아벨로스

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1. 개요
2. 기하학적 성질
3. 일반화
4. 어원
참조

1. 개요

아르벨로스는 하나의 반원에 두 개의 반원이 내접하고 있을 때, 세 반원의 원호로 둘러싸인 기하학적 도형을 의미한다. 아르벨로스는 세 개의 반원으로 구성되며, 큰 반원은 두 개의 작은 반원을 포함한다. 아르벨로스의 둘레는 세 반원의 호의 길이의 합과 같으며, 넓이는 큰 반원에서 두 작은 반원의 넓이를 뺀 것과 같다. 아르벨로스의 면적은 지름이 AH인 원의 면적과 같다. 아르벨로스는 직사각형, 접선, 아르키메데스의 원과 같은 기하학적 성질을 가지며, 파르벨로스 및 f-벨로스와 같은 일반화된 형태로 확장될 수 있다. 아르벨로스라는 이름은 구두 수선공이 사용하는 칼에서 유래되었다.

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아벨로스
도형 정보
이름	아르벨로스
다른 이름	칼날, 식칼
정의	세 개의 공선 반원으로 둘러싸인 평면 영역 (가장 큰 반원의 지름과 같은 지름을 가진 두 개의 작은 반원)
성질
아르키메데스 쌍둥이 원	아르벨로스 안에 있는 합동원 (각 원은 큰 반원에 접하고, 작은 반원 중 하나에 접하며, 큰 반원의 지름에 수직임)
반원 높이	아르벨로스 내부에서 큰 반원의 지름에 수직인 선분 중 가장 긴 것의 길이
파푸스의 사슬	아르벨로스 내부에서 반복적으로 접하는 원들의 사슬
기타	아르키메데스 원 샤흐의 원 울만 원
관련 인물
관련 학자	아르키메데스 파푸스

2. 기하학적 성질

두 개의 반원은 임의의 지름 와 를 가지며 필연적으로 오목하며, 세 번째 반원은 지름 를 갖는 볼록 곡선이다. 작은 반원의 지름을 와 라고 하면, 더 큰 반원의 지름은 이다.

하나의 반원에 두 개의 반원이 내접하고 있을 때, 그 세 반원의 원호에 의해 둘러싸인 도형을 '''아르벨로스 도형'''이라고 부른다^[6]

2. 1. 정의

두 개의 반원은 임의의 지름 a와 b를 가지며 필연적으로 오목하며, 세 번째 반원은 지름 a+b를 갖는 볼록 곡선이다.^[6] 작은 반원의 지름을 와 라고 하면, 더 큰 반원의 지름은 이다.

하나의 반원에 두 개의 반원이 내접하고 있을 때, 그 세 반원의 원호에 의해 둘러싸인 도형을 '''아르벨로스 도형'''이라고 부른다.^[6]

2. 2. 둘레의 길이

오른쪽 그림에서 아벨로스의 둘레의 길이는 세 반원의 호의 길이의 합과 같다.

:

l=\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{r}{2}+\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{1-r}{2} = \pi

이는 선분 BC를 지름으로 하는 원의 둘레의 길이와 같다.

2. 3. 넓이

오른쪽 그림에서 아르벨로스의 넓이는 큰 반원에서 작은 두 반원의 넓이를 뺀 것과 같으며, 이는 선분 AH를 지름으로 하는 원의 넓이와 같다.

:

S=\frac{1}{2}\pi\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\pi\left(\frac{r}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\pi\left(\frac{1-r}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{4}r(1-r)=\pi\left(\frac{\sqrt{r(1-r)}}{2}\right)^{2}

하나의 반원에 두 개의 반원이 내접하고 있을 때, 그 세 반원의 원호에 의해 둘러싸인 도형을 '''아르벨로스 도형'''이라고 부른다^[6]。

2. 3. 1. 증명

H^영어를 큰 반원과 A^영어에서 BC^영어에 수직인 선의 교점이라고 하자. 그러면 아르벨로스의 면적은 지름 를 갖는 원의 면적과 같다.

증명을 위해, 아르벨로스를 점 B^영어와 C^영어를 지나는 선에 대해 반사시키고, 아르벨로스 면적의 두 배가 두 개의 작은 원(지름 , )의 면적을 큰 원(지름 을 갖는 원)의 면적에서 빼면 남는다는 것을 관찰한다. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하므로(유클리드의 원론, 제12권, 명제 2; 비례 상수가 라는 것을 알 필요는 없다), 문제는

2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |BA|^2

임을 보이는 것으로 축소된다. 길이 는 길이 와 의 합과 같으므로, 이 방정식은 대수적으로

|AH|^2 = |BA||AC|

라는 명제로 단순화된다. 따라서 주장은 선분 의 길이가 선분 와 의 길이의 기하 평균이라는 것이다. 이제 (그림 참조) 삼각형 는 반원에 내접하므로 점 에서 직각을 가지며(유클리드, 제3권, 명제 31), 결과적으로 는 실제로 와 사이의 "평균 비례"이다(유클리드, 제6권, 명제 8, 소론). 이 증명은 고대 그리스의 논증을 근사하며, 해럴드 P. 보아스는 로저 B. 넬슨의 논문을 인용했는데^[1] 그는 이 아이디어를 다음과 같은 말 없는 증명으로 구현했다.^[2]

2. 4. 직사각형

점 와 를 선분 와 가 각각 반원 와 와 만나는 점이라고 할 때, 사각형 는 직사각형이다.

2. 4. 1. 증명

점 D와 E를 선분 BH와 CH가 각각 반원 AB와 AC와 만나는 점이라고 하자. 사각형 ADHE는 실제로 직사각형이다.

∠BDA, ∠BHC 및 ∠AEC는 반원에 내접하기 때문에 직각이다 (탈레스의 정리). 따라서 사각형 ADHE는 세 개의 직각을 가지므로 직사각형이다.

2. 5. 접선

선 는 반원 에 점 에서, 반원 에 점 에서 접한다.

2. 5. 1. 증명

ἈΔΗΕ^grc는 직사각형이므로, 대각선 ΑΗ^grc와 ΔΕ^grc는 길이가 같고 교차점 Ο^grc에서 서로 이등분한다. 따라서,

|OD| = |OA| = |OE|

이다. 또한, 는 지름 와 에 수직이므로, 는 점 A^grc에서 두 반원에 접한다. 마지막으로, 임의의 외부점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로, 점 Ο^grc에서 반원 ΒΑ^grc와 AC^grc에 그은 다른 접선은 각각 와 이다.

2. 6. 아르키메데스의 원

높이는 아벨로스를 각 반원, 선분 및 바깥쪽 반원의 호로 경계가 지어지는 두 영역으로 나눕니다. 이 각 영역에 내접하는 원은 아르키메데스의 원으로 알려져 있으며, 크기가 같습니다.^[6]

3. 일반화

파르벨로스는 반원 대신 포물선 부분을 사용하는 아벨로스와 유사한 도형이다. 아르벨로스와 파르벨로스를 모두 포함하는 일반화는 특정 유형의 미분 가능한 함수를 사용하는 ''f''-벨로스이다.^[3] 쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모형에서 아르벨로스는 이상 삼각형을 모형화한다.

3. 1. 파르벨로스

파르벨로스는 반원 대신 포물선 부분을 사용하는 아벨로스와 유사한 도형이다. 아벨로스와 파르벨로스를 모두 포함하는 일반화는 특정 유형의 미분 가능한 함수를 사용하는 ''f''-벨로스이다.^[3]

3. 2. f-벨로스

파르벨로스는 반원 대신 포물선 부분을 사용하는 아르벨로스와 유사한 도형이다. 아르벨로스와 파르벨로스를 모두 포함하는 일반화는 특정 유형의 미분 가능한 함수를 사용하는 ''f''-벨로스이다.^[3]

3. 3. 쌍곡 평면에서의 모델

쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모형에서 아르벨로스는 이상 삼각형을 모형화한다.^[3]

4. 어원

"아르벨로스"라는 이름은 그리스어 ἡ ἄρβηλος|he árbēlos^grc 또는 ἄρβυλος|árbylos^grc에서 유래되었으며, 고대부터 현재까지 구두 수선공들이 사용해 온 "구두 수선공의 칼"을 의미한다. 이 칼날이 기하학적 도형을 닮았다고 한다.

참조

_[1] 논문 Proof without words: The area of an arbelos 2002
_[2] 논문 Reflections on the Arbelos http://www.maa.org/p[...]
_[3] 간행물 The f-belos http://forumgeom.fau[...] Forum Geometricorum 2013
_[4] 웹사이트 Arbelos
_[5] 서적 The Works of Archimedes https://web.archive.[...] Cambridge University Press 1897
_[6] 웹사이트 編集部からのメッセージ https://www.iwanami.[...]

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