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미분법

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목차

1. 개요

미분법은 함수의 변화율을 연구하는 수학의 한 분야로, 미분의 기본 공식, 다양한 함수의 미분, 고계 도함수, 특수 함수의 미분, 적분 기호 아래에서의 미분 등을 포함한다. 미분의 기본 공식에는 선형성, 곱의 법칙, 연쇄 법칙 등이 있으며, 다항 함수, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 쌍곡선 함수 등 다양한 함수의 미분 공식을 제공한다. 또한, 파 드 브루노 공식과 일반 라이프니츠 법칙을 통해 고계 도함수를 계산하며, 감마 함수와 리만 제타 함수와 같은 특수 함수의 미분도 다룬다. 라이프니츠 적분 규칙을 통해 적분 기호 아래에서의 미분도 수행한다.

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미분법
개요
주제미분
분야미분학
일반적인 미분 규칙
상수 규칙d/dx (c) = 0 (c는 상수)
멱 규칙d/dx (x^n) = nx^(n-1) (n은 실수)
상수 곱 규칙d/dx (cf(x)) = c d/dx (f(x)) (c는 상수)
합 규칙d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx (f(x)) + d/dx (g(x))
차 규칙d/dx (f(x) - g(x)) = d/dx (f(x)) - d/dx (g(x))
곱 규칙d/dx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
몫 규칙d/dx (f(x)/g(x)) = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2
연쇄 법칙d/dx (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)
역함수 규칙dx/dy = 1 / (dy/dx)
흔한 함수의 도함수
상수 함수d/dx (c) = 0
지수 함수d/dx (a^x) = a^x ln(a)
자연 지수 함수d/dx (e^x) = e^x
로그 함수d/dx (log_a(x)) = 1 / (x ln(a))
자연 로그 함수d/dx (ln(x)) = 1/x
삼각 함수d/dx (sin(x)) = cos(x)
d/dx (cos(x)) = -sin(x)
d/dx (tan(x)) = sec^2(x)
d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)
d/dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)
d/dx (csc(x)) = -csc(x)cot(x)
역삼각 함수d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1-x^2)
d/dx (arccos(x)) = -1 / sqrt(1-x^2)
d/dx (arctan(x)) = 1 / (1+x^2)
d/dx (arccot(x)) = -1 / (1+x^2)
d/dx (arcsec(x)) = 1 / (|x| sqrt(x^2-1))
d/dx (arccsc(x)) = -1 / (|x| sqrt(x^2-1))
쌍곡선 함수d/dx (sinh(x)) = cosh(x)
d/dx (cosh(x)) = sinh(x)
d/dx (tanh(x)) = sech^2(x)
d/dx (coth(x)) = -csch^2(x)
d/dx (sech(x)) = -sech(x)tanh(x)
d/dx (csch(x)) = -csch(x)coth(x)
역쌍곡선 함수d/dx (arcsinh(x)) = 1 / sqrt(x^2+1)
d/dx (arccosh(x)) = 1 / sqrt(x^2-1)
d/dx (arctanh(x)) = 1 / (1-x^2) (|x| < 1)
d/dx (arccoth(x)) = 1 / (1-x^2) (|x| > 1)
d/dx (arcsech(x)) = -1 / (x sqrt(1-x^2))
d/dx (arccsch(x)) = -1 / (|x| sqrt(x^2+1))
같이 보기
관련 항목미분
미분표

2. 미분의 기본 공식

미분은 선형성을 가지며, 곱의 법칙, 연쇄 법칙 등 다양한 공식을 통해 복잡한 함수의 미분을 계산할 수 있다. 이 문단에서는 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

f와 g를 미분 가능한 함수라고 하면, 다음 공식들이 성립한다.


  • 선형성:

::\left({cf}\right)' = cf' (c는 상수)

::\left({f + g}\right)' = f' + g'

::\left({f - g}\right)' = f' - g'

  • 곱의 법칙:

:\left({fg}\right)' = f'g + fg'
:(f \circ g)' = (f' \circ g)g'

다음 공식들도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

  • 역수 법칙:

:\left( \frac{1}f \right)'= -\frac{f'}{f^2}

  • 몫의 법칙:

:\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}  (단, g \ne 0)

  • 역함수 법칙:

:f(g(y)) = y 라 하면

:g' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}}

별도로 명시되지 않는 한, 모든 함수는 실수를 반환하는 실수 ('''R''')의 함수이다. 일반적으로 아래 공식은 정의되어 있다면 적용된다.[1][2] — 복소수 ('''C''')의 경우를 포함한다.[3]

2. 1. 함수의 합, 차, 상수배

선형성에 따르면, 미분 가능한 두 함수 f, g와 실수 a, b에 대해, x에 대한 함수 h(x) = af(x) + bg(x)의 도함수는 다음과 같다.

:h'(x) = a f'(x) + b g'(x).

라이프니츠 표기법으로는 다음과 같이 나타낸다.

: \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.

위 식에서 특수한 경우는 다음과 같다.

  • 상수배 규칙: (af)' = af'
  • 합 규칙: (f + g)' = f' + g'
  • 차 규칙: (f - g)' = f' - g'.


이때, c는 상수이다.[4]

2. 2. 곱의 법칙

두 함수 f와 g가 미분 가능하다고 할 때, 두 함수의 곱으로 이루어진 함수 h(x) = f(x)g(x)의 도함수는 다음과 같다.

:h'(x) = (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

라이프니츠 표기법으로는 다음과 같이 나타낸다.

:\frac{d(fg)}{dx} = g\frac{df}{dx} + f\frac{dg}{dx}

2. 3. 연쇄 법칙

라그랑주의 표기법이 사용되었다.

f와 g를 미분 가능한 함수라 하면, 합성함수 h(x) = f(g(x))의 도함수(미분)는 다음과 같다.

: h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).

라이프니츠 표기법으로는 다음과 같이 표기한다.

:\frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),

종종 줄여서 다음과 같이 표기하기도 한다.

:\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.

사상의 개념에 초점을 맞추어 미분을 \text{D}로 나타내면, 더 간결하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

: [\text{D} (f\circ g)]_x = [\text{D} f]_{g(x)} \cdot [\text{D}g]_x\,.

2. 4. 몫의 법칙

두 함수 ''f''와 ''g''가 주어졌을 때, 다음 식이 성립한다.

:\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad (단, ''g''는 0이 아니다.)

이는 곱의 규칙과 역수 법칙으로부터 유도될 수 있다.

2. 5. 역함수 법칙

함수 f가 역함수 g를 가진다면, 이는 g(f(x)) = x 및 f(g(y)) = y를 의미하며, 다음이 성립한다.[1]

:g' = \frac{1}{f'\circ g}.

라이프니츠 표기법으로는 다음과 같이 표현된다.[1]

:\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}.

3. 여러 가지 함수의 미분

다항 함수, 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 쌍곡선 함수 등 다양한 함수의 미분 공식을 아래에 소개한다.


  • 상수 함수:

::{d \over dx} c = 0

  • x:

::{d \over dx} x = 1

  • 절댓값:

::{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0

  • 거듭제곱:

::{d \over dx} x^c = cx^{c-1}

  • 제곱근:

::{d \over dx} \sqrt{x} = {1 \over 2 \sqrt{x}}

  • 분수:

::{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = -{1 \over x^2}

3. 1. 다항 함수

다항식의 도함수를 계산할 때는 거듭제곱 법칙을 합의 법칙 및 상수 배 법칙과 결합하여 사용한다.

만약 f(x) = x^r이고, r \neq 0인 임의의 실수 r에 대해, 다음이 성립한다.

:f'(x) = rx^{r-1}.

r = 1일 때는 f(x) = x이면 f'(x) = 1이라는 특수한 경우가 된다.

기본적인 거듭제곱 규칙은 함수적 거듭제곱 규칙으로 일반화할 수 있다. 함수적 거듭제곱 규칙은 임의의 함수 ''f''와 ''g''에 대해

:(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad

양변이 모두 잘 정의된 곳에서 성립한다.

특수한 경우

  • 만약 f(x)=x^a\!이면, ''a''가 0이 아닌 임의의 실수이고 ''x''가 양수일 때 f'(x)=ax^{a-1}이다.
  • 역수 규칙은 g(x)=-1\!인 특수한 경우로 유도할 수 있다.

3. 2. 지수 함수와 로그 함수

지수 함수의 미분은 원래 함수에 자연로그의 밑을 곱한 형태이다. 로그 함수의 미분은 진수의 역수에 자연로그의 밑의 역수를 곱한 형태이다.

:{d \over dx} a^{f(x)} = { a^{f(x)} f'(x) \ln a },\qquad a > 0

:{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0

:{d \over dx} e^x = e^x

:{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1

:{d \over dx} \ln x = {1 \over x}

: \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {ac^{ax} \ln c } ,\qquad c > 0

위의 방정식은 모든 c에 대해 참이지만, c<0의 도함수는 복소수를 생성한다.

: \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = ae^{ax}

: \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 1

위의 방정식은 또한 모든 ''c''에 대해 참이지만, c<0\!이면 복소수를 생성한다.

: \frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0.

: \frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x} ,\qquad x \neq 0.

: \frac{d}{dx}\left( W(x)\right) = {1 \over {x+e^{W(x)}}} ,\qquad x > -{1 \over e}.\qquad여기서 W(x)는 람베르트 W 함수이다.

: \frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

: \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{if }f(x) > 0, \text{ and if } \frac{df}{dx} \text{ and } \frac{dg}{dx} \text{ exist.}

: \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ if } f_{i 0 \text{ and } \frac{df_{i}}{dx} \text{ exists. }

로그 미분은 함수의 로그를 미분하는 규칙을 다른 방식으로 표현한 것이다(연쇄 법칙 사용):

: (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad 여기서 ''f''는 양수이다.

로그 미분법은 미분을 실제로 적용하기 전에 로그와 미분 규칙을 사용하여 특정 식을 단순화하는 기법이다. 로그는 지수를 제거하고, 곱을 합으로 변환하고, 나눗셈을 뺄셈으로 변환하는 데 사용될 수 있으며, 각 변환은 미분을 구하기 위한 단순화된 식으로 이어질 수 있다.

3. 3. 삼각 함수

{| class="wikitable"

|-

! 함수 !! 도함수 !! 함수 !! 도함수

|-

| \sin x || \cos x || \arcsin x || \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

|-

| \cos x || -\sin x || \arccos x || -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

|-

| \tan x || \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x || \arctan x || \frac{1}{1 + x^2}

|-

| \csc x || -\csc{x}\cot{x} || \operatorname{arccsc} x || -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}

|-

| \sec x || \sec{x}\tan{x} || \operatorname{arcsec} x || \frac{1}

\cot x -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -1 - \cot^2 x \operatorname{arccot} x -{1 \over 1 + x^2}



위 표의 미분은 역 시컨트의 범위가 [0,\pi]\!이고 역 코시컨트의 범위가 \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]일 때에 해당한다.

두 개의 인수를 갖는 역 탄젠트 함수 \arctan(y,x)는 [-\pi,\pi] 범위에 있으며 점 (x,y)의 사분면을 반영한다. 첫 번째와 네 번째 사분면(즉, x > 0)에 대해 \arctan(y, x>0) = \arctan(y/x)이다. 이 함수의 편도함수는 다음과 같다.

: \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad\text{and}\qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.

3. 4. 쌍곡선 함수

쌍곡선 함수는 지수 함수를 이용하여 정의되며, 그 미분 또한 지수 함수를 통해 표현된다.

{| class="wikitable"

|-

! 식

! 역함수

|-

| \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x

| \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

|-

| \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x

| \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}

|-

| \frac{d}{dx} \tanh x = {\operatorname{sech}^2 x} = 1 - \tanh^2 x

| \frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}

|-

| \frac{d}{dx} \operatorname{csch} x = -\operatorname{csch}{x}\coth{x}

| \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x = -\frac{1}

\frac{d}{dx} \operatorname{sech} x = -\operatorname{sech}{x}\tanh{x}\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}}
\frac{d}{dx} \coth x = -\operatorname{csch}^2 x = 1 - \coth^2 x\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}



이러한 도함수의 제한 조건은 쌍곡선 함수를 참조.

4. 고계 도함수

함수의 n차 도함수를 계산하기 위한 몇 가지 규칙이 있으며, 여기서 n은 양의 정수이다.

파 드 브루노 공식

만약 f와 g가 n번 미분 가능하다면,

: \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}

여기서 r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m 이고 집합 \{k_m\}은 디오판토스 방정식 \sum_{m=1}^{n} m k_m = n의 모든 음이 아닌 정수 해로 구성된다.

일반 라이프니츠 법칙

만약 f와 g가 n번 미분 가능하다면, 다음이 성립한다.

: \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)

5. 특수 함수의 미분

;감마 함수

:\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt

:\begin{align}

\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\

& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\

& = \Gamma(x) \psi(x)

\end{align} 여기서 \psi(x)는 위 줄에서 \Gamma(x)의 오른쪽에 괄호로 묶인 식으로 표현되는 디감마 함수이다.

;리만 제타 함수

:\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}

:\begin{align}

\zeta'(x) & = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}

=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\

& = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2} \prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}}

\end{align}

6. 적분 기호 아래에서의 미분

다음과 같은 함수를 생각해보자.

:F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,

이 함수를 ''x''에 대해 미분한다고 가정한다.

여기서 함수 f(x,t) 및 \frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)는 a(x)\leq t\leq b(x), x_0\leq x\leq x_1을 포함하는 (t,x) 평면의 어떤 영역에서 t와 x 모두에 대해 연속이다. 또한, 함수 a(x)와 b(x)는 모두 연속이며 x_0\leq x\leq x_1에 대해 연속적인 도함수를 가진다. 그러면 \,x_0\leq x\leq x_1에 대해 다음이 성립한다.

: F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,.

이 공식은 라이프니츠 적분 규칙의 일반적인 형태이며, 미적분학의 기본 정리를 사용하여 유도할 수 있다.

참조

[1] 서적 Calculus (5th edition) Schaum's Outline Series 2009
[2] 서적 Advanced Calculus (3rd edition) Schaum's Outline Series 2010
[3] 서적 Complex Variables Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA) 2009
[4] 웹사이트 Differentiation Rules https://courseware.c[...] 2022-05-03


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