기저 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 부분 기저
3. 기저의 성질
4. 예시
5. 기저로 정의되는 개념
6. 정리
7. 닫힌 집합의 기저
8. 가중치와 지표
- 8.1. 열린 집합의 증가하는 사슬
참조

1. 개요

기저(위상수학)는 위상 공간의 열린 집합들을 생성하는 데 사용되는 부분 집합들의 모임이다. 집합 X의 기저 B는 X의 덮개이며, B의 임의의 두 원소의 교집합은 B의 원소들의 덮개이다. 기저는 위상 공간의 위상을 정의하고, 위상의 성질을 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 기저는 유일하지 않으며, 가중치와 같은 위상 공간의 성질을 결정하는 데 사용된다. 닫힌 집합의 기저와 부분 기저와 같은 관련 개념들도 존재하며, 위상 공간의 특성을 파악하는 데 활용된다.

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기저 (위상수학)

2. 정의

집합 X에 대한 '''기저'''는 다음 성질을 만족하는 X의 부분 집합들의 족 $\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)$ 이다.

$\mathcal B$ 는 X의 덮개이다. 즉, $\textstyle\bigcup\mathcal B=X$ 이다. 다시 말해, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $x\in B$ 를 만족하는 $B\in\mathcal B$ 가 존재한다.
임의의 $B,B'\in\mathcal B$ 에 대하여, $B\cap B'$ 의 덮개를 이루는 $\mathcal S\subseteq\mathcal B$ 가 존재한다 (즉, $\textstyle B\cap B'=\bigcup\mathcal S$ ). 다시 말해, 임의의 $B,B'\in\mathcal B$ 및 $x\in B\cap B'$ 에 대하여, $x\in B''\subseteq B\cap B'$ 인 $B''\in\mathcal B$ 가 존재한다.

이때 기저

\mathcal B

에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족)

\mathcal T\subseteq\mathcal P(X)

는 다음과 같다.

:

\mathcal T=\left\{\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B\right\}

즉, 기저

\mathcal B

로 생성되는 위상

\mathcal T

는

\mathcal B

의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해, X의 부분 집합

U\subseteq X

가 열린집합일 필요충분조건은, 임의의

x\in U

에 대하여

x\in B\subseteq U

를 만족하는

B\in\mathcal B

가 존재하는 것이다.

(X, \mathcal{O})

를 위상 공간이라고 하자.

\mathcal{B} \subset \mathcal{O}

가

\mathcal{O}

의 열린 집합의 기저인 것은 모든

U \in \mathcal{O}

에 대해

U = \bigcup \mathcal{S}

를 만족하는

\mathcal{S} \subset \mathcal{B}

가 존재하는 것이다.

2. 1. 부분 기저

집합 속의 임의의 집합족 가 주어졌다고 하자. 이때, '''로부터 생성되는 기저'''(base generated by |^영어)는 의 유한 교집합들로 구성된다. 이때 를 의 '''부분 기저'''(部分基底, subbase/subbasis|^영어)라 한다.

3. 기저의 성질

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 위상 공간 $X$의 위상 $\tau$의 기저 $\mathcal{B}$는 다음 성질을 만족한다.^[1]

# $\mathcal{B}$의 원소는 전체 공간 $X$를 피복한다.

# $\mathcal{B}_1$, $\mathcal{B}_2$가 $\mathcal{B}$의 원소이고, $I$를 $\mathcal{B}_1$과 $\mathcal{B}_2$의 교집합이라고 하면, $I$의 각 점 $x$에 대해 $x$를 포함하고 $I$에 포함되는 $\mathcal{B}$의 원소 $\mathcal{B}_3$를 찾을 수 있다.

반대로, $X$가 위상 없이 단지 집합이고 $\mathcal{B}$가 위의 두 성질을 만족하는 $X$의 부분 집합족이라고 가정하면, $\mathcal{B}$는 그것이 생성하는 위상의 기저가 된다.^[1]

4. 예시

실수선에서 열린 구간 전체가 이루는 집합족은 실수선상의 어떤 위상의 기저가 된다. 실제로, 임의의 두 열린 구간의 교집합은 그 자체로 열린 구간이거나 공집합이다. 이 기저가 생성하는 위상은 실수선에서의 일반적인 위상이다.

하나의 위상에 관해서 그 기저는 유일하게 결정되지 않는다. 복수의 기저가 (크기가 다르더라도), 같은 위상을 생성할 수 있다. 예를 들어, 끝점이 유리수인 열린 구간 전체와 끝점이 무리수인 열린 구간 전체는 모두 실수선의 일반적인 위상을 생성하지만, 이 두 집합족은 전혀 교집합을 갖지 않고, 또한 모두 열린 구간 전체가 이루는 기저에 포함된다. 선형대수학에서의 벡터 공간의 기저와는 대조적으로, 위상수학에서의 기저는 극대일 필요가 없다(실제로, 단 하나 존재하는 극대 기저는, 열린 집합계로서의 위상 자체에 일치해 버린다). 기저 ''B''가 생성하는 위상을 갖춘 공간 ''X''에서, 임의의 열린 집합을 기저 ''B''에 더 추가해도, 생성되는 위상에는 아무런 변화도 생기지 않는다. 기저가 가질 수 있는 최소의 농도를, 그 위상 공간의 '''가중치''' (''weight'')라고 부른다.

기저가 되지 않는 열린 집합족의 예로는, ''a''를 실수로 하여 (−∞, ''a'') 및 (''a'', ∞)의 형태로 쓸 수 있는 반무한 구간 전체가 이루는 집합 ''S''가 있다. 이 ''S''는 실수선 '''R'''상의 어떤 위상의 기저에도 '''될 수 없다'''. 이를 증명하기 위해, 만약 그러한 위상이 존재한다고 가정하고, 예를 들어 (−∞, 1)과 (0, ∞)는 모두 기저 ''S''의 원소 하나로 이루어진 합집합이므로, ''S''가 생성하는 위상에 관한 열린 집합이고, 그들의 교집합 (0,1)도 역시 그럴 것이지만, (0, 1)이 ''S''의 원소의 합집합으로 쓸 수 없다는 것은 명백하다. 개기의 특징을 사용해서 말하면 두 번째 성질이 성립하지 않으며, 이것은 교집합 (0,1)의 내부에 "들어맞는" 기저의 원소가 없다는 것이다.

4. 1. 비이산 위상

비이산 공간 ''X''는 {''X''}를 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다.

4. 2. 이산 위상

이산 공간

X

는 한원소 집합들의 족

\{\{x\}\colon x\in X\}

을 기저로 한다.

4. 3. 거리 위상

거리 공간

X

는 거리 위상을 부여하면 열린 공들의 족

:

\{B_r(x)\colon r>0,\;x\in X\}

을 기저로 한다. 반지름이 유리수인 열린 공들의 족

:

\{B_r(x)\colon r\in\mathbb Q^+,\;x\in X\}

역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다.

4. 4. 순서 위상

전순서 집합

X

에 순서 위상을 부여하면, 열린구간들의 족

:

\{(a,b),(a,\infty),(-\infty,a)\colon a,b\in X\}

을 기저로 가진다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족

:

\{(a,\infty),(-\infty,a)\colon a\in X\}

을 부분 기저로 한다.

4. 5. 유클리드 위상

실수선에서 열린 구간 전체가 이루는 집합족은 실수선상의 어떤 위상의 기저가 된다. 실제로, 임의의 두 열린 구간의 교집합은 그 자체로 열린 구간이거나 공집합이다. 이 기저가 생성하는 위상은 실수선에서의 일반적인 위상이다.

5. 기저로 정의되는 개념

순서 위상은 일반적으로 주어진 순서에 관한 열린 구간족을 열린 집합의 기저로 정의한다.^[1]
거리 위상은 일반적으로 열린 공 전체가 이루는 족이 생성하는 위상으로 정의된다.^[1]
제2 가산 공간은 가산 기저를 가진다.^[1]
이산 위상은 한 점 집합 전체를 열린 기저로 가진다.^[1]

6. 정리

위상 τ₂가 다른 위상 τ₁보다 세밀하기 위한 필요충분조건은, 각 점 x와 x를 포함하는 τ₁의 열린 기저의 원소 B에 대해, x를 포함하고 B에 포함되는 τ₂의 열린 기저의 원소를 취할 수 있다는 것이다.^[1]
B₁, B₂, …, Bₙ이 각각 위상 T₁, T₂, …, Tₙ의 열린 기저라면 곱집합 B₁ × B₂ × … × Bₙ는 곱위상 T₁ × T₂ × ... × Tₙ의 열린 기저가 된다. 무한 곱의 경우에는, 유한 개의 예외를 제외한 모든 열린 기저를 전체 공간으로 하는 것을 제외하면 종전과 같다.^[1]
B가 공간 X의 열린 기저이고 Y가 X의 부분 공간이면, 열린 기저 B의 각 원소와 Y의 교집합을 취해서 얻어지는 집합 전체는 부분 공간 Y의 열린 기저가 된다.^[1]
사상 f: X → Y가 X의 열린 기저의 임의의 원소를 Y의 열린 집합으로 사상시키면, f는 열린 사상이다. 마찬가지로, Y의 열린 기저의 임의의 원소의 역상이 X의 열린 집합이면, f는 연속 사상이다.^[1]
X의 부분 집합족 B가 위상 공간 X의 열린 기저가 되기 위한 필요충분조건은, X의 각 점 x에서, B의 원소 중 x를 포함하는 것 전체가 이루는 B 부분족이, x의 국소 기저를 이루는 것이다.^[1]

7. 닫힌 집합의 기저

폐집합 역시 열린 집합과 동등하게 공간의 위상을 기술할 수 있다. 따라서 위상 공간의 폐집합에 대해서도, 기저와 쌍대적인 기저의 개념이 존재한다. 주어진 위상 공간 ''X''에 대해, ''X''의 '''폐집합 기저''' ('''폐집합 기''' 또는 '''폐기저''')란 폐집합족 ''F''로, 임의의 폐집합 ''A''가 ''F''의 원소들의 교집합으로 나타낼 수 있는 것을 말한다.

다시 말해, 주어진 폐집합족 ''F''가 폐기저를 이룬다는 것은, 각 폐집합 ''A''와 ''A''에 속하지 않는 각 점 ''x''에 대해, ''A''를 포함하고 ''x''를 포함하지 않는 ''F''의 원소가 존재할 때이다.

''F''가 ''X''의 폐기저가 되기 위한 필요충분조건은 "''F''의 원소들의 여집합 전체로 이루어진 족이 ''X''의 기저가 된다는 것"임을 확인하는 것은 쉽다.

''F''를 ''X''의 폐기저라고 하면,

# ''F'' = ∅

# ''F''의 각 원소 ''F''₁, ''F''₂에 대해 그 합집합 ''F''₁ ∪ ''F''₂는 ''F''의 어떤 부분족의 교집합으로 나타낼 수 있다. (즉, ''F''₁에도 ''F''₂에도 포함되지 않는 임의의 ''x''에 대해, ''F''의 원소 ''F''₃로 ''F''₁ ∪ ''F''₂를 포함하지만 ''x''를 포함하지 않는 것이 존재한다).

가 성립한다. 집합 ''X''의 부분 집합족으로 이 두 조건을 만족하는 것은, ''X''상의 어떤 위상의 폐기저를 이룬다. 이 위상에 관한 폐집합의 전체는, ''F''의 원소들의 교집합으로 나타낼 수 있는 것 전체와 완전히 일치한다.

경우에 따라서는 기저보다 폐기저를 고려하는 것이 더 유효할 수 있다. 예를 들어, 공간이 완전 정칙 공간이 되기 위한 필요충분조건은, 그 위의 함수의 영점 집합 전체가 폐기저를 이룬다는 것이다. 임의의 위상 공간 ''X''에 대해, 그 위의 함수의 영점 집합 전체는, ''X''상의 어떤 위상의 폐기저를 이룬다. 이 위상은, 원래의 위상보다 거친 ''X'' 중 가장 미세한 완전 정칙 위상이다. 비슷한 흐름으로, 아핀 공간 '''A'''^''n'' 위의 자리스키 위상은 다항식 함수의 영점 집합을 폐기저로 정의된다.

8. 가중치와 지표

위상 공간 ''X''의 가중치(weight) ''w''(''X'')는 기저의 최소 기수이고, 네트워크 가중치 ''nw''(''X'')는 네트워크의 최소 기수이다. 점 ''x'' ∈ ''X''의 점 지표(character of a point) χ(''x'', ''X'')는 ''x''에서 국소 기저의 최소 기수이고, ''X''의 지표(character)는 χ(''X'') ≜ sup{χ(''x'', ''X'') : ''x'' ∈ ''X''}이다.

여기서 네트워크는 집합족 $\mathcal{N}$ 으로, 모든 점 ''x''와 ''x''를 포함하는 열린 근방 ''U''에 대해, $B\in\mathcal{N}$ 중 ''x'' ∈ ''B'' ⊆ ''U''를 만족하는 것이 존재할 때를 말한다.

지표와 가중치를 계산하는 이유는 어떤 종류의 기저와 국소 기저가 존재할 수 있는지 알 수 있기 때문이다.

다음과 같은 사실이 성립한다.

''nw''(''X'') ≤ ''w''(''X'')이다.
''X''가 이산적이면 ''w''(''X'') = ''nw''(''X'') = |''X''|이다.
''X''가 하우스도르프이면, ''nw''(''X'')가 유한하기 위한 필요충분조건은 ''X''가 유한 이산 공간이 되는 것이다.
''B''가 ''X''의 열린 기저이면, |''B''′| = ''w''(''X'')를 만족하는 열린 기저 ''B''′ ⊆ ''B''가 존재한다.
''N''이 ''x'' ∈ ''X''의 근방 기저이면, |''N''′| = χ(''x'', ''X'')를 만족하는 근방 기저 ''N''′ ⊆ ''N''이 존재한다.
''f'': ''X'' → ''Y''가 연속 사상이면, ''nw''(''Y'') ≤ ''w''(''X'')이다. 이는 ''X''의 각 열린 기저 ''B''에 대해 ''Y''-네트워크 ''f''^-1''B'' := {''f''^-1(''U'') : ''U'' ∈ ''B''}를 생각하면 된다.
(''X'', τ)가 하우스도르프이면, 더 약한 하우스도르프 위상 (''X'', τ′)으로 ''w''(''X'', τ′) ≤ ''nw''(''X'', τ)가 되는 것을 취할 수 있다. 더 강하게 ''X''가 콤팩트이면 τ′ = τ로 취할 수 있으며, 첫 번째 사실과 함께 ''nw''(''X'') = ''w''(''X'')를 얻는다.
''f'': ''X'' → ''Y''가 콤팩트 거리화 가능 공간에서 하우스도르프 공간으로의 연속 전사 사상이면 ''Y''는 콤팩트 거리화 가능하다.

마지막 사실은, 상 ''f''(''X'')가 콤팩트 하우스도르프이므로 ''nw''(''f''(''X'') = ''w''(''f''(''X'')) ≤ ''w''(''X'') ≤ ℵ₀ (콤팩트 거리화 가능 공간은 제2 가산이어야 한다)이고, 콤팩트 하우스도르프 공간이 거리화 가능한 것은 그것이 제2 가산일 때라는 사실로부터 유도된다.

(예를 들어 하우스도르프 공간에서의 임의의 경로는 콤팩트 거리화 가능하다는 것을 알 수 있다.)

8. 1. 열린 집합의 증가하는 사슬

''w''(''X'') ≤ κ 를 어떤 무한 기수라고 가정한다. 그러면 길이가 ≥ κ⁺인 열린 집합의 엄격하게 증가하는 수열(또는 닫힌 집합의 엄격하게 감소하는 수열)은 존재하지 않는다.

이를 확인하기 위해, 열린 기저 (''U''_ξ)_ξ∈κ를 고정하고, (''V''_ξ)_ξ∈κ⁺ 가 열린 집합의 엄격하게 증가하는 수열이라고 가정한다. 이는 임의의 α < κ⁺에 대해 ''V''_α ∖ ∪_ξ<α ''V''_ξ 가 공집합이 아니라는 의미이다. ''x'' ∈ ''V''_α ∖ ∪_ξ<α ''V''_ξ 를 선택하면, 앞서 고정한 기저를 활용하여 적절한 ''U''_γ로 ''x'' ∈ ''U''_γ ⊆ ''V''_α 가 되는 것을 찾을 수 있다. 이 방법으로 사상 ''f'': κ⁺ → κ 를, 각 α 를 ''U''_γ ⊂ ''V''_α 이고, ''U''_γ 가 ''V''_α ∖ ∪_ξ<α ''V''_ξ 와 교차하는 최소의 γ 로 사상하는 것으로 모순 없이 정의할 수 있다. 이 사상이 단사임을 확인할 수 있다. 그렇지 않다면, α < β 이고 ''f''(α) = ''f''(β) = γ 인 것이 존재하고, 거기에서 더욱 ''U''_γ ⊆ ''V''_α 이고, ''V''_β ∖ ∪_ξ<α ⊆ ''V''_β ∖ ''V''_α 와 교차하는 것이 따르지만, 이는 모순이다. 이는 κ⁺ ≤ κ 를 나타내므로 모순이다.

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