쌍대 유한 집합
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1. 개요
쌍대 유한 집합은 집합 S의 부분 집합 A의 여집합 S\A가 유한 집합인 경우를 말한다. 집합 X의 모든 유한 부분집합과 쌍대 유한 부분집합은 합집합, 교집합, 여집합 연산에 대해 닫혀 불 대수를 이루며, 이를 유한-쌍대 유한 대수라고 한다. 쌍대 유한 집합은 위상수학에서 여유한 위상 공간의 개념으로 사용되며, 콤팩트성과 같은 위상수학적 성질을 갖는다. 쌍대 유한 위상은 각 점이 두 배인 유한 여위상으로, T0 공간이나 T1 공간은 아니지만 R0 공간이며 콤팩트 공간이다. 곱위상과 가군의 직합 등 다른 수학적 개념에서도 쌍대 유한의 개념이 활용된다.
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퍼지 집합은 각 원소가 0과 1 사이의 소속도를 가지며, 소속 함수를 통해 정의되고, 여집합, 합집합, 교집합 등의 연산을 수행하며, 퍼지 논리, 퍼지 수, 엔트로피 등의 개념과 L-퍼지 집합, 직관적 퍼지 집합 등으로 확장된다. - 집합론 - 무한 집합
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2. 정의
집합 의 부분 집합 의 여집합 가 유한 집합이라면, 를 '''쌍대 유한 집합'''이라고 한다. 즉, 쌍대 유한 집합은 어떤 유한 개의 원소들을 제외한 모든 원소들을 포함하는 부분 집합이다.
집합 의 모든 유한 부분집합과 쌍대 유한 부분집합은 불 대수를 이룬다. 이를 에 대한 '''유한-쌍대 유한 대수'''라고 한다. 불 대수 가 유일한 비주요 초여과기(극대 여과기 중 단일 원소로 생성되지 않는 것)를 갖는 것과, 가 에 대한 유한-쌍대 유한 대수와 동형인 무한 집합 가 존재하는 것은 동치이다.
여유한 위상(또는 유한 여집합 위상)은 임의의 집합 에 대해 정의될 수 있는 위상 공간이다. 여유한 위상은 공집합과 의 모든 여유한 부분 집합을 열린 집합으로 갖는다. 따라서 닫힌 집합은 유한 집합이거나 전체이다. 여유한 위상은 T1 공리를 만족하는 가장 거친 위상이다. 즉, 모든 싱글톤 집합이 닫힌 집합이 되는 가장 작은 위상이다.
3. 불 대수
4. 위상수학적 성질
가 유한 집합이면 여유한 위상은 단순히 이산 위상이다. 가 무한 집합이면 이 위상은 하우스도르프 (T2), 정규 또는 정상이 아니다. 왜냐하면 두 개의 비어 있지 않은 열린 집합은 서로소이지 않기 때문이다(즉, 과연결이다).
4. 1. 부분 공간
여유한 위상의 모든 부분 공간 위상은 또한 여유한 위상이다.
4. 2. 콤팩트성
모든 열린 집합은 의 유한 개의 점을 제외한 모든 점을 포함하므로, 공간 는 콤팩트하고 점렬 콤팩트하다.
4. 3. 쌍대 유한 위상 (Double-pointed cofinite topology)
쌍대 유한 위상은 각 점이 두 배인 유한 여위상이다. 즉, 유한 여위상과 두 개의 원소를 가진 집합에 대한 부정 위상의 위상적 곱이다. 각 쌍의 점들이 위상적으로 구별 불가능하므로 T0 공간이나 T1 공간이 아니다. 하지만, 위상적으로 구별 가능한 점들이 분리 집합이므로 R0 공간이다. 이 공간은 두 개의 콤팩트 공간의 곱이므로 콤팩트 공간이다. 또는 각 비어 있지 않은 열린 집합이 유한 개의 점을 제외한 모든 점을 포함하기 때문에 콤팩트 공간이다.
가산 쌍대 유한 위상의 예로, 정수 집합 에 각 짝수 이 다음 홀수 과 위상적으로 구별 불가능하도록 위상을 부여할 수 있다. 닫힌 집합은 유한 개의 쌍 또는 전체 집합의 합집합이다. 열린 집합은 닫힌 집합의 여집합이다. 즉, 각 열린 집합은 유한 개의 쌍 을 제외한 모든 점으로 구성되거나 공집합이다.
5. 다른 예시
위상 공간들의 곱 에 대한 곱위상은 를 기저로 가지며, 여기서 는 열린 집합이고, 유한 개의 를 제외한 나머지 이다. 상자 위상은 이와 유사하지만, 유한 개의 인자를 제외하고 전체 공간일 필요는 없다.
가군의 직합 의 원소는 유한 개의 를 제외하고 모두 0인 수열 이다. 직곱은 직합과 유사하지만, 유한 개의 덧셈 인자가 0일 필요가 없다.
5. 1. 곱위상
위상 공간들의 곱 에 대한 곱위상은 를 기저로 가지며, 여기서 는 열린 집합이고, 유한 개의 를 제외한 나머지 이다. 상자 위상은 이와 유사하지만, 유한 개의 인자를 제외하고 전체 공간일 필요는 없다. 위상 공간족 ''X''''i''의 직적 위에 정의되는 곱위상은 각 ''i''에 대해 ''U''''i'' ⊆ ''X''''i''인 열린 집합의 곱 으로, 유한 개를 제외한 모든 ''i''에 대해 ''U''''i'' = ''X''''i''인 것을 기저로 갖는다.5. 2. 가군의 직합
가군의 직합 의 원소는 유한 개의 를 제외하고 모두 0인 수열 이다. 직곱은 직합과 유사하지만, 유한 개의 덧셈 인자가 0일 필요가 없다.
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