알렉산드로프 콤팩트화

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1. 개요

알렉산드로프 콤팩트화는 임의의 위상 공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 이 방법은 원래 공간의 열린 집합과, 추가된 점을 포함하는 닫힌 콤팩트 집합의 여집합을 열린 집합으로 정의하여 위상을 부여한다. 알렉산드로프 콤팩트화는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 경우에 하우스도르프 공간이 되며, 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구와 위상 동형이다. 이 개념은 파벨 알렉산드로프에 의해 1924년에 처음 소개되었다.

알렉산드로프 콤팩트화

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 역사
6. 비하우스도르프 일점 컴팩트화

2. 정의

$X$ 가 임의의 위상 공간이라고 하자. 여기에 한 점 $\infty$ 를 추가하여, $X_+=X\sqcup\{\infty\}$ 에 다음과 같은 위상을 부여한다. $X_+$ 의 부분집합 $U\subset X_+$ 가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.

* 만약 $\infty\not\in U$ 라면, $U\subset X$ 가 $X$ 의 위상에서 열린 집합일 때
* 만약 $\infty\in U$ 라면, $X_+\setminus U\subset X$ 가 $X$ 의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때

이렇게 위상을 부여한 위상 공간 $X_+$ 는 항상 콤팩트 공간이다. 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다.

또한, $X$ 가 하우스도르프 콤팩트 공간이고, $p$ 가 $X$ 의 극한점 (즉, $X$ 의 고립점이 아님)이면, $X$ 는 $X\setminus\{p\}$ 의 알렉산드로프 콤팩트화이다.

집합으로 $X^* = X \cup \{\infty \}$ 로 하고, $X$ 의 모든 열린 집합과 $C$ 가 $X$ 에서 닫히고 콤팩트인 형태의 집합 $V = (X \setminus C) \cup \{\infty \}$ 를 열린 집합으로 정의하여 $X^*$ 에 위상을 부여한다. 여기서, $X \setminus C$ 는 $X$ 에서 $C$ 의 여집합을 나타낸다. $X^*$ 는 X의 알렉산드로프 확장이라고 불린다.

특히, 알렉산드로프 확장 $c: X \rightarrow X^*$ 는 X가 하우스도르프 공간이고, 비콤팩트하며, 국소 콤팩트 공간일 때에만 X의 하우스도르프 콤팩트화가 된다. 이 경우, 이를 X의 일점 콤팩트화 또는 알렉산드로프 콤팩트화라고 부른다.

3. 성질

포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow X_+$ 는 항상 연속 함수이며 열린 함수이다. 만약 $X$ 가 콤팩트하지 않은 경우 $i$ 의 상은 조밀 집합이다.

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $X_+$ 가 하우스도르프 공간이다.
* $X$ 가 하우스도르프 국소 콤팩트 공간이다.

임의의 두 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $(X\times Y)_+ \cong X_+ \wedge Y_+$
여기서 $\cong$ 은 점을 가진 공간의 위상 동형이며, $\wedge$ 는 두 점을 가진 공간의 분쇄곱이다.

알렉산드로프 콤팩트화는 함자를 이룬다. 특히, 임의의 연속 고유 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음과 같은 가환 네모를 만족시키는 자연스러운 연속 함수 $f_+\colon X_+\to Y_+$ 가 존재한다.

: $\begin{matrix}X &\overset f\to&Y\\\downarrow && \downarrow\\X_+&\underset{f_+}\to&Y_+\end{matrix}$

4. 예시

* 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 $S^n$ 과 위상 동형이다.
* 가산 무한 개의 열린 구간 $(0,1)\times\mathbb Z$ 의 알렉산드로프 콤팩트화는 하와이 귀고리와 위상 동형이다.
* 역 입체사영은 알렉산드로프 콤팩트화의 기하학적 예시를 제공한다.
* 양의 정수 집합의 일점 콤팩트화는 순서 위상을 갖는 K = {0} ∪ {1/n | n은 양의 정수}로 구성된 공간과 위상 동형이다.
* 다항 공간은 이산, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 일점 컴팩트화의 거듭제곱의 연속적인 이미지인 위상 공간으로 정의된다.
* n차원 유클리드 공간 Rⁿ의 일점 콤팩트화는 n차원 구 Sⁿ과 위상 동형이다.
* 연결 집합의 폐포는 연결되어 있으므로, 비콤팩트 연결 공간의 알렉산드로프 확장은 연결되어 있다.
* 가산 개수의 구간 (0,1)의 합집합의 일점 콤팩트화는 하와이언 이어링이다.
* $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이고 $C$ 가 $X$ 의 닫힌 부분 집합이면, $X\setminus C$ 의 일점 콤팩트화는 $X/C$ (몫 공간)이다.

5. 역사

파벨 세르게예비치 알렉산드로프가 1924년에 정의하였다.

6. 비하우스도르프 일점 컴팩트화

알렉산드로프 확장은 $X^*$ 를 $X$ 의 일점 콤팩트화로 만드는 가장 큰 위상이다. 여기서 $\infty$ 의 근방으로 $X$ 의 모든 닫힌 콤팩트 부분 집합의 여집합을 취한다. 열린 확장 위상은 $X^*$ 를 $X$ 의 일점 콤팩트화로 만드는 가장 작은 위상으로, $\infty$ 의 단일 근방, 즉 전체 공간 $X^*$ 를 추가한다. 이 두 위상 사이의 임의의 위상도 가능한데, $\infty$ 의 근방에 대해서는 $X$ 의 모든 닫힌 콤팩트 부분 집합의 여집합에서 적절한 부분족을 선택해야 한다. 예를 들어 모든 유한 닫힌 콤팩트 부분 집합의 여집합이나 모든 가산 닫힌 콤팩트 부분 집합의 여집합이 이에 해당한다.