알모양곡선
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1. 개요
알모양곡선은 달걀 모양을 닮은 곡선을 의미하며, 타원체도 포함한다. 기하학에서 정확한 정의는 없지만, 미분 가능하고 단순하며 볼록하고 닫힌 평면 곡선이며, 타원과 유사한 모양을 갖는 특징이 있다. 알모양곡선은 카시니의 난형선, 타원, 초타원 등 다양한 형태로 나타나며, 사영 기하학 및 기술 도면에서도 정의되고 활용된다. 일상생활에서는 달걀이나 타원과 유사한 모양, 혹은 경기장과 같은 도형을 지칭하는 데 사용되기도 한다.
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- 평면 곡선 - 등시 곡선
등시 곡선은 중력의 영향으로 물체가 곡선을 따라 움직일 때 시작 지점과 관계없이 최하점에 도달하는 데 동일한 시간이 걸리는 곡선이며, 사이클로이드가 등시 곡선임을 크리스티안 호이겐스가 증명했다. - 평면 곡선 - 로그 나선
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아스트로이드는 별 모양의 곡선으로, `x2/3 + y2/3 = a2/3` (a는 상수)로 표현되는 6차 실수 대수곡선이며, 매개변수 방정식, 페달 방정식 등 다양한 수학적 표현으로 나타낼 수 있고, 면적은 (3/8)πa², 둘레는 6a이며, 원 내부에서 작은 원이 구르며 생기는 자취로도 설명된다.
| 알모양곡선 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | '달걀과 비슷한 부드러운 곡선. 타원과는 달리 양 끝의 곡률이 다를 수 있다.' |
| 명칭 | |
| 어원 | 라틴어 "ovum(달걀)"에서 유래 |
| 특징 | |
| 타원과의 차이점 | 타원은 두 개의 초점을 가지며 대칭이지만, 오벌은 일반적으로 비대칭적인 형태를 가질 수 있다. |
| 활용 | |
| 디자인 | 다양한 디자인 요소로 활용 (예: 건축, 미술, 제품 디자인) |
| 수학 | '기하학에서 특정 조건을 만족하는 곡선을 정의하는 데 사용될 수 있다. 수학' |
2. 기하학에서의 알모양곡선
기하학에서 '''알모양곡선'''은 달걀을 닮은 모양의 곡선을 뜻하며, 타원체 또한 포함한다. 다른 곡선과 달리 알모양곡선에 대한 정확한 정의는 없으며, 일반적으로 다음과 같은 특징을 갖는다.
- 미분 가능하고(부드러운 곡선),[1] 단순 곡선(자기 교차하지 않음), 볼록 곡선, 닫힌 곡선, 평면 곡선이다.
- 모양이 타원과 크게 다르지 않다.
- 적어도 하나의 선대칭인 부분이 있다.
알모양곡선의 예시는 다음과 같다.
- 카시니의 난형선
- 타원
- 초타원
- 데카르트의 난형선
- 타원 곡선의 일부
- 모스의 달걀
- 경기장
덴마크의 시인 겸 과학자 피트 하인은 자신의 발명이라고 주장했지만, 실제로 직교 좌표계에서 이 도형의 좌표를 제시한 것은 프랑스의 수학자 가브리엘 라메이다. 다만 테이블 상판이나 도시 설계 디자인 등에 수퍼타원을 이용하여 널리 알린 것은 하인의 공적이다. 수퍼타원을 입체화한 "수퍼 에그"는 "Anti-stress Egg"라는 이름으로 스테인리스 스틸 재질의 힐링 상품이자 지적 호기심 자극 상품으로 출시되었다.
2. 1. 알모양곡선의 특징
기하학에서 '''알모양곡선'''은 달걀을 닮은 모양의 곡선을 뜻하며, 타원체 또한 포함한다. 다른 곡선과 달리 알모양곡선에 대한 정확한 정의는 없으며, 일반적으로 다음과 같은 특징을 갖는다.- 미분 가능하고(부드러운 곡선),[1] 단순 곡선(자기 교차하지 않음), 볼록 곡선, 닫힌 곡선, 평면 곡선이다.
- 모양이 타원과 크게 다르지 않다.
- 적어도 하나의 선대칭인 부분이 있다.
알모양곡선의 예시는 다음과 같다.
- 카시니의 난형선
- 타원
- 초타원
- 데카르트의 난형선
2. 2. 알모양곡선의 예시
일반적으로 타원이라고 불리려면, 평면 곡선은 달걀이나 타원의 윤곽을 ''닮아야'' 한다.[1] 타원은 대칭축을 가지지만, 이는 필수는 아니다.
- 카시니의 난형선
- 타원 곡선의 일부
- 모스의 달걀
- 슈퍼타원
- 데카르트 타원
- 경기장
'''타원체'''는 타원 곡선을 대칭축 중 하나를 중심으로 회전시켜 3차원 공간에서 생성된 표면이다. 형용사 '''타원형의'''와 '''난형의'''는 타원체의 특징을 갖는다는 의미이며, 종종 "달걀 모양"의 동의어로 사용된다.
- 덴마크의 시인 겸 과학자 피트 하인은 자신의 발명이라고 주장했지만, 실제로 직교 좌표계에서 이 도형의 좌표를 제시한 것은 프랑스의 수학자 가브리엘 라메이다. 다만 테이블 상판이나 도시 설계 디자인 등에 수퍼타원을 이용하여 널리 알린 것은 하인의 공적이다. 수퍼타원을 입체화한 "수퍼 에그"는 "Anti-stress Egg"라는 이름으로 스테인리스 스틸 재질의 힐링 상품이자 지적 호기심 자극 상품으로 출시되었다.
3. 알모양곡면
'''달걀 형태''' 혹은 '''난형'''으로 부르는 알모양곡면은 알모양곡선의 중심축을 기준한 회전체이다.
형용사 '''타원형의'''와 '''난형의'''는 종종 "달걀 모양"의 동의어로 사용된다.
3. 1. 달걀 모양
'''달걀 형태''' 혹은 '''난형'''으로 부르는 알모양곡면은 알모양곡선의 중심축을 기준한 회전체이다.
달걀의 모양은 납작한 타원체의 "긴" 반쪽과 대략 구형의 타원체 또는 약간 납작한 타원체의 "짧은" 반쪽이 결합된 형태로 근사할 수 있다. 이들은 적도에서 만나며 회전 대칭의 주축을 공유한다. "알 모양"이라는 용어는 일반적으로 적도면을 가로지르는 반사 대칭의 부재를 의미하지만, 실제 납작한 타원체를 지칭할 수도 있다. 또한, 장축을 중심으로 회전하면 3차원 표면을 생성하는 2차원 도형을 설명하는 데 사용할 수도 있다.
4. 사영 기하학
사영 평면에서 점 집합 Ω는 다음과 같은 조건을 만족하면 '''알모양곡선'''이라고 한다.[2]
# 임의의 직선 l은 Ω과 최대 두 점에서 만난다.
# 임의의 점 ''P'' ∈ Ω에 대해 정확히 하나의 접선 t가 ''P''를 지나며, 즉 1=t ∩ Ω = {''P''}.
''유한'' 평면(즉, 점 집합이 유한)의 경우, 더 편리한 특성화를 할 수 있다.
차수가 n인 유한 사영 평면(즉, 모든 직선은 n + 1개의 점을 포함)에서 점 집합 Ω가 알모양곡선이 되기 위한 필요충분 조건은 |Ω| = n + 1이고 세 점이 공선점 (공통 직선 위에)이 아닌 것이다.
사영 기하학에서 '''알모양체'''는 다음과 같은 점 집합 Ω를 의미한다.[3]
# 임의의 직선은 Ω과 최대 2개의 점에서 교차한다.
# 한 점에서의 접선들은 초평면을 덮으며 그 이상은 아니다.
# Ω는 어떤 직선도 포함하지 않는다.
''유한''의 경우, 차원이 3인 경우에만 알모양체가 존재한다. 편리한 특성화는 다음과 같다.
사영 평면의 이론에서 ''''''(난형선)은, 위수 n 의 사영 평면에서 어떤 세 점도 동일 직선상에 있지 않은 n + 1 점 집합을 말한다.
유한 사영 기하학 ''PG''(3, ''q'') 에서 ''''''(ovoid; 난형체, 난원형)는 어떤 세 점도 공선이 아닌 ''q''2 + 1 점 집합을 말한다. 오보이드 상의 각 점에 있어서, 그 점에서 오보이드에 접하는 모든 접선은 단 하나의 평면 위에 놓여있다.
4. 1. 사영 평면에서의 알모양곡선
사영 평면에서 점 집합 Ω는 다음과 같은 조건을 만족하면 '''알모양곡선'''이라고 한다.[2]
# 임의의 직선 l은 Ω과 최대 두 점에서 만난다.
# 임의의 점 ''P'' ∈ Ω에 대해 정확히 하나의 접선 t가 ''P''를 지나며, 즉 1=t ∩ Ω = {''P''}.
''유한'' 평면(즉, 점 집합이 유한)의 경우, 더 편리한 특성화를 할 수 있다.
차수가 n인 유한 사영 평면(즉, 모든 직선은 n + 1개의 점을 포함)에서 점 집합 Ω가 알모양곡선이 되기 위한 필요충분 조건은 |Ω| = n + 1이고 세 점이 공선점 (공통 직선 위에)이 아닌 것이다.
사영 기하학에서의 알모양체는 점들의 집합으로 정의될수 있다.
사영 평면의 이론에서 ''''''(난형선)은, 위수 n 의 사영 평면에서 어떤 세 점도 동일 직선상에 있지 않은 n + 1 점 집합을 말한다.
4. 2. 사영 공간에서의 알모양체
사영 기하학에서 '''알모양체'''는 다음 조건을 만족하는 점 집합 이다.[3]# 임의의 직선은 과 최대 2개의 점에서 교차한다.
# 한 점에서의 접선들은 초평면을 덮으며 그 이상은 아니다.
# 는 어떤 직선도 포함하지 않는다.
''유한''의 경우, 차원이 3인 경우에만 알모양체가 존재한다.[3] 3차원 유한 사영 공간에서 임의의 점 집합 는 ||이고 세 점이 공선점이 아닐 때, 알모양체가 된다.[3]
5. 기술 도면
기술 도면에서 타원은 두 쌍의 호로 구성된 도형으로, 두 개의 서로 다른 반지름을 갖는다. 호는 양쪽 호에 접선하는 선이 동일한 선상에 놓이는 점에서 연결되어 연결부를 부드럽게 만든다. 타원의 모든 점은 상수 반지름(더 짧거나 더 긴)을 가진 호에 속하지만, 타원에서는 반지름이 계속해서 변한다.
6. 일상 대화에서의 사용
일상적인 대화에서 "타원형"은 달걀이나 타원과 상당히 유사한 모양을 의미하며, 2차원 또는 3차원일 수 있다.[4] 또한 크리켓 경기장, 스피드 스케이팅장 또는 육상 트랙처럼 직사각형으로 연결된 두 개의 반원과 유사한 도형을 지칭하는 경우도 많다. 그러나 이것은 가장 정확하게는 경기장이라고 불린다. "타원"이라는 용어는 종종 타원형과 같은 의미로 사용되지만, 더 구체적인 수학적 의미를 갖는다. "직사각형"이라는 용어도 타원형을 의미하는 데 사용되지만, 기하학에서 직사각형은 곡선이 아닌 인접한 변이 같지 않은 직사각형을 의미한다.[6]
7. 한국에서의 활용 사례
참조
[1]
문서
[2]
서적
[3]
서적
[4]
웹사이트
Definition of ellipse in US English by Oxford Dictionaries
https://web.archive.[...]
Oxford University Press
2018-07-09
[5]
웹사이트
Definition of oblong in US English by Oxford Dictionaries
https://web.archive.[...]
Oxford University Press
2018-07-09
[6]
웹사이트
Definition of quadliraterals, Clark University, Dept. of Maths and Computer Science
https://mathcs.clark[...]
2020-10-21
[7]
웹사이트
オーバル(オボイドから転送)
https://www.weblio.j[...]
weblio辞書
[8]
웹인용
Difference between Oval and Ellipse
http://mathforum.org[...]
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