. 2020년 Carr와 Cherubini가 지적했듯이, 순수한 곱셈 경우를 넘어선 일반적인 역학은 비로그 효용 함수에 해당할 수 있다.^[29]

4. 6. 의사 결정 모델

상트페테르부르크의 역설을 해결하기 위해 전략의 인지적 측면과 관련된 매개변수를 사용하는 접근 방식이 주목받고 있다. 이 접근 방식은 비에르고딕 시스템을 금융에서 연구하여 개발되었으며, 금융 시장의 비정상성에 대한 많은 연구가 진행되고 있다.^[30]^[31]

통계적 관점에서 현상에 대한 지식은 예측 확률을 높인다. 실제로 유용한 정보를 활용하는 비무작위 예측 알고리즘으로 만들어진 결과는 무작위로 재현될 수 없다(예측 횟수가 증가함에 따라 확률은 0에 가까워진다). 따라서 전략이 인지적으로 작동하는지, 아니면 무작위로 작동하는지 이해하려면 무작위로 동일하거나 더 나은 결과를 얻을 확률을 계산하면 된다. 상트페테르부르크의 역설의 경우, 배가 전략은 총 베팅 가치 측면에서 완전히 무작위적이지만, 동일한 상수 베팅 전략과 비교했을 때 무작위 상수 베팅 전략이 베팅 횟수가 증가함에 따라 50%에 가까워지는 확률로 더 나은 결과를 얻는다는 것을 알 수 있다. 배가 전략이 시스템에 대한 유용한 정보를 활용했다면, 이 확률은 50%로 수렴하는 대신 0으로 수렴해야 한다. 이는 이 전략이 유용한 정보를 사용하지 않는다는 것을 보여준다.

이러한 관점에서 볼 때, 상트페테르부르크의 역설은 무한대로 향하는 기대 이익이 항상 인지적이고 비무작위적인 전략의 존재를 의미하지는 않는다는 것을 가르쳐준다. 결과적으로 의사 결정 관점에서, 우리는 지식이 기대 이익보다 더 중요하게 나타나는 가치 계층을 만들 수 있다.

5. 현대적 논의

이 역설은 3세기나 되었지만, 최근 몇 년 동안에도 새로운 논의가 계속해서 제기되고 있다. 이 역설을 이해하는 핵심 중 하나는 게임을 반복하는 횟수이다. 간단히 말해, 미리 게임을 몇 번 반복할지 정해두면 비교적 공정한 베팅 금액을 설정할 수 있다.

상금의 기대값은 발산한다. 따라서, 제 n번째 획득 상금(n번 동전을 던진다는 의미가 아니라, n은 이 게임에 몇 번 참가했는지를 나타낸다)을 X_n이라고 하면, 임의의 실수 W에 대해, 다음 식을 만족하는 양수 ε는 존재하지 않는다.

: $\lim_{n \to \infty} P \left( \left| \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{n} - W \right| < \epsilon \right) = 1$

어떻게 발산하는지를 정량적으로 평가해 보면, 임의의 양수 ε에 대해, 다음 식을 만족하는 함수 f가 존재할 수 있다.

: $\lim_{n\to\infty} P \left( \left| \frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{f(n)} - W \right| < \epsilon \right) = 1$

W = 1로 하면, f(n) = n log₂ n으로 할 수 있다는 것이 알려져 있다. 즉, $\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ 은 log₂ n처럼 발산해 간다.

따라서, 이 게임을 공정하게 설정하려면 참가자는 처음에 이 게임에 몇 번 참가하고 싶은지 신고하게 하고, 그 횟수 n에 따라 참가비를 n log₂ n으로 하면 된다. 이 게임 참가비는 참가 횟수에 대해 비선형적으로 증가하는 특수한 재화이다.

예를 들어 n = 1000으로 한다고 가정하면, 이 게임의 판매점은 게임 1000회분을 한 세트로 판매하는 것이다. 이때 가격은 약 9969 (≈ 1000 log₂ 1000) 엔 정도가 된다.

하지만 게임 참가권은 묶음 구매보다 낱개 구매가 더 유리하기 때문에, 소비자는 낱개로 구매하려 할 것이다. 그러면 판매점 측에서는 어렵게 참가비를 비선형화한 의미가 없어지고, 판매점 측에는 불리하다. 즉, 판매점 측은 세트를 팔면 팔수록 손해를 보고, 언젠가는 대박이 터져 파산할 것으로 예측된다.

5. 1. 펠러

윌리엄 펠러는 표본 추출을 이용한 해법을 제시했다.^[32] 펠러의 해답은 직관적으로 "많은 수의 사람들과 이 게임을 수행하고, 표본 추출로부터 기대값을 계산하는 것"이다. 이 방법에서 무한 번의 게임이 가능할 경우 기대값은 무한대가 되고, 유한할 경우에는 기대값이 훨씬 작은 값이 된다.^[44]

5. 2. 새뮤얼슨

폴 새뮤얼슨은 어떤 개체가 무한한 자원을 가지고 있더라도 이 게임은 결코 제공되지 않을 것이라고 주장하며 역설을 해결했다.^[33] 복권이 플레이어에게 무한한 기대 이익을 나타낸다면, 호스트에게는 무한한 기대 손실을 나타내는 것이기도 하다. 게임이 제공되지 않을 것이기 때문에 아무도 게임을 하기 위해 돈을 지불하는 것을 관찰할 수 없을 것이다. 새뮤얼슨은 "폴은 그러한 계약에 대해 피터가 요구하는 만큼 기꺼이 지불하지 않을 것이며, 따라서 지시된 활동은 제로 강도의 균형 수준에서 발생할 것이다."라고 요약했다.

5. 3. 파사데나 게임

상트페테르부르크의 역설에 대한 해결책에 대응하기 위해 게임의 여러 변형이 제안되었다.^[11]

예를 들어, "파사데나 게임"이 있다.^[34] Pasadena Game^영어에서 n^영어을 동전 던지기 횟수라고 하자. 만약 n^영어이 홀수이면, 플레이어는 $\frac{2^n}{n}$ 단위의 효용을 얻고, 짝수이면 $\frac{2^n}{n}$ 단위의 효용을 잃는다. 이 게임의 기대 효용은 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$이다. 하지만, 합이 절대 수렴하지 않기 때문에, 양수 또는 음의 무한대를 포함하여 어떤 숫자라도 합으로 재배열될 수 있다. 이는 파사데나 게임의 기대 효용이 합산 순서에 따라 달라진다는 것을 시사하지만, 표준 의사 결정 이론은 합산 순서를 선택할 원칙적인 방법을 제공하지 않는다.

6. 한국 사회에의 시사점

상트페테르부르크의 역설은 한국 사회에서 도박, 복권, 투자와 관련하여 다음과 같은 시사점을 갖는다.

도박 및 복권 문제: 한국 사회는 복권 판매량이 매우 높고, 불법 도박 시장도 광범위하게 퍼져 있다. 이는 사람들이 큰 기대값을 가진 도박이나 복권을 선호하는 경향을 보여주는 것으로 해석될 수 있다. 상트페테르부르크의 역설은 이러한 행동이 반드시 비합리적인 것은 아니지만, 기대값의 함정에 빠질 수 있음을 경고한다.

투자 행태: 주식, 부동산 등 투자 시장에서도 비슷한 현상이 나타난다. 사람들은 낮은 확률에도 불구하고 높은 수익률을 기대하며 투자하는 경우가 많다. 이는 때로는 큰 성공으로 이어지기도 하지만, 반대로 큰 손실을 초래할 수도 있다. 상트페테르부르크의 역설은 투자자들이 기대값뿐만 아니라 위험도 함께 고려해야 함을 시사한다.

정책적 함의: 정부는 도박 및 복권과 관련한 정책을 수립할 때, 사람들의 심리적 특성을 고려해야 한다. 단순한 기대값 계산보다는, 사람들이 실제로 어떻게 행동하는지를 이해하고, 이에 기반한 정책을 설계해야 한다. 예를 들어, 복권 판매 수익금을 공익적인 목적으로 사용하는 것은 사람들의 구매 동기를 높이는 요인이 될 수 있다.

결론적으로, 상트페테르부르크의 역설은 한국 사회의 다양한 의사 결정 상황에서 중요한 통찰력을 제공한다. 기대값과 효용의 관계를 이해하고, 합리적인 선택을 하기 위해서는 개인과 사회 모두의 노력이 필요하다.

참조

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