스큐스 수

3. 스큐스 수의 상한 개선

존 이든저 리틀우드는 $x$가 커짐에 따라 $\backslash pi(x)\; -\; \backslash textrm\{li\}(x)$의 부호가 무한히 많이 바뀜을 증명하였다. 그러나 모든 수치적 계산으로는 π(''x'') 가 항상 li(''x'')보다 작은 것처럼 보였다. 리틀우드는 항상 그렇지는 않으며, π(''x'') − li(''x'')가 0을 초과하는 수 ''x''가 있다고 주장했다.

스큐스는 1933년에 리만 가설이 참이라는 가정 하에, $e^\{e^\{e^\{79\}\}\}$ 이하의 수에서 $\backslash pi(x)$의 값이 $\backslash textrm\{li\}(x)$의 값보다 커지는 순간이 존재함을 증명하였다. 이는 대략 $10^\{10^\{8.85*10^\{33\}\}\}$에 근접한다. 또한 스큐스는 1956년에 리만 가설이 참이라는 가정을 쓰지 않고 그 $x$ 값이 $10^\{10^\{3.3*10^\{963\}\}\}$ 이하임을 증명하였다. 스큐스의 작업은 리틀우드의 존재성 증명을 효과적으로 개선한 것이었다.

이러한 상한은 이후 영점의 대규모 컴퓨터 계산을 사용하여 상당히 감소했다. 리만 제타 함수. 교차점의 실제 값에 대한 첫 번째 추정치는 레만(Lehman)에 의해 주어졌으며, 그는 $1.53\backslash times\; 10^\{1165\}$와 $1.65\backslash times\; 10^\{1165\}$ 사이 어딘가에 $\backslash pi(x)\; >\; \backslash operatorname\{li\}(x)$인 $10^\{500\}$개 이상의 연속적인 정수 $x$가 있음을 보여주었다.

리만 가설을 가정하지 않고, H. J. J. te Riele는 1987년에 $7\backslash times\; 10^\{370\}$의 상한을 증명했다. 더 나은 추정치는 Bays와 Hudson에 의해 발견된 $1.39822\backslash times\; 10^\{316\}$였으며, 그들은 이 값 근처 어딘가에 $\backslash pi(x)\; >\; \backslash operatorname\{li\}(x)$인 최소 $10^\{153\}$개의 연속적인 정수가 있음을 보여주었다. Bays와 Hudson은 $\backslash pi(x)$가 $\backslash operatorname\{li\}(x)$에 가까워지는 몇 가지 훨씬 더 작은 값의 $x$를 발견했다. 이러한 값 근처에 교차점이 존재할 가능성은 아직 확실히 배제되지 않은 것으로 보이지만, 컴퓨터 계산에 따르면 존재할 가능성은 낮다. Chao와 Plymen은 Bays와 Hudson의 결과에 약간의 개선과 수정을 가했다. Saouter와 Demichel은 교차점에 대한 더 작은 간격을 발견했으며, 이는 Zegowitz에 의해 약간 개선되었다. 동일한 출처는 를 위반하는 숫자 $x$가 아래에 존재함을 보여준다. 이것은 리만 가설을 가정하면 로 줄일 수 있다. Stoll과 Demichel은 $1.39716\; \backslash times\; 10^\{316\}$을 제공했다.

엄밀하게, Rosser와 Schoenfeld는 $x\; =\; 10^8$ 아래에 교차점이 없음을 증명했으며, Brent에 의해 $8\backslash times\; 10^\{10\}$으로, Kotnik에 의해 $10^\{14\}$으로, Platt와 Trudgian에 의해 $1.39\backslash times\; 10^\{17\}$으로, Büthe에 의해 $10^\{19\}$으로 개선되었다.

$\backslash pi(x)\; >\; \backslash operatorname\{li\}(x),$ 속성을 갖는 것으로 확실히 알려진 명시적인 값 $x$는 없지만, 컴퓨터 계산에 따르면 이를 만족할 가능성이 매우 높은 몇 가지 명시적인 숫자가 있다.

$\backslash pi(x)\; >\; \backslash operatorname\{li\}(x)$인 양의 정수의 자연 밀도는 존재하지 않지만, Wintner는 이러한 양의 정수의 로그 밀도가 존재하고 양수임을 보여주었다. Rubinstein와 Sarnak는 이 비율이 약 0.00000026으로, 첫 번째 예를 찾기 위해 얼마나 멀리 가야 하는지를 고려할 때 놀랍도록 크다는 것을 보여주었다.

4. 하한에 대한 연구

1962년 Rosser와 Schoenfeld는 $x\; =\; 10^8$ 이하에서는 π(x) < li(x)임을 증명했다. 이 기록은 Brent (1975)에 의해 8 × 10¹⁰까지, Kotnik (2008)에 의해 10¹⁴까지 갱신되었다. π(x) > li(x)를 만족하는 구체적인 x 값은 아직 알려지지 않았지만, 컴퓨터 계산을 통해 가능성이 높은 몇 가지 숫자가 제시되고 있다.

5. 스큐스 수와 관련된 추가적인 정보

존 이든저 리틀우드는 $x$가 커짐에 따라 $\backslash pi(x)\; -\; \backslash textrm\{li\}(x)$의 부호가 무한히 많이 바뀜을 증명하였다.^[1] 그러나 모든 수치적 계산으로는 π(''x'') 가 항상 li(''x'')보다 작은 것처럼 보였다. 리틀우드는 항상 그렇지는 않으며, π(''x'') − li(''x'')가 0을 초과하는 수 ''x''가 있다고 주장했다.

리만은 $\backslash pi(x)$에 대한 명시적 공식을 제시했는데, 주요 항은 다음과 같다(미묘한 수렴 문제는 무시).

:$\backslash pi(x)\; =\; \backslash operatorname\{li\}(x)\; -\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash operatorname\{li\}(\backslash sqrt\{x\backslash ,\})\; -\; \backslash sum\_\{\backslash rho\}\; \backslash operatorname\{li\}(x^\backslash rho)\; +\; \backslash text\{작은\; 항\}$

여기서 합은 리만 제타 함수의 비자명 영점 집합에 있는 모든 $\backslash rho$에 대한 것이다.

근사식 $\backslash pi(x)\; \backslash approx\; \backslash operatorname\{li\}(x)$에서 가장 큰 오차 항은 (만약 리만 가설이 참이라면) 음의 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash operatorname\{li\}(\backslash sqrt\{x\backslash ,\})$이며, 이는 $\backslash operatorname\{li\}(x)$가 보통 $\backslash pi(x)$보다 크다는 것을 보여준다. 위의 다른 항들은 다소 작으며, 게다가 서로 다른, 겉보기에 무작위적인 복소수 인수를 갖는 경향이 있어 대부분 상쇄된다. 하지만 때때로 몇 개의 더 큰 항들이 대략 같은 복소수 인수를 갖게 되면, 상쇄되는 대신 서로 강화되어 $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash operatorname\{li\}(\backslash sqrt\{x\backslash ,\})$ 항을 압도하게 된다.

스큐스 수가 매우 큰 이유는 이러한 작은 항들이 주요 오차 항보다 상당히 "훨씬" 작기 때문인데, 주로 제타 함수의 첫 번째 복소수 영점이 상당히 큰 허수 부분을 가지고 있기 때문에, 지배적인 항을 압도하기 위해서는 상당한 수(수백 개)의 항들이 대략 같은 인수를 가져야 한다. $N$개의 무작위 복소수가 대략 같은 인수를 가질 확률은 약 1/ $2^N$이다.

이것은 $\backslash pi(x)$가 때때로 $\backslash operatorname\{li\}(x)$보다 큰 이유와 이러한 현상이 드물게 발생하는 이유를 설명한다.

또한 이러한 현상이 발생하는 지점을 찾는 것이 리만 제타 함수의 수백만 개의 고정밀 영점에 대한 대규모 계산에 의존하는 이유를 보여준다.

위의 논증은 증명이 아닌데, 이는 리만 제타 함수의 영점이 무작위적이라고 가정하기 때문이다. 이는 사실이 아니다. 대략적으로 말하면, 리틀우드의 증명은 때때로 많은 항들이 대략 같은 인수를 갖는다는 것을 보여주기 위해 디리클레 근사 정리를 사용한다.

만약 리만 가설이 거짓이라면, 논증은 훨씬 간단해지는데, 본질적으로 리만 가설을 위반하는 영점(실수부가 보다 큰)에 대한 $\backslash operatorname\{li\}(x^\{\backslash rho\})$ 항이 결국 $\backslash operatorname\{li\}(x^\{1/2\})$보다 커지기 때문이다.

$\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash mathrm\{li\}(x^\{1/2\})$ 항이 나타나는 이유는, 대략적으로 말해, $\backslash mathrm\{li\}(x)$는 실제로 소수 자체보다는 소수의 거듭제곱을 세는 것이며, $p^n$은 $\backslash frac\{1\}\{n\}$으로 가중된다. $\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash mathrm\{li\}(x^\{1/2\})$ 항은 대략적으로 소수의 제곱을 설명하는 2차 보정과 유사하다.

1941년 Wintner는 π(x) > li(x)인 양의 정수의 로그 밀도가 존재하고 양수임을 보였다. 1994년 Rubinstein과 Sarnak은 이 비율이 약 0.00000026으로, 첫 번째 예를 찾기 위해 얼마나 멀리 가야 하는지를 고려할 때 놀랍도록 크다는 것을 보였다.

6. 소수 k-튜플에 대한 스큐스 수

소수 k-튜플에 대한 스큐스 수도 정의될 수 있다. $P\; =\; (p,\; p+i\_1,\; p+i\_2,\; ...,\; p+i\_k)$를 소수 (''k'' + 1)-튜플, $\backslash pi\_P(x)$를 $p,\; p+i\_1,\; p+i\_2,\; ...,\; p+i\_k$가 모두 소수인 $x$ 미만의 소수 $p$의 개수, $\backslash operatorname\{li\_P\}(x)\; =\; \backslash int\_2^x\; \backslash frac\{dt\}\{(\backslash ln\; t)^\{k+1\}\}$, $C\_P$를 제1 하디-리틀우드 추측의 하디-리틀우드 상수로 정의한다. (''k'' + 1)-튜플 $P$에 대한 하디-리틀우드 부등식을 위반하는 첫 번째 소수 $p$, 즉 $\backslash pi\_P(p)\; >\; C\_P\; \backslash operatorname\{li\}\_P(p)$를 만족하는 (그러한 소수가 존재한다면) 첫 번째 소수 $p$는 ''$P$에 대한 스큐스 수''이다.

현재 알려진 소수 ''k''-튜플에 대한 스큐스 수는 다음과 같다.

섹시 소수 $(p,\; p+6)$에 대한 스큐스 수는 (존재한다면) 아직 알려져 있지 않다. 또한 모든 허용 가능한 ''k''-튜플이 해당 스큐스 수를 갖는지 여부도 알려져 있지 않다.