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소파 옮기기 문제

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목차

1. 개요

소파 옮기기 문제는 L자형 복도를 통과할 수 있는 평면 도형의 최대 면적을 찾는 수학 문제이다. 1966년 레오 모저에 의해 처음 공식적으로 언급되었으며, 복도의 높이는 고려하지 않고 복도의 길이는 결과에 영향을 미치지 않는다는 조건이 있다. 소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 진행되었으며, 존 해머슬리는 수화기 모양의 소파를 고안하여 하한을 약 2.2074로 높였고, 조셉 게르버는 18개의 곡선으로 이루어진 도형을 제시하여 하한을 약 2.2195로 더욱 높였다. 상한은 해머슬리에 의해 2.8284로 제시되었고, 2017년 요아브 칼루스와 단 로믹에 의해 2.37로 갱신되었다. 2024년에는 백진언이 게르버 소파가 최대 면적을 제공한다고 주장하는 논문을 발표했다.

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소파 옮기기 문제
문제 개요
이름소파 옮기기 문제
다른 이름소파 문제
분야기하학, 모션 플래닝
상태미해결 문제
문제 내용
설명단위 너비의 L자형 복도를 통과할 수 있는 최대 면적의 2차원 강체(소파)를 찾는 문제
최대 면적 추정π/2 + 2/π ≈ 2.207416...
역사
최초 제안레오 모저 (Leo Moser)
제안 시기1960년대 초반
알려진 정보
하한2.219531669 (2024년 Jineon Baek이 증명)
상한2.37
관련 연구
논문Neal R. Wagner, The Sofa Problem (The American Mathematical Monthly, 83(3), 1976, pp. 188–189)
arXivJineon Baek, Optimality of Gerver's Sofa (2024)

2. 역사

소파 옮기기 문제는 1966년 오스트리아계 캐나다인 수학자 레오 모저에 의해 처음 공식적으로 출판되었지만,[24][3] 그 이전에도 비공식적인 언급이 많이 있었다.[1]

3. 조건

소파 옮기기 문제에서는 조건이 있다.[22] 복도의 높이는 고려하지 않으며, 복도의 길이는 결과와 무관하다.

4. 면적의 상한과 하한

헤머슬리 소파(Hammersley sofa)의 면적은 약 2.2074이지만 게르버 소파의 면적보다 더 작다.


게르버(Gerver's sofa)의 면적은 약 2.2195이며 현재까지 알려진 가장 큰 하한이다.


로믹(Romik)의 좌우이심 소파(Ambidextrous sofa)


소파의 단면적 A의 상한과 하한에 대한 연구가 많이 이루어졌다.

소파 상수(A)가 특정 값 이하 또는 이상일 수 없음을 증명하기 위한 연구가 진행되어 왔다.

통로의 폭이 1일 때, 반지름 1의 반원은 L자형 통로를 통과할 수 있으므로, ''A''의 하한 중 하나로 A \geq \frac{\pi}{2} \approx 1.570796이 쉽게 얻어진다.

1968년에 John Hammersley/존 해머슬리영어는 더 나은 ''A''의 하한 중 하나를 발견했다[13].1\times\frac{4}{\pi}의 직사각형 양쪽에 반지름 1의 사분원을 접합시킨 도형에서, 지름 \frac{4}{\pi}의 반원을 잘라낸 수화기 모양의 소파로, A \geq \frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi} \approx 2.207416이 된다[14][15]。

1992년에 럿거스 대학교의 조셉 거버(Joseph L. Gerver)는 18개의 선(3개의 직선과 15개의 곡선)으로 이루어진 도형으로, 더욱 뛰어난 ''A''의 하한 중 하나 2.21953166887...가 제시되었다[16]。

한편, ''A''의 상계에 관해서는, 해머즐리에 의한 간단한 논의에 의해 기껏해야 2\sqrt{2} \approx 2.828427 임이 제시되었다.[17][18]

2017년 6월에 요아브 칼루스(Yoav Kallus)와 은 새로운 상계로서 2.37을 증명했다.[19]

4. 1. 하한

가장 간단한 하한은 반지름 1인 반원의 면적인 \frac{\pi}{2}\approx1.57이다.[22][23] 1968년, 존 해머슬리는 가로 4/\pi 세로 1인 직사각형에서 반지름이 2/\pi인 반원을 잘라내어 만든, 수화기 모양의 소파를 고안하여 하한을 \frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074로 높였다.[4][22] 이 소파는 넓이가 2/\pi 인 도형 1개와, 반지름이 1이고 넓이가 각각 \pi/4 인 사분면 2개로 이루어져 있다.

1992년, 럿거스 대학교의 조셉 게르버(Joseph Gerver)는 18개의 곡선으로 이루어진 소파를 제시하여 하한을 약 2.2195로 더욱 높였다.[7][8][22][25] 이는 해머슬리 소파보다 약 0.01 더 넓다.

게르버의 형태와 소파보다 더 가까운 전화 수화기

4. 2. 상한

해머슬리는 소파 상수의 상계를 2\sqrt{2} \approx 2.8284로 제시했다.[24][26][4][1][9][17][18] 2017년 요아브 캘러스(Yoav Kallus)와 단 로믹(Dan Romik)은 새로운 상계 2.37을 증명했다.[27][19] 이들은 복도를 유한한 수의 서로 다른 각도로 회전시키고 컴퓨터 검색을 통해 각 회전된 복사본에 대한 평행이동을 찾는 방식으로 상한을 증명했다.[10]

5. 좌우이심의 소파

단 로믹(Dan Romik)이 고안한 좌우이심(左右二心)의 소파는 게르버 소파보다 더 아름다운 모양이다.[11][12] 면적 공식은 다음과 같다.

:\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}-1+\tan^{-1} \left\{{1 \over 2 }\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \right) \right\}\approx1.644955218

소파 문제의 변형은 복도에서 왼쪽과 오른쪽 90도 모퉁이를 모두 통과할 수 있는 최대 면적의 모양을 묻는다. 로믹은 18개의 곡선으로 이루어진 도형으로, 약 1.644955218의 면적을 가지는 소파를 제시했다.[20]

6. 한국의 연구

2024년11월 29일, 대한민국 연세대학교의 박사 연구원인 백진언(백진언; 白眞言)은 소파 문제를 해결했다고 주장하는 논문을 arXiv에 게재했다.[21] 백진언의 논문에 따르면, 게르버가 제시한 경우가 실제로 최대값을 제공한다고 한다.[21]

7. 옮기기 가능한 도형

옮기기가 가능하다고 증명된 도형으로는 길이 선분/line segment영어, 한 변의 길이가 1인 정사각형, 밑변이 2이고 높이가 1인 삼각형, 반지름의 길이가 1인 반원 등이 있다.[22][23] 좌우이심의 소파는 약 1.645, 해머즐리 소파는 해머즐리 소파/Hammersley sofa영어는 \(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074\), 게르버 소파는 약 2.2195의 넓이를 갖는다.[22][23]

종류설명넓이
선분길이 \(2\sqrt{2}\)0
정사각형한 변의 길이 \(1\)\(1\)
직사각형\(1\)
삼각형밑변 \(2\), 높이 \(1\)\(1\)
반원반지름의 길이 \(1\)\(\frac{\pi}{2}\approx1.57\)
좌우이심의 소파\(\approx1.645\)
해머즐리 소파\(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\approx2.2074\)
게르버 소파\(\approx2.2195\)


참조

[1] 학술지 The Sofa Problem https://web.archive.[...] 2009-07-25
[2] arXiv Optimality of Gerver's Sofa 2024-11-29
[3] 학술지 Problem 66-11, Moving furniture through a hallway 1966-07
[4] 학술지 On the enfeeblement of mathematical skills by 'Modern Mathematics' and by similar soft intellectual trash in schools and universities https://archive.org/[...]
[5] 서적 Unsolved Problems in Geometry https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2013-04-24
[6] 웹사이트 Moving Sofa Constant https://web.archive.[...]
[7] 학술지 On Moving a Sofa Around a Corner
[8] MathWorld Moving sofa problem
[9] 서적 Another Fine Math You've Got Me Into... http://store.doverpu[...] Dover Publications 2013-04-24
[10] 학술지 Improved upper bounds in the moving sofa problem 2018-12
[11] 학술지 Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem
[12] 웹사이트 The moving sofa problem - Dan Romik's home page https://www.math.ucd[...] 2017-03-26
[13] 학술지 On the enfeeblement of mathematical skills by 'Modern Mathematics' and by similar soft intellectual trash in schools and universities https://archive.org/[...]
[14] 서적 Unsolved Problems in Geometry http://www.springer.[...] Springer-Verlag 2013-04-24
[15] 웹사이트 Moving Sofa Constant https://web.archive.[...]
[16] 학술지 On Moving a Sofa Around a Corner
[17] 학술지 The Sofa Problem http://www.cs.utsa.e[...]
[18] 서적 Another Fine Math You've Got Me Into... http://store.doverpu[...] Dover Publications 2013-04-24
[19] 학술지 Improved upper bounds in the moving sofa problem 2018-12
[20] 학술지 Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem
[21] arXiv Optimality of Gerver's Sofa 2024-11-29
[22] 서적 이토록 재미있는 수학이라니 미디어숲
[23] 서적 "[신문과 놀자!/눈이 커지는 수학]폭 1m의 꺾인 복도를 통과할 수 있는 소파는?" https://www.donga.co[...]
[24] 학술지 https://web.archive.[...] 2020-10-10
[25] 웹인용 Moving Sofa Problem https://mathworld.wo[...]
[26] 서적 http://store.doverpu[...]
[27] 학술지


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