오각뿔
1. 개요
오각뿔은 6개의 면, 10개의 모서리, 6개의 꼭짓점을 가진 다면체이다. 밑면은 오각형이고, 나머지 5개의 면은 삼각형이다. 모든 모서리의 길이가 같고 밑면이 정오각형인 경우 존슨의 다면체에 속하며, 5개의 정삼각형 면과 1개의 정오각형 면으로 구성된다. 오각뿔은 다른 다면체의 구성 요소로 사용되며, 늘린 오각뿔, 회전 늘린 오각뿔, 쌍오각뿔, 뿔붙이 십이면체 등을 만들 수 있다. 또한 원자 클러스터, 바이러스 껍질, 구리의 전위선 특성 연구 등에 응용된다.
이미지 준비중입니다.
| 종류 | 피라미드 존슨 입체 J{{sub – J – J{{sub |
|---|---|
| 면 | 삼각형 5개 오각형 1개 |
| 변 | 10 |
| 꼭짓점 | 6 |
| 슈뢰플리 기호 | ( ) ∨ {5} |
| 대칭군 | C, [5], (*55) |
| 회전군 | C, [5], (55) |
| 꼭짓점 배열 | 5(3.5) (3) |
| 쌍대 | 자기 자신 |
| 성질 | 볼록 |
| 전개도 | pentagonal pyramid flat.svg |
| 삼각형-삼각형 | 138.19° |
|---|---|
| 삼각형-오각형 | 37.37° |
-
자기쌍대 다면체 -
육각뿔
육각뿔은 육각형 밑면과 삼각형 면으로 이루어진 뿔 모양의 다면체로, 7개의 꼭짓점, 12개의 모서리, 7개의 면을 가지며, 자기 쌍대 다면체이다. -
자기쌍대 다면체 -
늘린 사각뿔
늘린 사각뿔은 정육면체에 정사각뿔을 붙여 만든 다면체로, 겉넓이와 부피는 각각 $(4+\sqrt{3})a^2$와 $a^3 + \frac{1}{3}a^2h$이며, C4v 대칭을 가지고, 공간 테셀레이션에 사용될 수 있다. -
각뿔과 쌍각뿔 -
비틀어 늘린 쌍각뿔
비틀어 늘린 쌍각뿔은 n각 쌍뿔의 두 밑면 사이에 n각 엇각기둥을 추가하여 만들어지며, 밑면의 형태에 따라 종류가 나뉘고, 정삼각형으로만 이루어진 경우 델타다면체로 불린다. -
각뿔과 쌍각뿔 -
육각뿔
육각뿔은 육각형 밑면과 삼각형 면으로 이루어진 뿔 모양의 다면체로, 7개의 꼭짓점, 12개의 모서리, 7개의 면을 가지며, 자기 쌍대 다면체이다. -
기둥형 다면체 -
직육면체
직육면체는 6개의 직사각형 면으로 이루어진 볼록 다면체로, 모든 이면각이 직각이고 마주보는 면이 합동인 특징을 가지며, 정사각형 직육면체와 정육면체 같은 특수한 경우가 있고 부피, 표면적, 공간 대각선은 가로, 세로, 높이로 계산하며, 공간 감각과 기하학적 개념 이해에 중요한 역할을 한다. -
기둥형 다면체 -
오각지붕
오각지붕은 5개의 정삼각형, 5개의 정사각형, 1개의 정오각형, 1개의 정십각형으로 이루어진 존슨의 다면체이며, 회전 대칭을 갖고, 다양한 다면체를 구성하는 데 사용된다.
2. 성질
오각뿔은 꼭짓점 6개, 모서리 10개, 면 6개(오각형 1개, 삼각형 5개)로 이루어져 있다. 오각형의 꼭짓점을 연결하는 5개의 모서리와, 오각뿔의 옆면을 이루는 5개의 모서리가 꼭짓점에서 만난다. 밑면이 원에 외접하고 정오각형인 경우 정오각뿔, 높이가 밑면 중심에 수직이면 직오각뿔이라고 한다.
오각뿔은 각뿔 대칭 ()을 갖는다. 즉, 꼭짓점과 밑면 중심을 잇는 축을 중심으로 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 회전해도 같은 모양이다. 또한 밑면의 이등분선을 지나는 수직면에 대해 거울 대칭이다. 오각뿔은 바퀴 그래프 ()로 표현 가능하며, 골격은 중심 꼭짓점에 연결된 5개 꼭짓점을 가진 오각형으로 해석된다. 쌍대 다면체가 자기 자신인 자기 쌍대 다면체이다.
| 오각뿔의 쌍대다면체 | 쌍대다면체의 전개도 |
|---|---|
2.1. 존슨의 다면체 오각뿔
존슨의 다면체 오각뿔은 모든 모서리의 길이가 같고, 5개의 정삼각형 면과 1개의 정오각형 면으로 구성된다. 인접한 두 삼각형 면 사이의 이각은 약 138.19°이고, 삼각형 면과 밑면 사이의 이각은 약 37.37°이다.
한 변의 길이를 a라고 할 때, 겉넓이(A)와 부피(V)는 다음과 같다.
* 겉넓이: A영어 = ({{수학영어
* 부피: V영어 = ({{수학영어
3. 관련 다면체
오각뿔은 다른 다면체를 구성하는 요소로 사용된다.
* J9: 오각뿔의 밑면에 정오각기둥을 붙여 만든다.
* J11: 오각뿔의 밑면에 정반오각기둥을 붙여 만든다.
* 쌍오각뿔: 오각뿔 두 개를 밑면끼리 붙여 만든다.
* 뿔붙이 십이면체: 정십이면체의 각 면에 오각뿔을 붙여 만든다.
* J62와 J63: 정이십면체에서 오각뿔을 제거하여 만든다.
* 정이십면체: 윗부분이 오각뿔이다.
* 오각 절두체: 오각뿔의 꼭대기를 깎아낸 형태이다.
* 별 오각뿔: 오각성을 밑면으로 하는 오각뿔과 같은 꼭짓점 배열을 가진다.
(정오각기둥을 밑면에 추가)
(정반오각기둥을 밑면에 추가)
(밑면끼리 붙임)
(정십이면체를 밑면에 추가)
(최대 3개의 정오각뿔을 꺼낼 수 있다)