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반원

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목차

1. 개요

반원은 원을 지름으로 이등분하여 만들어지는 도형이다. 자와 컴퍼스를 사용하여 산술 평균과 기하 평균을 작도하는 데 사용될 수 있으며, 특히 기하 평균의 작도는 직사각형의 정사각형화 문제와 임의의 다각형을 다른 다각형의 면적을 가진 유사한 복사본으로 변환하는 데 활용된다. 중심점 (x₀, y₀)을 기준으로 하는 반원의 방정식은 y = y₀ ± √(r² - (x - x₀)²)으로 표현된다. 또한, 페리 수열을 시각화하는 포드 원을 구성하는 데 사용되며, 아르벨로스와 같은 도형의 구성 요소로도 활용된다.

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반원
개요
반원
반원
넓이πr²/2
둘레(π+2)r

2. 수학적 성질

'''아벨로스''' (회색 부분)


아벨로스는 세 개의 반원으로 둘러싸인 평면 도형을 말한다.

2. 1. 방정식

좌표 평면에서 중심점 (x_0, y_0)을 지름의 양 끝점 사이에 두고 반지름이 r인 반원의 방정식은 다음과 같다.

아래로 오목한 (위쪽 반원) 경우의 방정식은 다음과 같다.

: y = y_0 + \sqrt{r^2 - (x - x_0)^2}

위로 오목한 (아래쪽 반원) 경우의 방정식은 다음과 같다.

: y = y_0 - \sqrt{r^2 - (x - x_0)^2}

2. 2. 산술 및 기하 평균

반원을 이용하여 길이 a와 b의 산술 평균(반지름 R)과 기하 평균(높이 h)을 작도하는 모습


반원은 자/컴퍼스를 사용하여 두 길이 ''a''와 ''b''의 산술 평균과 기하 평균을 작도하는 데 사용될 수 있다. 지름이 ''a'' + ''b''인 반원을 생각해보자. 이 반원의 반지름 길이는 (''a'' + ''b'') / 2 인데, 이는 ''a''와 ''b''의 산술 평균과 같다.

기하 평균은 다음과 같이 작도할 수 있다. 먼저 지름을 길이 ''a''와 ''b''인 두 부분으로 나눈다. 두 부분이 만나는 점에서 지름에 수직인 선분을 그어 반원과 만나는 점까지 연결한다. 이 수직 선분(그림에서 높이 ''h'')의 길이가 바로 ''a''와 ''b''의 기하 평균(√(''ab''))이다. 이 사실은 피타고라스 정리를 이용하여 증명할 수 있다. 수직선이 반원과 만나는 점, 그리고 지름의 양 끝점 및 분할점을 꼭짓점으로 하는 세 개의 닮은 직각삼각형을 이용하면 된다.[1]

기하 평균 작도를 이용한 직사각형의 정사각형화


기하 평균의 작도는 주어진 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 만드는 문제, 즉 직사각형의 정사각형화 문제에 활용될 수 있다. 이때 만들어지는 정사각형의 한 변의 길이는 원래 직사각형의 두 변 길이(''a'', ''b'')의 기하 평균과 같다. 더 나아가, 이 방법은 임의의 다각형을 주어진 넓이를 가지면서 원래 다각형과 닮은 도형으로 변환하는 일반적인 방법의 보조 정리로 사용되기도 한다.[2]

3. 기하학적 작도

반원은 다양한 기하학적 작도 문제에서 중요한 역할을 수행한다. 대표적인 예로, 주어진 직사각형과 넓이가 동일한 정사각형을 만드는 정사각형화 문제가 있다. 이 과정에서 반원은 직사각형의 두 변 길이의 기하 평균을 자/컴퍼스만으로 작도하는 데 핵심적으로 사용된다. 또한, 수학의 Farey 수열을 기하학적으로 표현하는 Farey 다이어그램을 구성할 때도 반원이 활용된다. 이처럼 반원은 기하학의 여러 분야에서 기본적인 도형이자 유용한 작도 도구로 쓰인다.

3. 1. 정사각형화



주어진 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 자/컴퍼스만으로 작도하는 문제를 직사각형의 정사각형화라고 한다. 이때 만들어지는 정사각형의 한 변의 길이는 원래 직사각형의 두 변 길이(가로 ''a'', 세로 ''b'')의 기하 평균(\sqrt{ab})과 같다.

반원은 자/컴퍼스를 사용하여 두 길이의 기하 평균을 작도하는 데 사용될 수 있다. 먼저 직사각형의 두 변의 길이 ''a''와 ''b''를 더한 값을 지름으로 하는 반원을 그린다. 지름 위에서 길이가 ''a''인 부분과 ''b''인 부분이 만나는 점에서 지름에 수직인 선분을 그어 반원과 만나는 점까지 연결하면, 이 선분의 길이가 바로 ''a''와 ''b''의 기하 평균이 된다. 이는 수직선이 반원에 닿는 점과 길이 ''a''와 ''b''의 세그먼트의 세 개의 끝점 중 두 개를 꼭지점으로 갖는 세 개의 닮은 직각 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하여 증명할 수 있다.[1][6]

따라서 이 기하 평균 작도법을 이용하면, 임의의 직사각형을 동일한 면적의 정사각형으로 변환하는 정사각형화 문제를 해결할 수 있다. 더 일반적으로, 이 방법은 임의의 다각형 모양을 다른 주어진 다각형 모양의 면적을 가진 유사한 복사본으로 변환하는 일반적인 방법의 보조 정리로 사용된다.[2][7]

3. 2. Farey 수열 (페리 수열)

포드 원과 차수 ''n''이 1에서 9까지인 반원을 사용한 Farey 다이어그램의 비교. 각 반원은 해당 포드 원과 직각으로 교차한다.


차수 ''n''의 Farey 수열은 분모가 ''n''보다 작거나 같은 기약분수들을 크기 순서대로 정렬한 수열이다. 일반적으로 Farey 수열은 0/1 (값 0)에서 시작하여 1/1 (값 1)로 끝난다.

포드 원은 x축과 서로 이웃한 원에 접하는 원들의 집합으로 구성될 수 있다. 이때 x축 위의 인접한 두 분수 값에 해당하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 반원을 그리면, 이 반원은 해당 분수에 대응하는 포드 원과 직각으로 만난다.[3] 이러한 반원들을 이용하여 Farey 수열을 기하학적으로 표현한 것을 Farey 다이어그램이라고 한다.

4. 활용

반원은 기하학 등 다양한 분야에서 활용될 수 있다. 대표적인 예시 중 하나로 아르벨로스가 있다.

4. 1. 아르벨로스



아르벨로스는 같은 직선 (기선) 위에 있는 세 개의 반원들이 끝점에서 연결되어 만들어진 평면상의 영역이다.

참조

[1] 웹사이트 Euclid's Elements, Book VI, Proposition 13 http://aleph0.clarku[...]
[2] 웹사이트 Euclid's Elements, Book VI, Proposition 25 https://mathcs.clark[...]
[3] 웹사이트 Ford Circle http://mathworld.wol[...]
[4] 웹사이트 半円（読み）はんえん https://kotobank.jp/[...] 2021-12-09
[5] 웹사이트 扇形（おうぎがた）（読み）おうぎがた https://kotobank.jp/[...] 2021-12-09
[6] 서적 유클리드『원론』6권13장
[7] 서적 유클리드『원론』6권25장
[8] 웹인용 Circular Half http://www.efunda.co[...] 2016-04-23


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