여과 범주

1. 개요

여과 범주는 정칙 기수 κ에 따라 정의되는 범주로, 특정 조건을 만족하는 범주를 의미한다. κ-여과 범주는 작은 범주와 함자에 대해 쌍대뿔을 가지며, $\backslash aleph\_0$-여과 범주는 단순히 여과 범주라고 불린다. κ-쌍대 여과 범주는 κ-여과 범주의 반대 범주이며, 쌍대 여과 극한은 쌍대 여과 범주에서 정의된 함자의 극한이다. 여과 범주는 대상과 사상의 상계를 가지며, 극한과 쌍대 극한의 교환 법칙과 관련된 성질을 갖는다. 또한, 여과 범주는 Ind-객체와 Pro-객체 개념과 연관된다.

2. 정의

정칙 기수 $\backslash kappa$가 주어졌을 때, 범주 $\backslash mathcal\; J$가 다음 조건을 만족시키면 $\backslash kappa$-여과 범주라고 한다.

* 임의의 작은 범주 $\backslash mathcal\; I$와 함자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; I\backslash to\backslash mathcal\; J$에 대하여, $\backslash mathcal\; I$의 사상 집합의 크기가 $\backslash kappa$ 미만이면, $D$는 쌍대뿔(cocone^영어)을 갖는다.

$\backslash aleph\_0$-여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.

$\backslash kappa$-쌍대 여과 범주($\backslash kappa$-cofiltered category^영어)는 $\backslash kappa$-여과 범주의 반대 범주이다.

2.1. κ-여과 범주

정칙 기수 $\backslash kappa$가 주어졌다고 하자. 범주 $\backslash mathcal\; J$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\backslash kappa$-여과 범주라고 한다.

* 임의의 작은 범주 $\backslash mathcal\; I$ 및 함자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; I\backslash to\backslash mathcal\; J$에 대하여, 만약 $\backslash mathcal\; I$의 사상 집합의 크기가 $\backslash kappa$ 미만이라면, $D$는 쌍대뿔(cocone^영어)을 갖는다.

$\backslash aleph\_0$-여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.

마찬가지로, $\backslash kappa$-쌍대 여과 범주($\backslash kappa$-cofiltered category^영어)는 $\backslash kappa$-여과 범주의 반대 범주이다.

다음과 같이 정의된 "여과 범주"의 변형을 "κ-여과 범주"라고 한다. 이는 다음과 같은 관찰에서 시작된다. 위의 여과 범주의 정의에 있는 세 가지 조건은 각각 $\backslash \{\backslash \; \backslash \; \backslash \}\backslash rightarrow\; J$, $\backslash \{j\backslash \; \backslash \; \backslash \; j\text{'}\backslash \}\backslash rightarrow\; J$, 또는 $\backslash \{i\backslash rightrightarrows\; j\backslash \}\backslash rightarrow\; J$ 형식의 $J$의 임의의 코뿔소가 존재한다고 말한다. 이 세 가지 형태의 다이어그램에 대한 코뿔소의 존재는 코뿔소가 임의의 유한 다이어그램에 대해 존재한다는 것을 의미한다. 즉, 범주 $J$는 (위의 정의에 따라) 유한 다이어그램 $d:\; D\backslash to\; J$에 대한 코뿔소가 있는 경우에만 여과된다.

이를 확장하여, 주어진 정칙 기수 κ에 대해, 범주 $J$는 κ보다 작은 기수를 갖는 $J$의 모든 다이어그램 $d$에 대한 코뿔소가 있는 경우 κ-여과 범주로 정의된다. (작은 다이어그램은 도메인의 사상 집합의 기수가 κ이면 기수가 κ이다.)

κ-여과 극한은 $J$가 κ-여과 범주인 함자 $F:J\backslash to\; C$의 극한이다.

2.2. κ-쌍대 여과 범주

κ^영어-쌍대 여과 범주(κ-cofiltered category^영어)는 κ^영어-여과 범주의 반대 범주(opposite category)이다.

3. 성질

범주 $\backslash mathcal\; J$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $\backslash aleph\_0$-여과 범주이다.
* 다음 세 조건들을 만족시킨다.
하나 이상의 대상을 갖는다.
임의의 두 대상 $I,J\backslash in\backslash mathcal\; J$에 대하여, 대상 $K\backslash in\backslash mathcal\; J$ 및 두 사상 $I\backslash xrightarrow\; fK\backslash xleftarrow\; gJ$이 존재한다.
** 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 $f,g\backslash colon\; I\backslash to\; J$에 대하여, $h\backslash circ\; f=h\backslash circ\; g$가 되는 대상 $K$ 및 사상 $h\backslash colon\; J\backslash to\; K$가 존재한다.

범주 $J$가 필터됨은 다음을 만족할 때이다.

* 비어 있지 않다.
* $J$에 있는 모든 두 객체 $j$와 $j\text{'}$에 대해 객체 $k$와 $J$에 있는 두 개의 화살표 $f:j\backslash to\; k$ 및 $f\text{'}:j\text{'}\backslash to\; k$가 존재한다.
* $J$에 있는 모든 두 개의 평행 화살표 $u,v:i\backslash to\; j$에 대해 $wu=wv$가 되도록 객체 $k$와 화살표 $w:j\backslash to\; k$가 존재한다.

필터된 코극한은 $J$가 필터된 범주일 때의 함자 $F:J\backslash to\; C$의 코극한이다. 반대 범주 $J^\{\backslash mathrm\{op\}\}$가 필터된 경우, 범주 $J$는 공동 필터링된다. 공동 필터링의 조건은 다음과 같다.

* 비어 있지 않다.
* $J$의 모든 두 객체 $j$와 $j\text{'}$에 대해 객체 $k$와 $J$의 두 화살표 $f:k\backslash to\; j$ 및 $f\text{'}:k\; \backslash to\; j\text{'}$가 존재한다.
* $J$에서 모든 두 개의 평행 화살표 $u,v:j\backslash to\; i$에 대해 $uw=vw$가 되도록 객체 $k$와 화살표 $w:k\backslash to\; j$가 존재한다.

공동 필터링 극한은 $J$가 공동 필터링된 범주인 함자 $F:J\; \backslash to\; C$의 극한이다.

정규 기수 κ에 대해, 범주 $J$는 κ보다 작은 기수를 갖는 $J$의 모든 다이어그램 $d$에 대한 코뿔소가 있는 경우 κ-여과 범주로 정의된다. κ-여과 극한은 $J$가 κ-여과 범주인 함자 $F:J\backslash to\; C$의 극한이다.

3.1. 극한과의 관계

완비 범주 $\backslash mathcal\; C$와 작은 범주 $\backslash mathcal\; J$에 대하여 극한 함자
:$\backslash varprojlim\_\{\backslash mathcal\; J\}\backslash colon\{\backslash mathcal\; C\}^\{\backslash mathcal\; J\}\backslash to\backslash mathcal\; C$
를 정의할 수 있다. 쌍대 완비 범주 $\backslash mathcal\; C$와 작은 범주 $\backslash mathcal\; J$에 대하여 쌍대 극한 함자
:$\backslash varinjlim\_\{\backslash mathcal\; J\}\backslash colon\{\backslash mathcal\; C\}^\{\backslash mathcal\; J^\{\backslash operatorname\{op\}\}\}\backslash to\{\backslash mathcal\; C\}$
를 정의할 수 있다.

작은 범주 $\backslash mathcal\; J$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $\backslash aleph\_0$-여과 범주이다.
* (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 $\backslash mathcal\; I$ 및 임의의 함자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; J\backslash times\backslash mathcal\; I^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Set\}$에 대하여, 표준적인 사상 $\backslash varinjlim\_\{\backslash mathcal\; J\}\backslash varprojlim\_\{\backslash mathcal\; I\}D\backslash to\backslash varprojlim\_\{\backslash mathcal\; I\}\backslash varinjlim\_\{\backslash mathcal\; J\}D$는 항상 전단사 함수이다.

3.2. 극한과 쌍대 극한의 교환 법칙

작은 범주 $\backslash mathcal\; J$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.

* $\backslash aleph\_0$-여과 범주이다.
* (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 $\backslash mathcal\; I$ 및 임의의 함자 $D\backslash colon\backslash mathcal\; J\backslash times\backslash mathcal\; I^\{\backslash operatorname\{op\}\}\backslash to\backslash operatorname\{Set\}$에 대하여, 표준적인 사상 $\backslash varinjlim\_\{\backslash mathcal\; J\}\backslash varprojlim\_\{\backslash mathcal\; I\}D\backslash to\backslash varprojlim\_\{\backslash mathcal\; I\}\backslash varinjlim\_\{\backslash mathcal\; J\}D$는 항상 전단사 함수이다.

4. Ind-객체와 Pro-객체

주어진 작은 범주 $C$에 대해, 표현 가능한 프리셰프들의 작은 여과된 쌍대 극한인 집합들의 프리셰프 $C^\{op\}\backslash to\; Set$를 범주 $C$의 ind-객체라고 부른다. 범주 $C$의 ind-객체들은 함자(프리셰프) 범주 $C^\{op\}\backslash to\; Set$에서 전체 부분 범주 $Ind(C)$를 형성한다. 범주 $C$의 pro-객체 범주 $Pro(C)=Ind(C^\{op\})^\{op\}$는 반대 범주 $C^\{op\}$의 ind-객체 범주의 반대 범주이다.