곱위상

1. 개요

곱위상은 위상 공간들의 곱집합에 부여되는 위상으로, 여러 종류가 존재한다. 곱위상(티호노프 위상)은 사영 함수를 연속 함수로 만드는 가장 거친 위상이며, 상자 위상은 모든 열린집합들의 곱집합을 기저로 갖는 더 섬세한 위상이다. 균등 위상은 거리 공간의 곱집합 위에 정의된 균등 거리 함수를 통해 유도되며, 콤팩트 생성 곱위상은 콤팩트 생성 공간 범주에서 곱을 정의한다. 곱위상은 콤팩트, 연결, 하우스도르프 등의 성질을 보존하며, 티호노프 정리는 콤팩트 공간들의 곱이 콤팩트 공간임을 보여준다. 상자 위상은 티체에 의해, 곱위상은 티호노프에 의해, 콤팩트 생성 곱은 스패니어에 의해 도입되었다. 선택 공리는 곱 공간의 연구와 관련이 있으며, 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이다.

2. 정의

위상 공간들의 집합
:$\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
이 주어졌을 때, 곱집합 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$ 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

* 곱위상: 위상 공간의 범주 $\backslash operatorname\{Top\}$에서의 범주론적 곱이다.
* 상자 위상: 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. $I$가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.
* 균등 위상: $X\_i$에 거리 함수가 주어졌을 때 정의할 수 있다.
* $\backslash operatorname\{Top\}$의 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱: 곱위상보다 더 섬세하며, $I$가 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

일반적으로 $I$는 비어 있지 않은 지표 집합이고, 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $X\_i$는 위상 공간이라고 하자. $X\_i$의 데카르트 곱은 다음과 같다.

$$X\; :=\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$$

모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해, $i$번째 표준 사영은 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$
p_i :\ \prod_{j \in I} X_j &\to X_i, \\[3mu]
(x_j)_{j \in I} &\mapsto x_i. \\
\end{align}

$\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에 대한 곱위상은 모든 사영 $p\_i\; :\; \backslash prod\; X\_\{\backslash bull\}\; \backslash to\; X\_i$가 연속 함수가 되도록 하는 가장 거친 위상 (즉, 가장 적은 열린집합을 가진 위상)으로 정의된다. 곱위상이 주어진 데카르트 곱 $X$를 곱공간이라고 한다.

곱위상에서의 열린 집합은 각 $U\_i$가 $X\_i$에서 열려 있고, $U\_i\; \backslash neq\; X\_i$인 $i$가 유한 개인 형태의 집합 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; U\_i$의 임의의 합집합 (유한 또는 무한)이다. 유한 곱의 경우, 각 $X\_i$에서 하나의 기저 원소 간의 모든 데카르트 곱의 집합은 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}\; X\_i$의 곱위상에 대한 기저가 된다.

곱위상은 $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 집합에 의해 생성되는 위상이며, $i\; \backslash in\; I$이고 $U\_i$는 $X\_i$의 열린 부분 집합이다. $X$의 부분 집합은 $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린다. $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$는 열린 원기둥이라고 하며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이다.

곱위상은 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에서 수열 (또는 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든 $X\_i$ 공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문에 점별 수렴 위상이라고도 불린다.

2.1. 곱위상 (티호노프 위상)

위상 공간들의 집합
:$\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
가 주어졌을 때, 곱집합 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$ 위에 정의할 수 있는 위상 중 하나이다. 곱위상은 사영 함수
:$\backslash operatorname\{proj\}\_i\backslash colon\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i\backslash to\; X\_i$
를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 적은 수의 열린집합을 가진 위상이다.

곱위상의 기저는 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; B=\backslash left\backslash \{\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}U\_i\backslash colon\; U\_i\backslash in\backslash mathcal\; T(X\_i),\backslash ;\backslash aleph\_0>|\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; U\_i\backslash ne\; X\_i\backslash \}|\backslash right\backslash \}$
여기서 $\backslash mathcal\; T(X\_i)$는 $X\_i$의 열린집합들의 집합이다. 다시 말해, $\backslash mathcal\; B$의 원소는 각 $X\_i$의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 $X\_i$ 전체와 다른 것이다.

곱위상은 $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 집합에 의해 생성되는 위상으로도 정의된다. 여기서 $i\; \backslash in\; I$이고 $U\_i$는 $X\_i$의 열린 부분 집합이다. 즉, 다음 집합은 $X$에 대한 부분기저를 형성한다.

$$$$
\left\{p_i^{-1}\left(U_i\right) \mathbin{\big\vert} i \in I \text{ and } U_i \subseteq X_i \text{ is open in } X_i\right\}


$X$의 부분 집합은 $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린 집합이 된다. $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$는 열린 원기둥이라고도 불리며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이라고 한다.

곱위상은 점별 수렴 위상이라고도 불리는데, 그 이유는 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에서 수열 (또는 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든 $X\_i$ 공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문이다.

2.2. 상자 위상

상자 위상은 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. 유한 곱의 경우 곱위상과 일치한다. 모든 열린집합들의 곱집합을 기저로 갖는다.

2.3. 균등 위상

거리 공간들의 집합 $\backslash \{(X\_i,d\_i)\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 $\backslash textstyle\backslash prod\_iX\_i$ 위에 다음과 같이 균등 거리 함수(uniform metric^영어) $d\_\{\backslash text\{unif\}\}$를 줄 수 있다.

:$d\_\{\backslash text\{unif\}\}(x,y)=\backslash min\backslash \{1,\backslash sup\_\{i\backslash in\; I\}d\_i(x,y)\backslash \}$

그렇다면 $(\backslash textstyle\backslash prod\_iX\_i,d\_\{\backslash text\{unif\}\})$는 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 균등 위상(uniform topology^영어)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.

2.4. 콤팩트 생성 곱위상

콤팩트 생성 공간의 범주 $\backslash operatorname\{CGTop\}$은 모든 위상 공간의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 $\backslash operatorname\{Top\}$의 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 콤팩트 생성화 $k\backslash colon\backslash operatorname\{Top\}\backslash to\backslash operatorname\{CGTop\}$라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 $k(X\backslash times\; Y)$는 일반적으로 곱위상 $X\backslash times\; Y$보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상 $X\backslash times\; Y$보다 콤팩트 생성 곱공간 $k(X\backslash times\; Y)$이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 $\backslash operatorname\{Top\}$ 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

3. 성질

위상 공간의 곱공간은 여러 위상 공간들의 성질을 이어받거나 변형된 형태로 나타낸다.

가산 무한 기수 $\backslash aleph\_0$ 대신 임의의 무한 기수 $\backslash kappa$를 사용하여 위상의 기저를 정의할 수 있다.
:$\backslash mathcal\; B\_\backslash kappa=\backslash left\backslash \{\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}U\_i\backslash colon\; U\_i\backslash in\backslash mathcal\; T(X\_i),\backslash ;\backslash kappa>|\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; U\_i\backslash ne\; X\_i\backslash \}|\backslash right\backslash \}$
($X\_i$들이 비이산 공간이 아닐 때) 각 무한 기수 $\backslash kappa\backslash le|I|$에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 이 기수가 충분히 크면 ($\backslash kappa>|I|$이면), 추가 조건은 자명해진다.
:$\backslash mathcal\; B\_\backslash kappa=\backslash mathcal\; B\_\{\backslash text\{box\}\}=\backslash left\backslash \{\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}U\_i\backslash colon\; U\_i\backslash in\backslash mathcal\; T(X\_i)\backslash right\backslash \}\; \backslash qquad(\backslash kappa>|I|)$
이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(box topology^영어)이라고 한다.

따라서, ($X\_i$들이 모두 비이산 공간이 아닐 때) 각 무한 기수 $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa\backslash le|I|^\{+\}$에 대하여, $\backslash kappa$가 클 수록 더 섬세한 위상을 얻는다.
:$\backslash mathcal\; B=\backslash mathcal\; B\_\{\backslash aleph\_0\}\backslash subsetneq\backslash mathcal\; B\_\{\backslash aleph\_1\}\backslash subsetneq\backslash cdots\backslash subsetneq\backslash mathcal\; B\_$

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다.

하우스도르프 공간들의 임의의 곱은 다시 하우스도르프 공간이다.

티호노프 정리는 선택 공리와 동치이며, 콤팩트 공간들의 임의의 곱은 콤팩트 공간이라고 말한다. 티호노프 정리의 특수한 경우로, 초여과기 보조정리만 필요로 하고 (선택 공리의 모든 강점을 필요로 하지 않음) 하우스도르프 공간들의 임의의 곱은 콤팩트 공간이라고 말한다.

분리

* T₀ 공간들의 곱은 T₀이다.
* T₁ 공간들의 곱은 T₁이다.
* 하우스도르프 공간들의 곱은 하우스도르프이다.
* 정규 공간들의 곱은 정규 공간이다.
* 티호노프 공간들의 곱은 티호노프 공간이다.
* 정규 공간들의 곱은 정규 공간이 아닐 수 있다.

콤팩트성

* 콤팩트 공간들의 곱은 콤팩트하다(티호노프 정리).
* 국소 콤팩트 공간들의 곱은 국소 콤팩트 공간이 아닐 수 있다. 하지만, 유한 개를 제외한 모든 공간이 콤팩트인 국소 콤팩트 공간들의 임의의 곱은 국소 콤팩트 공간이다(이 조건은 충분하며 필요하다).

연결성

* 연결 (각각 경로 연결) 공간들의 곱은 연결 (각각 경로 연결)이다.
* 유전적으로 분리된 공간들의 곱은 유전적으로 분리된다.

거리 공간

* 거리화 가능 공간들의 가산 곱은 거리화 가능 공간이다.

3.2. 상자 위상의 성질

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 상자 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여는 성립하지 않는다.

가산 무한 개의 실수선 $\backslash mathbb\; R$들의 곱집합 $\backslash mathbb\; R^\{\backslash aleph\_0\}$에 상자 위상을 부여하면, 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 콤팩트 공간이 아니다.
* 연결 공간이 아니다.
* 제1 가산 공간이 아니다.
* 분해 가능 공간이 아니다.
* 완비 정칙 공간이다.
* 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

3.3. 기타 성질

곱공간에서의 수열(또는 넷)이 수렴할 필요충분조건은 모든 좌표 공간으로의 사영이 수렴하는 것이다. 명시적으로, 수열 $s\_\{\backslash bull\}\; =\; \backslash left(s\_n\backslash right)\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}$ (또는 넷 $s\_\{\backslash bull\}\; =\; \backslash left(s\_a\backslash right)\_\{a\; \backslash in\; A\}$)이 주어진 점 $x\; \backslash in\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$로 수렴할 필요충분조건은 모든 지표 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $p\_i\backslash left(s\_\{\backslash bull\}\backslash right)\; \backslash to\; p\_i(x)$ ($X\_i$에서)이며, 여기서 $p\_i\backslash left(s\_\{\backslash bull\}\backslash right)\; :=\; p\_i\; \backslash circ\; s\_\{\backslash bull\}$은 $\backslash left(p\_i\backslash left(s\_n\backslash right)\backslash right)\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}$ (또는 $\backslash left(p\_i\backslash left(s\_a\backslash right)\backslash right)\_\{a\; \backslash in\; A\}$)을 나타낸다. 특히, 모든 $i$에 대해 $X\_i\; =\; \backslash R$이면, 데카르트 곱은 $I$상의 모든 실수 값을 갖는 함수의 공간 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; \backslash R\; =\; \backslash R^I$이며, 곱위상에서의 수렴은 함수의 점별 수렴과 같다.

곱공간 $X$에서 임의의 부분 집합들의 곱 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; S\_i$의 폐포는 각 집합의 폐포들의 곱과 같다.

$$$$
{\operatorname{Cl}_X}\Bigl(\prod_{i \in I} S_i\Bigr) = \prod_{i \in I} \bigl({\operatorname{Cl}_{X_i}} S_i\bigr).


곱공간으로의 사상이 연속일 필요충분조건은 각 좌표 공간으로의 사영과의 합성이 연속인 것이다. 즉, 사상 $f\; :\; Y\; \backslash to\; X$가 연속일 필요충분조건은 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $f\_i\; =\; p\_i\; \backslash circ\; f$가 연속인 것이다.

곱공간에서 각 좌표 공간으로의 사영 $p\_i\; :\; X\; \backslash to\; X\_i$은 열린 사상이다. 그러나 닫힌 사상은 아니다.

4. 예시

$\backslash aleph\_0$(가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 $\backslash kappa$를 사용하여 위상의 기저를 정의할 수 있다. ($X\_i$들이 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\backslash kappa\backslash le|I|$에 대하여, 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 이 기수가 충분히 클 때 (즉, $\backslash kappa>|I|$일 때), 추가 조건은 자명해진다. 이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(box topology^영어)이라고 한다.

따라서, ($X\_i$들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 $\backslash aleph\_0\backslash le\backslash kappa\backslash le|I|^\{+\}$에 대하여, $\backslash kappa$가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다. 상자 위상을 포함한 $\backslash mathcal\; B\_\backslash kappa$-위상은 만약 $I$가 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다.

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간은 분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

가산 무한 개의 실수선 $\backslash mathbb\; R$들의 곱집합 $\backslash mathbb\; R^\{\backslash aleph\_0\}$에서 상자 위상을 부여하면, 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

* 콤팩트 공간이 아니다.
* 연결 공간이 아니다.
* 제1 가산 공간이 아니다.
* 분해 가능 공간이 아니다.
* 이는 완비 정칙 공간이다.
* 만약 연속체 가설이 참이라면 파라콤팩트 공간이다.

만약 실수선 $\backslash R$에 표준 위상을 부여하면, $n$개의 $\backslash R$의 복사본의 곱에 대한 곱 위상은 $\backslash R^n$에 대한 일반적인 유클리드 위상과 같다. ( $n$이 유한하므로, 이는 $\backslash R^n$에 대한 상자 위상과도 같다.)

칸토어 집합은 가산개의 이산 공간 $\backslash \{\; 0,\; 1\; \backslash \}$의 곱과 무리수의 공간은 가산개의 자연수의 곱과 위상 동형이며, 여기서 각 복사본은 이산 위상을 갖는다.

5. 역사

하인리히 프란츠 프리드리히 티체(1880~1964)는 1923년에 상자 위상을 도입하였다. 안드레이 티호노프는 1930년에 곱위상을 도입하였다. 에드윈 헨리 스패니어는 1959년에 "약한 위상"(weak topology^영어)이라는 이름으로 콤팩트 생성 곱을 도입하였다.

5.1. 상자 위상

상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.

5.2. 곱위상

안드레이 티호노프가 1930년에 도입하였다.

곱위상(-位相, product topology^영어) 또는 티호노프 위상(Тихонов位相, Tychonoff topology^영어)은 사영 함수
:$\backslash operatorname\{proj\}\_i\backslash colon\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i\backslash to\; X\_i$
의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.
:$\backslash mathcal\; B=\backslash left\backslash \{\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}U\_i\backslash colon\; U\_i\backslash in\backslash mathcal\; T(X\_i),\backslash ;\backslash aleph\_0>|\backslash \{i\backslash in\; I\backslash colon\; U\_i\backslash ne\; X\_i\backslash \}|\backslash right\backslash \}$
여기서 $\backslash mathcal\; T(X\_i)$는 $X\_i$의 열린집합들의 집합이다. 즉, $\backslash mathcal\; B$의 원소는 각 $X\_i$의 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 $X\_i$ 전체와 다른 것이다.

$I$는 비어 있지 않은 지표 집합이고, 모든 지표 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $X\_i$는 위상 공간이라고 하자. 집합 $X\_i$의 데카르트 곱을 다음과 같이 나타낸다.

$$X\; :=\; \backslash prod\; X\_\{\backslash bull\}\; :=\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$$

그리고 모든 지표 $i\; \backslash in\; I$에 대해, $i$번째 표준 사영을 다음과 같이 나타낸다.

$$\backslash begin\{align\}$$
p_i :\ \prod_{j \in I} X_j &\to X_i, \\[3mu]
(x_j)_{j \in I} &\mapsto x_i. \\
\end{align}

$\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에 대한 곱위상은 모든 사영 $p\_i\; :\; \backslash prod\; X\_\{\backslash bull\}\; \backslash to\; X\_i$가 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상 (즉, 가장 적은 열린 집합을 가진 위상)으로 정의된다. 곱위상이 주어진 데카르트 곱 $X\; :=\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$를 곱공간이라고 한다.

곱위상에서의 열린 집합은 각 $U\_i$가 $X\_i$에서 열려 있고, $U\_i\; \backslash neq\; X\_i$인 $i$가 유한 개인 형태의 집합 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; U\_i$의 임의의 합집합 (유한 또는 무한)이다. 특히, 유한 곱 (특히, 두 위상 공간의 곱)의 경우, 각 $X\_i$에서 하나의 기저 원소 간의 모든 데카르트 곱의 집합은 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}\; X\_i$의 곱위상에 대한 기저를 제공한다. 즉, 유한 곱의 경우, $U\_i$가 $X\_i$의 (선택된) 기저의 원소인 모든 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; U\_i$의 집합은 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$의 곱위상에 대한 기저이다.

$\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에 대한 곱위상은 $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 집합에 의해 생성되는 위상이며, 여기서 $i\; \backslash in\; I$이고 $U\_i$는 $X\_i$의 열린 부분 집합이다. 즉, 다음 집합

$$$$
\left\{p_i^{-1}\left(U_i\right) \mathbin{\big\vert} i \in I \text{ and } U_i \subseteq X_i \text{ is open in } X_i\right\}


은 $X$에 대한 부분기저를 형성한다. $X$의 부분 집합은 (가능성이 있는 무한) $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$ 형태의 유한 개수 집합의 교집합의 합집합일 경우에만 열린다. $p\_i^\{-1\}\backslash left(U\_i\backslash right)$는 때때로 열린 원기둥이라고 하며, 이들의 교집합은 원기둥 집합이다.

곱위상은 또한 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$에서 수열 (또는 일반적으로 그물)이 수렴할 필요충분조건이 모든 $X\_i$ 공간으로의 사영이 수렴하는 것이기 때문에 점별 수렴 위상이라고도 불린다. 명시적으로, 수열 $s\_\{\backslash bull\}\; =\; \backslash left(s\_n\backslash right)\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}$ (또는 그물 $s\_\{\backslash bull\}\; =\; \backslash left(s\_a\backslash right)\_\{a\; \backslash in\; A\}$)이 주어진 점 $x\; \backslash in\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$로 수렴할 필요충분조건은 모든 지표 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $p\_i\backslash left(s\_\{\backslash bull\}\backslash right)\; \backslash to\; p\_i(x)$ in $X\_i$이며, 여기서 $p\_i\backslash left(s\_\{\backslash bull\}\backslash right)\; :=\; p\_i\; \backslash circ\; s\_\{\backslash bull\}$은 $\backslash left(p\_i\backslash left(s\_n\backslash right)\backslash right)\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}$ (또는 $\backslash left(p\_i\backslash left(s\_a\backslash right)\backslash right)\_\{a\; \backslash in\; A\}$)을 나타낸다. 특히, 모든 $i$에 대해 $X\_i\; =\; \backslash R$이 사용되면, 데카르트 곱은 $I$상의 모든 실수 값을 갖는 함수의 공간 $\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; \backslash R\; =\; \backslash R^I$이며, 곱위상에서의 수렴은 함수의 점별 수렴과 동일하다.

5.3. 콤팩트 생성 곱

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(en)가 1959년에 "약한 위상"(weak topology^영어)이라는 이름으로 도입하였다. 스패니어는 $\backslash langle\; X\backslash times\; Y\backslash rangle$라는 기호를 사용하였다.

6. 선택 공리와의 관계

선택 공리는 공집합이 아닌 집합들의 모음의 데카르트 곱이 공집합이 아니라는 명제와 동치이다. 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하면 곱의 대표자를 찾을 수 있고, 반대로 곱의 대표자는 각 구성 요소에서 정확히 하나의 원소를 포함하는 집합이 된다.

콤팩트 공간에 관한 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이며, 곱 위상을 구성하는 것이 유용한 위상으로 여겨지는 이유를 보여준다. 일반적인 경우의 티호노프 정리는 선택 공리와 동치이다.