아핀 사상 - 오늘의AI위키

1. 개요

아핀 사상은 두 스킴 X, Y 사이의 스킴 사상 f: X → Y로, Y의 임의의 아핀 열린집합 U에 대해 f⁻¹(U)가 아핀 스킴이거나, f의 모든 원상이 아핀 열린집합인 아핀 열린집합들의 덮개가 Y에 존재하는 사상이다. 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이며, 유한 사상은 아핀 사상이다. 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이며, 밑 전환에 대해서 닫혀 있다. 두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 아핀 사상이며, 스킴 X가 아핀 스킴이라는 것은 유일한 스킴 사상 X → Spec Z가 아핀 사상이라는 것과 동치이다.

2. 정의

두 스킴 X, Y 사이의 스킴 사상 f\colon X→ Y에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.

* Y의 임의의 아핀 열린집합 SpecR≅U⊆Y에 대하여, 열린집합 f^-1(U)⊆X 역시 아핀 스킴이다.
* 모든 f-원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 U_i⊆Y들로 구성된 Y의 덮개 (U_i)_i∈I가 존재한다.

2.1. 기본 정의

두 스킴 $X$ , $Y$ 사이의 스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.
* $Y$ 의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}R\cong U\subseteq Y$ 에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.
* 모든 $f$ -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_i\subseteq Y$ 들로 구성된 $Y$ 의 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 가 존재한다.

2.2. 동치 조건

두 스킴 $X$ , $Y$ 사이의 스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.

* $Y$ 의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname{Spec}R\cong U\subseteq Y$ 에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.
* 모든 $f$ -원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_i\subseteq Y$ 들로 구성된 $Y$ 의 덮개 $(U_i)_{i\in I}$ 가 존재한다.

3. 성질

다음이 주어졌다고 하자.

* 분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
* 스킴 $Y$
* 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$ 는 아핀 사상이다.
* 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 아핀 스킴이다.
* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 아핀 사상 $f\colon X\to Y$ 및 스킴 사상 $g\colon Z\to Y$ 에 대하여, $(f,g)$ 에 대한 올곱 $X_YZ$ 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 $\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z$ 역시 아핀 사상이다.
: $\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}$

3.1. 세르 아핀성 조건

다음이 주어졌다고 하자.

* 분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
* 스킴 $Y$
* 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$ 는 아핀 사상이다.
* 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 아핀 스킴이다.
* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3.1.1. 완전 함자 조건

다음이 주어졌다고 하자.

* 분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
* 스킴 $Y$
* 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$ 는 아핀 사상이다.
* 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 아핀 스킴이다.
* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3.1.2. 고차 층 코호몰로지 조건

다음이 주어졌다고 하자.

* 분리 스킴 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$
* 스킴 $Y$
* 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre’s criterion of affineness^영어)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$ 는 아핀 사상이다.
* 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_*\colon\operatorname{QCoh}(X)\to\operatorname{QCoh}(Y)$ 는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* 아핀 스킴이다.
* 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 $\mathcal F\in\operatorname{QCoh}(X)$ 에 대하여, $\forall i\in\mathbb Z^+\colon\operatorname H^i(X;\mathcal F)=0$ 이다.

3.2. 연산에 대한 닫힘

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 아핀 사상 $f\colon X\to Y$ 및 스킴 사상 $g\colon Z\to Y$ 에 대하여, $(f,g)$ 에 대한 올곱 $X_YZ$ 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 $\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z$ 역시 아핀 사상이다.
: $\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}$

3.2.1. 합성

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

3.2.2. 밑 전환

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$ , $Y$ , $Z$ 및 아핀 사상 $f\colon X\to Y$ 및 스킴 사상 $g\colon Z\to Y$ 에 대하여, $(f,g)$ 에 대한 올곱 $X_YZ$ 를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 $\pi_Z\colon X\times_YZ\to Z$ 역시 아핀 사상이다.
: $\begin{matrix}X\times_YZ&\overset{\pi_Z}\to&Z\\{\scriptstyle \pi_X}\downarrow\color{White}{\scriptstyle \pi_X}&&{\color{White}\scriptstyle g}\downarrow\scriptstyle g\\X&\underset f\to&Y\end{matrix}$

4. 다른 스킴 사상과의 관계

모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다.

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		분리 사상
		∪
준콤팩트 함수	⊃	아핀 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입

5. 예

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $X$ 는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong\operatorname{Spec}R$ 인 가환환 $R$ 가 존재한다.
* 유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 아핀 사상이다.

5.1. 아핀 스킴 사이의 사상

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 항상 아핀 사상이다. 임의의 스킴 $X$ 에 대하여, $X$ 가 아핀 스킴이라는 것과 유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 아핀 사상이라는 것은 서로 동치이다.

5.2. 아핀 스킴의 특성화

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $X$ 는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong\operatorname{Spec}R$ 인 가환환 $R$ 가 존재한다.
* 유일한 스킴 사상 $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 아핀 사상이다.