십육각형

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1. 개요
2. 정십육각형
3. 엇각 십육각형
- 3.1. 페트리 다각형
4. 관련 도형
5. 예술에서의 십육각형
6. 불규칙 십육각형
참조

1. 개요

십육각형은 16개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형을 의미한다. 모든 변의 길이가 같고 모든 각의 크기가 같은 정십육각형은 슐래플리 기호 {16}으로 나타내며, 작도가 가능하다. 정십육각형은 중심각과 외각이 22.5°이고, 내각은 157.5°이며, 넓이, 대칭성, 분할과 관련된 다양한 특징을 가진다. 엇각 십육각형은 동일 평면에 존재하지 않는 24개의 꼭짓점과 모서리를 가진 엇각 다각형이며, 십육각별, 엇각 십육각형과 같은 관련 도형이 존재한다. 십육각형은 라파엘로의 그림이나 알람브라 궁전의 지리 문양 등 예술 작품에도 활용된다.

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십육각형
다각형 정보
종류	정십육각형
변의 수	16
꼭짓점의 수	16
슈플리 기호	'{16}'
정다각형 콕서터 다이어그램
정십육각형
정십육각형
성질
내각의 합	2520°
한 내각의 크기	157.5°

2. 정십육각형

'''정십육각형'''은 모든 각의 크기가 같고 모든 변의 길이가 같은 십육각형이다. 슐래플리 기호는 {16}이며, 깎은 팔각형 t{8}과 두 번 깎은 정사각형 tt{4}로 작도할 수 있다. 깎은 십육각형 t{16}은 삼십이각형 {32}이다.

정십육각형은 자(도구)와 컴퍼스 작도가 가능한 도형이다. 존 콘웨이에 따르면 정십육각형은 Dih₁₆ 대칭을 가지며, 차수는 32이다. 여기에는 4개의 이면군(Dih₈, Dih₄, Dih₂, Dih₁)과 5개의 순환군(Z₁₆, Z₈, Z₄, Z₂, Z₁)이 있다.^[3]

정십육각형의 중심각과 외각은 22.5°이며, 내각은 157.5°이다. 한 변의 길이가 ''a''인 정십육각형의 면적 S는 다음과 같다.

: $S = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16}$

: $= 4a^2 (\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1)$

$\cos (2\pi/16)$ 은 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

: $\cos\frac{2\pi}{16} = \cos\frac{\pi}{8} =\cos 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

2. 1. 구성

정십육각형은 16 = 2⁴ (2의 거듭제곱)이므로 작도 가능하며, 이는 고대 그리스 수학자들에게 이미 알려져 있었다.^[2]

정십육각형은 자(도구)와 컴퍼스 작도가 가능한 도형이다.

2. 2. 측정값

정십육각형의 한 각은 157.5도이며, 모든 각의 합은 2520도이다. 중심각과 외각은 22.5°이다.

변의 길이가 ''t''인 정십육각형의 넓이(''A'')는 다음과 같다.

:

A = 4t^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4t^2 \left(1+\sqrt{2}+\sqrt{ 4+2\sqrt{2} }\right) = 4t^2 (\sqrt{2}+1)(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1)

십육각형은 변의 개수가 2의 거듭제곱이므로, 외접원 반경 ''R''을 사용하여 비에트 공식을 통해 넓이를 계산할 수 있다.

:

A=R^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4R^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.

외접원의 넓이가

\pi R^2

이므로, 정십육각형은 외접원의 약 97.45%를 채운다.

\cos (2\pi/16)

은 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

:

\cos\frac{2\pi}{16} = \cos\frac{\pi}{8} =\cos 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}

2. 3. 대칭성

정십육각형은 Dih₁₆ 대칭을 가지며, 차수는 32이다. 여기에는 4개의 이면군(Dih₈, Dih₄, Dih₂, Dih₁)과 5개의 순환군(Z₁₆, Z₈, Z₄, Z₂, Z₁)이 있다. Z₁은 대칭이 없음을 의미한다.

정십육각형에는 14가지 뚜렷한 대칭이 있다. 존 콘웨이는 전체 대칭을 '''r32'''로, 대칭이 없는 경우를 '''a1'''로 표기한다. 이면 대칭은 꼭짓점을 통과하는지(대각선은 '''d'''), 변을 통과하는지(수직선은 '''p''')에 따라 나뉜다. 중간 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수를 나타내는 '''g'''로 표기된다.^[3]

정십육각형의 14가지 대칭. 반사선은 꼭짓점을 지나는 파란색, 변을 지나는 보라색이며, 회전 차수는 중앙에 표시된다. 꼭짓점은 대칭 위치별로 색상이 지정된다.

가장 일반적인 고대칭 십육각형은 긴 변과 짧은 변이 교대로 나타나는 8개의 거울로 구성된 등각 십육각형인 '''d16'''과, 동일한 변 길이를 가지지만 꼭짓점이 서로 다른 두 개의 내부 각도를 교대로 갖는 등축 십육각형인 '''p16'''이다. 이 두 가지 형태는 서로의 쌍대 다각형이며 정십육각형의 대칭 차수의 절반을 갖는다.

각 하위 그룹 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. '''g16''' 하위 그룹만이 자유도가 없지만 유향 변으로 볼 수 있다.

2. 4. 분할

콕세터는 모든 존오곤(대변이 평행하고 길이가 같은 2''m''각형)이 ''m''(''m''-1)/2개의 평행사변형으로 분할될 수 있다고 말한다.^[4] 특히 이는 짝수 개의 변을 가진 정다각형에 해당하며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모이다. 정십육각형의 경우 ''m''=8이고, 28개, 즉 4개의 정사각형과 3세트의 8개 마름모로 나눌 수 있다. 이 분해는 8-cube의 페트리 다각형 투영을 기반으로 하며, 1792개 면 중 28개가 해당된다.

28개의 마름모로 분할
8-cube	정십육각형의 마름모 분할	정십육각형의 마름모 분할	정십육각형의 마름모 분할	정십육각형의 마름모 분할

3. 엇각 십육각형

엇각 십육각형은 동일 평면에 존재하지 않는 24개의 꼭짓점과 모서리를 가진 엇각 다각형이다. 이러한 십육각형의 내부는 일반적으로 정의되지 않는다. 엇각 지그재그 십육각형은 두 개의 평행 평면 사이에서 꼭짓점이 교대로 나타난다.

정규 엇각 십육각형은 동일한 모서리 길이를 가진 꼭짓점 추이이다. 3차원에서는 지그재그 엇각 십육각형이 되며, D_8d, [2⁺,16] 대칭, 32차수를 가진 팔각 반각기둥의 꼭짓점과 측면 모서리에서 볼 수 있다. 팔각별 반각기둥과 팔각별 교차 반각기둥 또한 정규 엇각 팔각형을 가지고 있다.

3 정규 엇각 지그재그 십육각형
팔각 반각기둥	팔각별 반각기둥	팔각별 교차 반각기둥
정규 엇각 십육각형은 팔각 반각기둥, 팔각별 반각기둥, 팔각별 교차 반각기둥의 지그재그 모서리로 볼 수 있다.

3. 1. 페트리 다각형

A₁₅	B₈		D₉		2B₂ (4D)
15-단순체	8-정축체	8-초정육면체	6₁₁	1₆₁	8-8 이중각기둥	8-8 이중각기둥

4. 관련 도형

'''십육각별'''은 16개의 변을 가진 별 다각형으로, {16/n}으로 나타낸다. 같은 꼭짓점을 사용하여 세 번째, 다섯 번째 또는 일곱 번째 점마다 연결하는 세 개의 정규 별 다각형 {16/3}, {16/5}, {16/7}이 있다. 또한 세 개의 합성 도형이 있는데, {16/2}는 두 개의 팔각형(2{8}), {16/4}는 네 개의 정사각형(4{4}), {16/6}은 두 개의 팔각별(2{8/3}), {16/8}은 여덟 개의 이각형(8{2})으로 축소된다.^[5]

합성 및 별 십육각형
모양	볼록 다각형	합성	별 다각형	합성
그림	{16/1} 또는 {16}	{16/2} 또는 2{8}	{16/3}	{16/4} 또는 4{4}
내각	157.5°	135°	112.5°	90°
모양	별 다각형	합성	별 다각형	합성
그림	{16/5}	{16/6} 또는 2{8/3}	{16/7}	{16/8} 또는 8{2}
내각	67.5°	45°	22.5°	0°

정규 팔각형과 팔각별의 더 깊은 절단은 등각 십육각별 형태를 생성할 수 있으며, 이는 꼭짓점이 동일한 간격으로 떨어져 있고 두 개의 변 길이를 가진다.^[5]

절단된 팔각형은 십육각형(t{8}={16})이다. 준 절단된 팔각형은 {8/7}로 반전되어 십육각별(t{8/7}={16/7})이 된다. 절단된 팔각별 {8/3}는 십육각별(t{8/3}={16/3})이고, 준 절단된 팔각별은 {8/5}로 반전되어 십육각별(t{8/5}={16/5})이다.

팔각형과 팔각별의 등각 절단
준 정규	등각	준 정규
t{8}={16}		t{8/7}={16/7}
t{8/3}={16/3}		t{8/5}={16/5}

5. 예술에서의 십육각형

16세기 초 라파엘로는 정십육각형의 원근법적 이미지를 처음으로 구성했는데, 그의 그림 《성모의 결혼》에 나오는 탑은 16개의 면을 가지고 있다. 이는 페루지노의 이전 그림에 등장하는 팔각형 탑을 발전시킨 것이다.^[6]

십육각성(16각형 별 다각형)은 알람브라 궁전의 지리 문양에 포함되어 있다.^[7]

6. 불규칙 십육각형

팔각별은 오목 육각형으로 볼 수 있다.

후자는 기독교에서 이슬람에 이르기까지 많은 건축물에서, 그리고 IRIB TV4의 로고에서도 볼 수 있다.

참조

_[1] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition CRC Press
_[2] 서적 Elementary Number Theory with Applications https://books.google[...] Academic Press
_[3] 서적 The Symmetries of Things
_[4] 서적 Mathematical recreations and Essays
_[5] 간행물 The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History
_[6] 서적 Crossroads: History of Science, History of Art. Essays by David Speiser, vol. II Springer
_[7] 논문 Examples of methods of drawing geometrical arabesque patterns 1925-05

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