국소 콤팩트 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 하우스도르프 공간에서의 동치 조건
3. 성질
4. 예시
5. 관련 개념
참조

1. 개요

국소 콤팩트 공간은 모든 점이 콤팩트 근방을 갖는 위상 공간이다. 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트성은 여러 가지 조건과 동치이며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이자 베어 공간이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간은 국소 닫힌 경우에만 국소 콤팩트하며, 몫 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 국소 콤팩트 공간의 곱은 일반적으로 국소 콤팩트가 아니지만, 유한 개를 제외한 모든 공간이 콤팩트하면 국소 콤팩트이다. 국소 콤팩트 군은 하르 측도를 가지며, 위상 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대는 국소 콤팩트성을 보존한다. 유클리드 공간과 p진수선은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 예시이며, 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 일점 콤팩트화를 통해 콤팩트 공간으로 매장될 수 있으며, 겔판트 표현과 하르 측도와 같은 개념과 관련이 있다.

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위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.

국소 콤팩트 공간
개요
종류	위상 공간
성질	모든 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 모든 이산 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 콤팩트화는 알렉산드로프 콤팩트화와 같다.
관련 개념	콤팩트 공간, 알렉산드로프 콤팩트화, 무한대에서의 소멸
정의
정의	위상 공간 의 각 점 에 대해, 의 근방 가 존재하며, 의 폐포 콤팩트할 때, 를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.
성질
하우스도르프	국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이다.
열린 부분 공간	국소 콤팩트 공간의 열린 부분 공간은 국소 콤팩트 공간이다.
닫힌 부분 공간	하우스도르프 공간의 닫힌 부분 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요충분조건은 그 공간이 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌 부분 공간인 것이다.
곱공간	임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
완비 거리화 가능	국소 콤팩트 공간이 거리화 가능 공간일 필요충분조건은 그 공간이 완비 거리화 가능 공간인 것이다.
예
예시	모든 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 모든 이산 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 유클리드 공간 }} 은 국소 콤팩트 공간이다. 실수선 은 국소 콤팩트 공간이다. 닫힌구간과 열린구간 스톤-체흐 콤팩트화를 갖는 모든 티호노프 공간 국소 콤팩트 위상군
반례	유리수 집합 는 의 부분 공간으로서 국소 콤팩트 공간이 아니다.

2. 정의

임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, 모든 점이 콤팩트 근방을 가지면 $X$ 를 '''국소 콤팩트 공간'''이라고 한다.^[11]

하우스도르프 분리 공리를 가정하면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다양하게 정의할 수 있다. 하지만 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 여러 정의들은 서로 동치가 아니다. 조건 (1)은 가장 덜 제한적이므로, 가장 일반적으로 사용되는 정의일 것이다. $X$ 가 하우스도르프 공간인 경우 다른 조건들과 동치이기 때문이다. 상대 콤팩트 집합의 관점에서 정의되는 조건 (2), (2'), (2")을 만족하는 공간은 '''국소 상대 콤팩트'''라고 부를 수 있다.^[4]^[5] 조건 (4)를 만족하는 공간은 국소 콤팩트 정칙 공간이다.

2. 1. 하우스도르프 공간에서의 동치 조건

하우스도르프 공간

X

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[1]

(1) 국소 콤팩트 공간이다.
(2) $X$ 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
(2’) $X$ 의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
(2’’) $X$ 의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
(3) $X$ 의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
(4) $X$ 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
(5) $X$ 는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.^[11]
(5’) $X$ 의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.^[11]

이 동치성은 하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 닫혀 있고, 콤팩트 공간의 닫힌 부분 집합은 콤팩트하다는 사실의 결과이다.

3. 성질

모든 국소 콤팩트 전정규 공간은 완전 정규 공간이다.^[9] 따라서 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이 된다. 정규성이 전정규성이나 완전 정규성보다 더 익숙한 조건이기 때문에, 국소 콤팩트 전정규 공간은 보통 '국소 콤팩트 정규 공간'으로 불린다. 마찬가지로 국소 콤팩트 티호노프 공간은 '국소 콤팩트 하우스도르프 공간'으로 불린다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''Y''의 부분 공간 ''X''가 국소 콤팩트인 경우는 ''X''가 ''Y''에서 국소 닫힌 경우뿐이다. 특히, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 모든 닫힌 집합과 모든 열린 집합은 국소 콤팩트이다. 또한, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''Y''의 조밀한 부분 공간 ''X''가 국소 콤팩트인 경우는 ''X''가 ''Y''에서 열린 경우뿐이다. ''어떤'' 하우스도르프 공간 ''Y''의 부분 공간 ''X''가 국소 콤팩트인 경우, ''X''는 ''Y''에서 국소 닫혀 있어야 하지만, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

하우스도르프 가정이 없으면, 약한 국소 콤팩트 공간(위 정의에서 조건 (1)을 만족하는 공간)의 모든 닫힌 집합은 약하게 국소 콤팩트이지만, 모든 열린 집합이 약하게 국소 콤팩트인 것은 아니다. 예를 들어, 유리수 $\mathbb{Q}$ 의 일점 컴팩트화 $\mathbb{Q}^*$ 는 콤팩트 공간이므로 약하게 국소 콤팩트하다. 그러나 $\mathbb{Q}$ 는 약하게 국소 콤팩트하지 않은 열린 집합이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 반대로, 모든 콤팩트 생성 하우스도르프 공간은 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫이다.

국소 콤팩트 공간에서 정의된 함수의 경우, 국소 균등 수렴은 콤팩트 수렴과 동일하다.

국소 콤팩트 공간의 곱이 국소 콤팩트인 것은 ''아니다''. 그러나 유한 개를 제외한 모든 공간이 콤팩트하면 국소 콤팩트''이다''. (이 조건은 필요충분조건이다.)

3. 1. 함의 관계

콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다.^[11]

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 티호노프 공간이다. 모든 국소 콤팩트 전정규 공간은 완전 정규 공간이므로, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간이다. 따라서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 일반적으로 국소 콤팩트 티호노프 공간이라고도 불린다.

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이다. 즉, 베르 범주 정리에 따라, 어디에도 조밀하지 않은 부분 집합들의 가산 합집합의 내부는 비어있다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''Y''의 부분 공간 ''X''가 국소 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 ''X''가 ''Y''에서 국소 닫힌 경우이다. 이는 ''X''가 ''Y''의 두 닫힌 부분 집합의 집합론적 차이로 표현될 수 있음을 의미한다. 특히, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 모든 닫힌 집합과 열린 집합은 국소 콤팩트이다. 또한, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''Y''의 조밀한 부분 공간 ''X''가 국소 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 ''X''가 ''Y''에서 열린 집합인 경우이다.

하우스도르프 가정이 없는 경우, 약한 국소 콤팩트 공간(위 정의에서 조건 (1)을 만족하는 공간)의 모든 닫힌 집합은 약하게 국소 콤팩트이지만, 모든 열린 집합이 약하게 국소 콤팩트인 것은 아니다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 반대로, 모든 콤팩트 생성 하우스도르프 공간은 어떤 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫이다.

국소 콤팩트 공간에서 정의된 함수의 경우, 국소 균등 수렴은 콤팩트 수렴과 동일하다.

3. 2. 연산에 대한 닫힘

국소 콤팩트 공간

X

에서 위상 공간

Y

로의 전사 연속 열린 함수

f\colon X\to Y

가 존재하면,

Y

는 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[11] 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합은 열린집합이다.^[12]^[13] 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다.

위상 공간들의 집합

(X_i)_{i\in I}

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

곱공간 $\textstyle\prod_{i\in I}X_i$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
모든 $X_i$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다.

3. 3. 위상군

G

가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이고,

H \subseteq G

가 그 부분군이라면, 잉여류 공간

G/H

는 국소 콤팩트 공간이다.^[11]

3. 4. 위상 벡터 공간

\mathbb K

가 실수체(

\mathbb R

) 또는 복소수체(

\mathbb C

)이고, 하우스도르프

\mathbb K

-위상 벡터 공간

V

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[14]

국소 콤팩트 공간이다.
국소 유계 공간이며, 모든 유계 닫힌집합은 콤팩트 집합이다.
유한 차원 공간이다. 즉, 벡터 공간 $\mathbb K^n$ ( $n\in\mathbb N$ )과 동형이다.
위상 벡터 공간 $\mathbb K^n$ ( $n\in\mathbb N$ )과 동형이다.

4. 예시

(유한 차원) 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 $\mathbb R^{\aleph_0}$ 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^[11]

''p''진수선 $\mathbb Q_p$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 $\mathbb Q$ 는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^[11]

4. 1. 콤팩트 하우스도르프 공간

모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 국소 콤팩트 공간이며, 콤팩트 공간의 예는 콤팩트 공간 문서에서 찾을 수 있다. 다음은 몇 가지 예시이다.

닫힌 단위 구간 [0,1]
임의의 닫힌 위상 다양체
칸토어 집합
힐베르트 큐브

4. 2. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 (콤팩트가 아닌 경우)

유클리드 공간

\mathbb R^n

은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이지만, 가산 무한 곱공간

\mathbb R^{\aleph_0}

는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^[11]

''p''진수선

\mathbb Q_p

은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

유리수 공간

\mathbb Q

는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^[11]

4. 3. 하우스도르프 공간 (국소 콤팩트가 아닌 경우)

유리수 공간 $\mathbb Q$ 는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 공간이 아니다.^[11] 이는 유리수 집합 '''Q''' ('''R'''로부터의 위상을 갖춘)에서 임의의 근방이 무리수에 해당하는 코시 수열을 포함하며, 이 수열은 '''Q'''에서 수렴하는 부분 수열을 가지지 않기 때문이다.
$\mathbf{R}^2$ 의 부분 공간 $\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})$ 는 원점이 콤팩트 근방을 가지지 않는다.
실수 집합 '''R'''에 하한 위상 또는 상한 위상을 부여한 경우 (이는 단측 극한 연구에 유용하다)
무한 차원 힐베르트 공간과 같이, T0 공간이며 하우스도르프인 무한 차원 위상 벡터 공간.
유리수 공간에 의 일반적인 위상으로부터의 상대 위상을 부여한 것은 임의의 콤팩트 부분 집합이 내부점을 갖지 않으므로, 이를 콤팩트 근방으로 갖는 점도 존재하지 않는다.
좌표 평면 의 부분 공간 는 원점이 콤팩트 근방을 갖지 않는다.
실수 전체의 집합 에 lower limit topology|하한 극한 위상^영어 또는 upper limit topology|상한 극한 위상^영어를 부여한 것(단측 극한 연구에 유용).
무한 차원 힐베르트 공간과 같이, 임의의 T₀인(따라서 하우스도르프인) 무한 차원 위상 선형 공간.

4. 4. 하우스도르프가 아닌 국소 콤팩트 공간

다음은 하우스도르프 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간의 예시이다.

유리수 '''Q'''의 일점 컴팩트화는 컴팩트하므로 (1)과 (2)의 의미에서 국소 콤팩트하지만, (3) 또는 (4)의 의미에서는 국소 콤팩트하지 않다.^[11]
임의의 무한 집합에 대한 특수점 위상은 (1)과 (3)의 의미에서 국소 콤팩트하지만, (2) 또는 (4)의 의미에서는 그렇지 않다. 임의의 근방의 폐포는 전체 공간이며, 이는 비콤팩트하기 때문이다.
위의 두 예시의 분리합집합은 (1)의 의미에서 국소 콤팩트하지만 (2), (3) 또는 (4)의 의미에서는 그렇지 않다.
실수선에 대한 오른쪽 순서 위상은 (1)과 (3)의 의미에서 국소 콤팩트하지만 (2) 또는 (4)의 의미에서는 그렇지 않다. 임의의 근방의 폐포는 전체 비콤팩트 공간이기 때문이다.
시에르핀스키 공간은 (1), (2) 및 (3)의 의미에서 국소 콤팩트하며, 또한 컴팩트하지만, 하우스도르프 공간도 아니고 정규도 (또는 심지어 준정규도) 아니므로 (4) 또는 (5)의 의미에서는 국소 콤팩트하지 않다. 시에르핀스키 공간의 가산 개의 복사본의 분리합집합은 (1), (2) 및 (3)의 의미에서 여전히 국소 콤팩트하지만 (4) 또는 (5)의 의미에서는 그렇지 않은 비콤팩트 공간이다.
더 일반적으로, 제외점 위상은 (1), (2) 및 (3)의 의미에서 국소 콤팩트하며, 컴팩트하지만, (4) 또는 (5)의 의미에서는 국소 콤팩트하지 않다.
무한 집합에 대한 여유한 위상은 (1), (2) 및 (3)의 의미에서 국소 콤팩트하며, 또한 컴팩트하지만, 하우스도르프 공간도 아니고 정규도 아니므로 (4) 또는 (5)의 의미에서는 국소 콤팩트하지 않다.
최소한 두 개의 원소를 가진 집합에 대한 비구분 위상은 (1), (2), (3) 및 (4)의 의미에서 국소 콤팩트하며, 또한 컴팩트하지만, 하우스도르프 공간가 아니므로 (5)의 의미에서는 국소 콤팩트하지 않다.
유리수 공간 '''Q'''의 일점 컴팩트화는 컴팩트하므로 각 점이 (닫힌) 근방을 갖는다는 의미에서 국소 콤팩트이지만, 컴팩트 근방으로 구성된 근방 기저를 갖는다는 의미에서의 국소 컴팩트성은 갖지 않는다.
임의의 무한 집합에 특수점 위상을 부여한 것은, 컴팩트 근방으로 구성된 근방 기저를 갖는다는 의미에서는 국소 콤팩트이지만, 특정점을 포함하는 비어 있지 않은 닫힌 컴팩트 부분 공간은 존재하지 않으므로 각 점이 닫힌 근방을 갖는다는 의미에서의 국소 컴팩트성은 갖지 않는다. 같은 것은 실수 직선에 상위 위상을 부여한 것에 대해서도 말할 수 있다.

5. 관련 개념

콤팩트화: 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 일점 콤팩트화를 통해 콤팩트 하우스도르프 공간에 매장될 수 있다. 이때 추가되는 점은 '무한대 점'으로 생각할 수 있으며, 이를 통해 무한대로의 경향을 설명할 수 있다.
겔판트 표현: 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X'' 위에서, 무한대에서 0으로 수렴하는 연속 복소수 값 함수들의 집합은 가환 C*-대수를 이룬다. 이는 겔판트 표현을 통해 증명 가능하다.
국소 콤팩트 군: 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군은 하르 측도라는 자연스러운 측도를 가지며, 이는 가측 함수의 적분을 가능하게 한다. 폰트랴긴 쌍대는 국소 콤팩트 아벨 군의 범주의 자기-쌍대성을 정의한다.

5. 1. 콤팩트화

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''는 티호노프 공간이므로, 스톤-체흐 콤팩트화를 사용하여 콤팩트 하우스도르프 공간

b(X)

에 매장될 수 있다. 그러나 국소 콤팩트의 경우 더 간단한 방법이 있는데, 일점 콤팩트화는 ''X''를 단 하나의 추가 점을 가진 콤팩트 하우스도르프 공간

a(X)

에 매장시킨다. 일점 콤팩트화는 다른 공간에도 적용될 수 있지만,

a(X)

가 하우스도르프 공간이 되는 것은 ''X''가 국소 콤팩트이고 하우스도르프 공간일 경우에만 해당한다. 따라서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린 부분집합으로 특징지을 수 있다.

a(X)

의 추가 점은 '''무한대 점'''으로 생각할 수 있다. 무한대 점은 ''X''의 모든 콤팩트 부분집합 외부에 놓여 있다고 생각해야 한다. 이러한 아이디어를 사용하여 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 무한대로의 경향에 대한 많은 직관적인 개념을 공식화할 수 있다. 예를 들어, 정의역 ''X''를 가지는 연속 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수 ''f''에 대해, 임의의 양수 ''e''가 주어졌을 때

|f(x)| < e

를 만족하는 ''X''의 콤팩트 부분집합 ''K''가 존재하고, ''x''가 ''K'' 외부에 있는 점이라면, 이 함수는 ''무한대에서 사라진다''고 말한다. 이 정의는 모든 위상 공간 ''X''에 대해 의미가 있다. ''X''가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간인 경우, 이러한 함수는 정확히 그 일점 콤팩트화

a(X) = X \cup \{ \infty \}

에서

g(\infty) = 0

을 만족하는 연속 함수 ''g''로 확장 가능한 함수이다.

5. 2. 겔판트 표현

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''에 대해, 무한대에서 0으로 수렴하는 ''X'' 상의 모든 연속 복소수 값 함수들의 집합

C_0(X)

는 가환 C*-대수이다. 실제로, 모든 가환 C*-대수는 어떤 유일한 (위상 동형까지) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 ''X''에 대해

C_0(X)

와 동형이다. 이는 겔판트 표현을 사용하여 증명된다.

임의의 가환 C*-환은, 어떤 (위상 동형의 차이를 제외하고) 유일하게 결정되는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 상의

C_0(X)

에 동형이다. 더 자세히 말하면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주와 가환 C*-환의 범주는 쌍대임이 겔판트 표현(en:Gelfand representation)을 사용하여 증명된다.

5. 3. 국소 콤팩트 군

국소 콤팩트성은 모든 하우스도르프 국소 콤팩트 군 ''G''가 ''G''에서 정의된 가측 함수를 적분할 수 있게 해주는 하르 측도라고 불리는 자연스러운 측도를 가지기 때문에, 주로 위상군 연구에서 중요하다. 실수선

\R

위의 르베그 측도는 이것의 특수한 경우이다.

위상 아벨 군 ''A''의 폰트랴긴 쌍대는 ''A''가 국소 콤팩트일 충분 필요 조건이다. 더 정확하게 말하면, 폰트랴긴 쌍대성은 국소 콤팩트 아벨 군의 범주의 자기-쌍대성을 정의한다. 국소 콤팩트 아벨 군의 연구는 조화해석의 기초이며, 이 분야는 이후 비아벨 국소 콤팩트 군으로 확장되었다.

참조

_[1] 논문 What is "locally compact"? http://www.pme-math.[...] 1992
_[2] 논문 Quotients of k-semigroups 1974
_[3] 서적 Soft Methodology and Random Information Systems Springer 2004
_[4] 논문 On the convergence of closed and compact sets https://projecteucli[...]
_[5] Arxiv Wallman Duality for Semilattice Subbases
_[6] 문서 Steen & Seebach, p. 20
_[7] 서적 General Topology, Part I Springer-Verlag 1989
_[8] Arxiv A Short Study of Alexandroff Spaces 2007-08-16
_[9] 웹사이트 general topology - Locally compact preregular spaces are completely regular https://math.stackex[...]
_[10] 서적 学術用語集数学編 http://sciterm.nii.a[...] 大日本図書
_[11] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[12] 서적 General topology Heldermann Verlag 1989
_[13] 저널 What is "locally compact"? 1992
_[14] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1991

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