아핀 사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 동치 조건
3. 성질
- 3.1. 세르 아핀성 조건
  - 3.1.1. 완전 함자 조건
  - 3.1.2. 고차 층 코호몰로지 조건
- 3.2. 연산에 대한 닫힘
  - 3.2.1. 합성
  - 3.2.2. 밑 전환
4. 다른 스킴 사상과의 관계
5. 예
- 5.1. 아핀 스킴 사이의 사상
- 5.2. 아핀 스킴의 특성화
참조

1. 개요

아핀 사상은 두 스킴 X, Y 사이의 스킴 사상 f: X → Y로, Y의 임의의 아핀 열린집합 U에 대해 f⁻¹(U)가 아핀 스킴이거나, f의 모든 원상이 아핀 열린집합인 아핀 열린집합들의 덮개가 Y에 존재하는 사상이다. 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이며, 유한 사상은 아핀 사상이다. 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이며, 밑 전환에 대해서 닫혀 있다. 두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 아핀 사상이며, 스킴 X가 아핀 스킴이라는 것은 유일한 스킴 사상 X → Spec Z가 아핀 사상이라는 것과 동치이다.

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아핀 사상

2. 정의

두 스킴 ''X'', ''Y'' 사이의 스킴 사상 ''f''\colon ''X''→ ''Y''에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''아핀 사상'''이라고 한다.

''Y''의 임의의 아핀 열린집합 Spec''R''≅''U''⊆''Y''에 대하여, 열린집합 ''f''^-1(''U'')⊆''X'' 역시 아핀 스킴이다.^[1]
모든 ''f''-원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 ''U''_i⊆''Y''들로 구성된 ''Y''의 덮개 (''U''_i)_i∈''I''가 존재한다.^[1]

2. 1. 기본 정의

두 스킴

X

,

Y

사이의 스킴 사상

f\colon X\to Y

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''아핀 사상'''이라고 한다.

$Y$ 의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}R\cong U\subseteq Y$ 에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.^[1]
모든 $f$ -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_i\subseteq Y$ 들로 구성된 $Y$ 의 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 가 존재한다.^[1]

2. 2. 동치 조건

두 스킴

X

,

Y

사이의 스킴 사상

f\colon X\to Y

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''아핀 사상'''이라고 한다.

$Y$ 의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}R\cong U\subseteq Y$ 에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.^[1]
모든 $f$ -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_i\subseteq Y$ 들로 구성된 $Y$ 의 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 가 존재한다.^[1]

3. 성질

다음이 주어졌다고 하자.

분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
스킴 $Y$
준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, '''세르 아핀성 조건'''(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$f$ 는 아핀 사상이다.
준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히,

Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z

일 경우를 생각하면, 임의의 스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아핀 스킴이다.
위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴

X

,

Y

,

Z

및 아핀 사상

f\colon X\to Y

및 스킴 사상

g\colon Z\to Y

에 대하여,

(f,g)

에 대한 올곱

X_YZ

를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상

\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z

역시 아핀 사상이다.

:

\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}

3. 1. 세르 아핀성 조건

다음이 주어졌다고 하자.

분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
스킴 $Y$
준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, '''세르 아핀성 조건'''(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$f$ 는 아핀 사상이다.
준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히,

Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z

일 경우를 생각하면, 임의의 스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아핀 스킴이다.
위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3. 1. 1. 완전 함자 조건

다음이 주어졌다고 하자.

분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
스킴 $Y$
준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, '''세르 아핀성 조건'''(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$f$ 는 아핀 사상이다.
준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히,

Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z

일 경우를 생각하면, 임의의 스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아핀 스킴이다.
위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3. 1. 2. 고차 층 코호몰로지 조건

다음이 주어졌다고 하자.

분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
스킴 $Y$
준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, '''세르 아핀성 조건'''(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

$f$ 는 아핀 사상이다.
준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히,

Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z

일 경우를 생각하면, 임의의 스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아핀 스킴이다.
위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴

X

,

Y

,

Z

및 아핀 사상

f\colon X\to Y

및 스킴 사상

g\colon Z\to Y

에 대하여,

(f,g)

에 대한 올곱

X_YZ

를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상

\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z

역시 아핀 사상이다.

:

\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}

3. 2. 1. 합성

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

3. 2. 2. 밑 전환

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴

X

,

Y

,

Z

및 아핀 사상

f\colon X\to Y

및 스킴 사상

g\colon Z\to Y

에 대하여,

(f,g)

에 대한 올곱

X_YZ

를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상

\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z

역시 아핀 사상이다.

:

\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}

4. 다른 스킴 사상과의 관계

모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다.

		분리 사상
		∪
준콤팩트 함수	⊃	아핀 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입

5. 예

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong\operatorname{Spec}R$ 인 가환환 $R$ 가 존재한다.
유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 아핀 사상이다.

5. 1. 아핀 스킴 사이의 사상

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 항상 아핀 사상이다. 임의의 스킴

X

에 대하여,

X

가 아핀 스킴이라는 것과 유일한 스킴 사상

X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z

가 아핀 사상이라는 것은 서로 동치이다.

5. 2. 아핀 스킴의 특성화

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong\operatorname{Spec}R$ 인 가환환 $R$ 가 존재한다.
유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 아핀 사상이다.

참조

_[1] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[2] 문서 ÉGA II 5.2.2, ÉGA IV 1.7.17

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