소파 옮기기 문제

1. 개요

소파 옮기기 문제는 L자형 복도를 통과할 수 있는 평면 도형의 최대 면적을 찾는 수학 문제이다. 1966년 레오 모저에 의해 처음 공식적으로 언급되었으며, 복도의 높이는 고려하지 않고 복도의 길이는 결과에 영향을 미치지 않는다는 조건이 있다. 소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 진행되었으며, 존 해머슬리는 수화기 모양의 소파를 고안하여 하한을 약 2.2074로 높였고, 조셉 게르버는 18개의 곡선으로 이루어진 도형을 제시하여 하한을 약 2.2195로 더욱 높였다. 상한은 해머슬리에 의해 2.8284로 제시되었고, 2017년 요아브 칼루스와 단 로믹에 의해 2.37로 갱신되었다. 2024년에는 백진언이 게르버 소파가 최대 면적을 제공한다고 주장하는 논문을 발표했다.

2. 역사

소파 옮기기 문제는 1966년 오스트리아계 캐나다인 수학자 레오 모저에 의해 처음 공식적으로 출판되었지만, 그 이전에도 비공식적인 언급이 많이 있었다.

3. 조건

소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다. 복도의 높이는 고려하지 않으며, 복도의 길이는 결과와 무관하다.

4. 면적의 상한과 하한

소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.
소파 상수(A)가 특정 값 이하 또는 이상일 수 없음을 증명하기 위한 연구가 진행되어 왔다.
통로의 폭이 1일 때, 반지름 1의 반원은 L자형 통로를 통과할 수 있으므로, A의 하한 중 하나로 $A\; \backslash geq\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash approx\; 1.570796$이 쉽게 얻어진다.

1968년에 John Hammersley/존 해머슬리^영어는 더 나은 A의 하한 중 하나를 발견했다.$1\backslash times\backslash frac\{4\}\{\backslash pi\}$의 직사각형 양쪽에 반지름 1의 사분원을 접합시킨 도형에서, 지름 $\backslash frac\{4\}\{\backslash pi\}$의 반원을 잘라낸 수화기 모양의 소파로, $A\; \backslash geq\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\; \backslash approx\; 2.207416$이 된다。

1992년에 럿거스 대학교의 조셉 거버(Joseph L. Gerver)는 18개의 선(3개의 직선과 15개의 곡선)으로 이루어진 도형으로, 더욱 뛰어난 A의 하한 중 하나 2.21953166887...가 제시되었다。
한편, A의 상계에 관해서는, 해머즐리에 의한 간단한 논의에 의해 기껏해야 $2\backslash sqrt\{2\}\; \backslash approx\; 2.828427$ 임이 제시되었다.

2017년 6월에 요아브 칼루스(Yoav Kallus)와 은 새로운 상계로서 2.37을 증명했다.

4.1. 하한

가장 간단한 하한은 반지름 1인 반원의 면적인 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash approx1.57$이다. 1968년, 존 해머슬리는 가로 $4/\backslash pi$ 세로 1인 직사각형에서 반지름이 $2/\backslash pi$인 반원을 잘라내어 만든, 수화기 모양의 소파를 고안하여 하한을 $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}\backslash approx2.2074$로 높였다. 이 소파는 넓이가 $2/\backslash pi$ 인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각 $\backslash pi/4$ 인 사분면 2개로 이루어져 있다.

1992년, 럿거스 대학교의 조셉 게르버(Joseph Gerver)는 18개의 곡선으로 이루어진 소파를 제시하여 하한을 약 $2.2195$로 더욱 높였다. 이는 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.

4.2. 상한

해머슬리는 소파 상수의 상계를 $2\backslash sqrt\{2\}\; \backslash approx\; 2.8284$로 제시했다. 2017년 요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상계 2.37을 증명했다. 이들은 복도를 유한한 수의 서로 다른 각도로 회전시키고 컴퓨터 검색을 통해 각 회전된 복사본에 대한 평행이동을 찾는 방식으로 상한을 증명했다.

5. 좌우이심의 소파

단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다. 면적 공식은 다음과 같다.

:$\backslash sqrt[3]\{3+2\backslash sqrt\{2\}\}+\backslash sqrt[3]\{3-2\backslash sqrt\{2\}\}-1+\backslash tan^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\{1\; \backslash over\; 2\; \}\backslash left(\backslash sqrt[3]\{\backslash sqrt\{2\}+1\}-\backslash sqrt[3]\{\backslash sqrt\{2\}-1\}\; \backslash right)\; \backslash right\backslash \}\backslash approx1.644955218$

소파 문제의 변형은 복도에서 왼쪽과 오른쪽 90도 모퉁이를 모두 통과할 수 있는 최대 면적의 모양을 묻는다. 로믹은 18개의 곡선으로 이루어진 도형으로, 약 1.644955218의 면적을 가지는 소파를 제시했다.

6. 한국의 연구

2024년11월 29일, 대한민국 연세대학교의 박사 연구원인 백진언(백진언; 白眞言)은 소파 문제를 해결했다고 주장하는 논문을 arXiv에 게재했다. 백진언의 논문에 따르면, 게르버가 제시한 경우가 실제로 최대값을 제공한다고 한다.

7. 옮기기 가능한 도형

옮기기가 가능하다고 증명된 도형으로는 길이 선분/line segment^영어, 한 변의 길이가 1인 정사각형, 밑변이 2이고 높이가 1인 삼각형, 반지름의 길이가 1인 반원 등이 있다. 좌우이심의 소파는 약 1.645, 해머즐리 소파는 해머즐리 소파/Hammersley sofa^영어는 \(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074\), 게르버 소파는 약 2.2195의 넓이를 갖는다.