거울 대칭

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1. 개요

거울 대칭은 (거의) 모든 칼라비-야우 다양체에 대해 대응하는 공간이 존재하여, 두 공간의 돌보 코호몰로지가 특정 관계를 만족하는 현상이다. 이 대칭은 ⅡA형 초끈 이론과 ⅡB형 초끈 이론 사이의 관계를 설명하며, 복소구조, D-막, 호지 수 등의 대응 관계를 통해 나타난다. 현이론의 콤팩트화 과정에서 서로 다른 칼라비-야우 다양체가 동일한 물리적 성질을 가질 수 있다는 사실에서 비롯되었으며, 토러스가 가장 단순한 예시이다. 거울 대칭은 복소 기하학 문제를 심플렉틱 기하학 문제로 변환하며, 수리 기하학 문제 해결에 응용된다. 2차원 게이지 선형 시그마 모형, 3차원 게이지 이론, 호몰로지 거울 대칭 등 다양한 형태로 나타나며, 수학적 엄밀성을 더하기 위한 연구가 진행되고 있다.

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거울 대칭
거울 대칭 (끈 이론)
물리학
분야	끈 이론, 수학, 물리학
개념
설명	칼라비-야우 다양체 쌍 사이의 추측 관계

2. 정의

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

거의 모든 칼라비-야우 다양체 $M$ 에 대하여, 거울 대칭에 대응하는 공간 $W$ 가 존재한다.

2. 1. IIA형과 IIB형 초끈 이론의 대응 관계

거울 대칭에 따르면,

M

에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은

W

에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이들 사이의 대응 관계는 다음과 같다.

ⅡA	ⅡB
복소구조 모듈라이	일반화 켈러 다양체 구조 $(g,B)$ 모듈라이
D0-막	특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막
호지 수 $h^{1,1}=h^{2,2}$	호지 수 $h^{2,1} = h^{1,2}$
호지 수 $h^{1,2}=h^{2,1}$	호지 수 $h^{1,1} = h^{2,2}$
$h^{1,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{\mu i\bar\jmath})$	$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{ij},g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{\mu ij\bar k})$
$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{ij}, g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{ij\bar k},C_{\bar\imath\bar\jmath k})$ )	$h^{1,1}+1$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{i\bar\jmath},C_{\mu\nu i\bar\jmath})$ )
1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_\mu)$	1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_{\mu\bar\imath\bar\jmath\bar k})$

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

			1
		0		0
	0		h^1,1		0
1		h^1,2		h^1,2		1
	0		h^1,1		0
		0		0
			1

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 $C_{ijk}$ , $C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k}$
ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 $C_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 $C_0$

2. 2. 호지 수와 초다중항

거울 대칭에 따르면, 거의 모든 칼라비-야우 다양체

M

에 대하여, 이에 대응하는 공간

W

가 존재하며, 이들의 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

는 다음 관계를 만족한다.

:

H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)

여기서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

			1
		0		0
	0		h^1,1		0
1		h^1,2		h^1,2		1
	0		h^1,1		0
		0		0
			1

추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 $C_{ijk}$ , $C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k}$
ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 $C_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 $C_0$

3. 이론적 배경

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론으로, 4차원에서 초대칭을 보존하기 위해서는 실수 6차원 (복소수 3차원) 칼라비-야우 다양체에 축소화해야 한다. 거울 대칭은 이러한 콤팩트화 과정에서 나타나는 현상으로, 서로 다른 칼라비-야우 다양체 쌍이 동일한 물리학적 결과를 나타내는 것을 의미한다.

거울 대칭은 끈 이론의 중요한 개념 중 하나로, T-쌍대성과도 관련이 있다. T-쌍대성은 반경이 R인 원 주위를 전파하는 끈과 반경이 1/R인 원 주위를 전파하는 끈이 동등하다는 것을 의미한다. 거울 대칭은 복소 기하학과 심플렉틱 기하학 사이의 관계를 보여주며, 수학과 물리학의 발전에 큰 영향을 미쳤다.

거울 대칭의 간단한 예로 토러스를 들 수 있다. 토러스는 복소 평면에서 평행사변형의 반대쪽 변을 동일시하여 얻을 수 있다. 이때, 토러스의 복소 구조는 매개변수

\tau

로, 심플렉틱 구조는 매개변수

\rho

로 나타낼 수 있다. T-쌍대성을 토러스에 적용하면,

\tau

와

\rho

가 서로 바뀌는 것을 확인할 수 있다.

3. 1. 끈과 콤팩트화

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면, 실수 6차원 (복소수 3차원)의 칼라비-야우 다양체에 축소화해야 한다.

끈 이론에서 콤팩트화는 여분의 차원을 축소하여 4차원 시공간을 얻는 방법이다. 초끈 이론에서는 수학적 일관성을 위해 6개의 여분 차원이 필요하다.^[3]

'''거울 대칭'''에 따르면, 거의 모든 칼라비-야우 다양체

M

에 대하여, 이에 대응하는 공간

W

가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

는 다음 관계를 만족한다.

:

H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)

.

이에 따라,

M

에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은

W

에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

ⅡA	ⅡB
복소구조 모듈라이	일반화 켈러 다양체 구조 $(g,B)$ 모듈라이
D0-막	특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막
호지 수 $h^{1,1}=h^{2,2}$	호지 수 $h^{2,1} = h^{1,2}$
호지 수 $h^{1,2}=h^{2,1}$	호지 수 $h^{1,1} = h^{2,2}$
$h^{1,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{\mu i\bar\jmath})$	$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{ij},g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{\mu ij\bar k})$
$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{ij}, g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{ij\bar k},C_{\bar\imath\bar\jmath k})$ )	$h^{1,1}+1$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{i\bar\jmath},C_{\mu\nu i\bar\jmath})$ )
1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_\mu)$	1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_{\mu\bar\imath\bar\jmath\bar k})$

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

			1
		0		0
	0		h^1,1		0
1		h^1,2		h^1,2		1
	0		h^1,1		0
		0		0
			1

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 $C_{ijk}$ , $C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k}$
ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 $C_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 $C_0$

3. 2. 칼라비-야우 다양체

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

에우제니오 칼라비와 싱퉁 야우의 이름을 따서 명명된 칼라비-야우 다양체는, 끈 이론에서 여분의 차원을 콤팩트화하는 방법으로 사용된다.^[4]^[6] 콤팩트화는 시공간이 효과적으로 4차원인 모델을 구성하는데 사용될 수 있다. 하지만, 추가 차원을 콤팩트화하는 모든 방법이 자연을 설명하기에 적합한 속성을 가진 모델을 생성하는 것은 아니다.

1980년대 후반, 랜스 딕슨, 볼프강 레르체, 컴런 파파, 닉 워너는 끈 이론의 콤팩트화에서 해당하는 칼라비-야우 다양체를 고유하게 재구성하는 것이 불가능하다는 것을 발견했다.^[7] 대신, IIA형 끈 이론과 IIB형 끈 이론이라는 두 가지 다른 끈 이론 버전이 서로 다른 칼라비-야우 다양체에서 콤팩트화되어 동일한 물리학을 발생시킬 수 있다는 것을 발견했다. 이러한 상황에서 다양체는 미러 다양체라고 불리며, 두 물리 이론 간의 관계는 거울 대칭이라고 불린다.^[9]

'''거울 대칭'''에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체

M

에 대하여, 이에 대응하는 공간

W

가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지

H^{p,q}

는 다음 관계를 만족한다.

:

H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)

.

이에 따라,

M

에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은

W

에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다.

이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

ⅡA	ⅡB
복소구조 모듈라이	일반화 켈러 다양체 구조 $(g,B)$ 모듈라이
D0-막	특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막
호지 수 $h^{1,1}=h^{2,2}$	호지 수 $h^{2,1} = h^{1,2}$
호지 수 $h^{1,2}=h^{2,1}$	호지 수 $h^{1,1} = h^{2,2}$
$h^{1,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{\mu i\bar\jmath})$	$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 벡터 초다중항 $(g_{ij},g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{\mu ij\bar k})$
$h^{2,1}$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{ij}, g_{\bar\imath\bar\jmath},C_{ij\bar k},C_{\bar\imath\bar\jmath k})$ )	$h^{1,1}+1$ 개의 4차원 $\mathcal N=2$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 $(g_{i\bar\jmath},B_{i\bar\jmath},C_{i\bar\jmath},C_{\mu\nu i\bar\jmath})$ )
1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_\mu)$	1개의 4차원 $\mathcal N=2$ 중력 초다중항 $(g_{\mu\nu},C_{\mu\bar\imath\bar\jmath\bar k})$

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

			1
		0		0
	0		h^1,1		0
1		h^1,2		h^1,2		1
	0		h^1,1		0
		0		0
			1

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 $C_{ijk}$ , $C_{\bar\imath\bar\jmath\bar k}$
ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 $B_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 $C_{\mu\nu}$ (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 $C_0$

4. 거울 대칭의 여러 형태

일반적으로 거울 대칭은 두 물리 이론이 동등함을 나타내며, 복소 기하학 문제를 심플렉틱 기하학 문제로 번역한다. 가장 간단한 예는 2차원 칼라비-야우 다양체인 토러스이다.^[84] 현 이론에서는 주로 6차원 칼라비-야우 다양체를 사용하는데, 이는 관측 불가능한 시공간 차원에 해당한다.

칼라비-야우 다양체는 매우 특이한 형태를 가질 수 있으며, 위상수학적 불변량을 사용하여 그 형태를 기술한다. 오일러 지표는 칼라비-야우 다양체의 형태를 대략적으로 나타내는 수치이며, 거울 쌍인 칼라비-야우 다양체는 반대 부호의 오일러 지표를 가질 수 있다.^[85] 베치 수와 호지 수를 통해 오일러 지표를 더 자세히 분석할 수 있다.^[86]^[87]

거울 대칭에서는 상관 함수 계산이 중요한데, 끈의 상관 함수가 그 예이다.^[88] A-모델에서 끈의 상관 함수를 나타내는 그로모프-위튼 불변량은 계산하기 어렵지만, 거울 대칭을 통해 A-모델의 상관 함수를 B-모델의 상관 함수로 변환하여 계산을 쉽게 할 수 있다. 이는 칼라비-야우 다양체의 고전적인 복소 기하학을 이용하기 때문이다. 이러한 점이 거울 대칭이 수학자들의 관심을 끈 이유이다.^[89]

거울 대칭의 수학적 응용은 수리 기하학 분야에서 주로 이루어진다. 수리 기하학은 대수 기하학을 이용하여 기하학적 문제의 해의 개수를 센다. 아폴로니우스가 제시한 문제는 주어진 세 원에 접하는 평면상의 원의 개수를 묻는 문제인데, 일반적으로 8개의 해가 존재한다.^[90] (오른쪽 그림 참조)

수학의 수리 문제는 종종 대수다양체와 관련이 있다. 예를 들어, 클레브슈 3차 곡면은 3차 다항식으로 정의되며, 이 곡면 위에는 정확히 27개의 직선이 존재한다.^[91]

퀸틱 3차원 다양체 위에 그릴 수 있는 직선의 개수를 묻는 문제는 19세기에 헤르만 슈베르트에 의해 2,875개로 밝혀졌고, 1986년에는 셸던 카츠가 2차 곡선의 수가 609,250개임을 증명했다.^[90]

1991년경 수리 기하학에 대한 관심이 줄어들었지만, 물리학자 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린과 린다 파크스의 연구로 인해 다시 활기를 띠게 되었다.^[92] 이들은 거울 대칭을 이용하여 퀸틱 3차원 다양체에 포함된 3차 곡선의 수를 317,206,375개로 계산했다.^[92]

칸델라스와 연구진은 유리 곡선의 수에 대한 일반적인 결과도 얻었다.^[93] 이 연구는 이론 물리학의 아이디어를 바탕으로 했지만, 수학자들은 거울 대칭 추측의 일부를 엄밀하게 증명했다.^[94]

4. 1. 2차원 게이지 선형 시그마 모형

거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(벡터 초다중항)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항, 그리고 비틀린 손지기 초다중항을 이루는 장세기의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.^[125]^[132]

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model^영어)에 대응한다.

4. 1. 1. 위상 끈 이론

칼라비-야우 다양체 위의 2차원

\mathcal N=(2,2)

초대칭 비선형 시그마 모형은 두 가지 방식으로 위상적 뒤틀림을 가하여 위튼형 위상 양자장론을 만들 수 있다. 이를 각각 '''A모형'''과 '''B모형'''이라고 한다.^[133] 거울 대칭은 A모형과 B모형을 연결하는데, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 서로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 연결한다.

이러한 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

4. 2. 3차원 게이지 이론

3차원 supersymmetry|초대칭^영어 게이지 이론에서도 일종의 거울 대칭(3차원 거울 대칭)이 존재한다.^[99] 이는 4차원 N|N^영어=2 거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.

4. 3. 스트로민저-야우-재슬로 가설 (SYZ 가설)

SYZ 가설은 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다.^[134]^[135]^[136]^[137]^[138] 이 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 복소 n차원 칼라비-야우 다양체는 Tⁿ (실수 n차원 원환면) 올화(fibration^영어)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍

X,Y

는 같은 공간

B

위의 원환면 올다발

\pi_X\colon X\to B

,

\pi_Y\colon Y\to B

를 이루며, 임의의 올

b\in B

에 대하여

X_b=\pi_X^{-1}(b)

와

Y_b=\pi_Y^{-1}(b)

는 다음과 같은 관계를 가진다.

:

X_b=H^1(Y_b;\mathbb R/\mathbb Z)

:

Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)

이는 n차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다.^[137]^[139] 이는 '''큰 복소 구조 극한'''(large complex structure limit^영어)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 '''큰 부피 극한'''(large volume limit^영어)에 대응한다.

1996년 앤드루 스트로민저, 야우싱퉁, 에릭 재슬로는 거울 대칭을 이해하는 또 다른 방법을 제시했다.^[19] 이들의 추측(SYZ 추측)에 따르면, 칼라비-야우 다양체를 더 간단한 조각으로 나누고 변환하여 거울 칼라비-야우를 얻음으로써 거울 대칭을 이해할 수 있다.^[56]

칼라비-야우 다양체의 가장 간단한 예는 2차원 토러스이다.^[57]

도넛 모양 표면에 두 개의 원이 그려져 있으며, 하나는 구멍을 지나고 다른 하나는 구멍을 통과한다.

토러스에는 무한히 많은 원이 있으며, 전체 표면은 이러한 원의 합집합이다.^[58] 보조 원

B

(그림의 핑크색 원)를 선택하여 토러스를 분해하는 무한히 많은 원 각각이

B

의 점을 통과하도록 할 수 있다. 원

B

는 단순한 목록 이상이며, 이러한 원이 토러스에 어떻게 배열되는지를 결정하기도 한다.^[52]

끈 이론에서 주된 관심 대상인 칼라비-야우 다양체는 6차원이다. 이러한 다양체는 3-토러스를 3-구

B

에 의해 매개변수화하여 나눌 수 있다.

B

의 각 점은 3-토러스에 해당하며, 칼라비-야우에서 세그먼트의 그리드와 같은 패턴을 형성하고 특이 토러스에 해당하는 무한히 많은 "나쁜" 점을 제외한다.^[59]

칼라비-야우 다양체가 더 간단한 부분으로 분해되면 거울 대칭은 직관적인 기하학적 방식으로 이해할 수 있다. 예를 들어 위에서 설명한 토러스를 물리 이론의 "시공간"을 나타낸다고 상상해 보자. 양자 역학의 규칙에 따라 시공간을 통과하는 끈이 이 이론의 기본적인 객체이다. 끈 이론의 기본적인 이중성 중 하나는 T-이중성으로, 반경이

R

인 원 주위를 전파하는 끈은 반경이

1/R

인 원 주위를 전파하는 끈과 동일하다.^[60] 예를 들어, 끈이 원을 감는 횟수를 감김수라고 한다. 끈이 한 묘사에서 운동량

p

와 감김수

n

을 가지면, 이중 묘사에서는 운동량

n

과 감김수

p

를 갖게 된다.^[60] 토러스를 분해하는 모든 원에 동시에 T-이중성을 적용하면 이러한 원의 반경이 역전되어 원래의 거울이 되는 새로운 토러스가 남게 된다.^[61]

일반적으로 SYZ 추측은 거울 대칭이 이러한 토러스에 대한 T-이중성의 동시 적용과 동일하다고 말한다. 각각의 경우, 공간

B

는 이러한 토러스가 칼라비-야우 다양체로 조립되는 방식을 설명하는 일종의 청사진을 제공한다.^[62]

4. 4. 호몰로지 거울 대칭

막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였는데, 이를 호몰로지 거울 대칭(homological mirror symmetry^영어)이라고 한다.^[140]^[141]

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍

(M,W)

사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

:

M

의 연접층의 범주의 유도 범주 =

W

의 후카야 범주의 유도 범주

여기서 양변은 다음과 같다.

후카야 범주는 특수 라그랑주 부분 다양체를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, '''A-모형'''(A-model^영어)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우 다양체의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는다.
연접층의 범주는 '''B-모형'''(B-model^영어)을 나타낸다.^[144]^[145]

이 A-모형과 B-모형은 '''위상 끈 이론'''의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 일종의 모형이다.

A pair of surfaces joined by wavy line segments. — D-브레인 쌍에 부착된 열린 끈

5. 예시

물리학에서 현이론은 소립자를 점입자가 아닌 string (physics)|현 (물리)|현^영어이라고 불리는 1차원 대상으로 대체하는 이론적 틀이다. 현이론은 이 현들이 공간에서 어떻게 전파하고 서로 상호 작용하는지를 설명한다. 현의 스케일보다 큰 거리에서는 현은 일반적인 입자처럼 보이며, 질량과 전하를 가지고, 현의 진동 상태에 의해 결정되는 다른 성질을 가진다. 현이 분열하거나 결합하는 것은 입자의 방출과 흡수에 해당하며, 입자 간의 상호 작용을 야기한다^[68]。

현이론은 일상 세계와는 다른 차원을 묘사한다. 일상에서는 3개의 공간 차원(상하, 좌우, 전후)과 1개의 시간 차원(이후 이전)이 존재하여, 시공간은 4차원이다^[69]。 현이론은 수학적 일관성을 위해 추가적인 공간 차원을 요구한다. 초현이론에서는 초대칭성이라는 개념과 결합하여, 일상적인 4차원에 더해 6차원의 여분 차원이 존재한다^[70]。

현이론의 목표 중 하나는 고에너지 물리학 실험에서 관찰되는 입자들을 현으로 재현하는 모델을 구성하는 것이다. 이를 위해서는 시공간이 4차원이어야 하므로, 여분 차원을 제거하는 방법이 필요하다. 콤팩트화는 현이론의 특정 차원이 원처럼 닫혀 있는 상태를 말하며, 이 차원이 매우 작아지면 유효 이론에서는 더 낮은 차원을 가지게 된다^[71]。

콤팩트화를 통해 4차원 시공간 모델을 구성할 수 있지만, 모든 콤팩트화 방법이 자연을 잘 설명하는 것은 아니다. 소립자 물리학 모델을 구성하기 위해서는 콤팩트한 여분 차원이 칼라비-야우 다양체 형태를 가져야 한다^[71]。 칼라비-야우 다양체는 (전형적으로) 6차원의 복잡한 형태이며, 특정 조건을 만족한다. 이 다양체는 에우제니오 칼라비와 싱퉁 야우의 이름을 따서 명명되었다^[73]。

1980년대 후반에는 콤팩트화된 칼라비-야우 다양체가 유일하게 재구성되지 않고, 두 개의 다른 칼라비-야우 다양체가 동일한 물리적 성질을 가질 수 있다는 것이 밝혀졌다^[74]。 이러한 다양체는 서로 "미러"라고 불린다.

칼라비-야우 다양체의 미러 대칭성은 중요한 수학적 결과를 가져왔다^[77]。 현이론에 사용되는 칼라비-야우 다양체는 수학적으로도 흥미로우며, 미러 대칭성은 수세 대수 기하학의 많은 문제를 해결하는 데 도움을 주었다^[78]。

5. 1. 타원 곡선

타원 곡선의 거울 대칭은 가장 기본적인 경우이다. 타원 곡선의 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간은 일치하며, 이는 T-이중성의 특수한 경우로 해석될 수 있다.^[68]

타원 곡선

E

는 위상수학적으로 2차원 원환면이며, 그 복소구조의 모듈라이 공간은

:

\mathbb H/\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

이다. 여기서

\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}

는 열린 상반평면이며,

\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)

는 모듈러 군이다. 방향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원

:

S\colon z\mapsto-1/z

:

T\colon z\mapsto z+1

가운데

T

만이 허용되고, 따라서 복소구조 모듈라이 공간은

:

\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z)

이다.

타원 곡선의 켈러 구조는 켈러 형식

K\in H^2(E;\mathbb R)\cong\mathbb R

에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 타원 곡선의 넓이

:

\langle[E],K\rangle\in\mathbb R^+

으로 나타낼 수 있다. (여기서

[E]

는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조

K

에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장

B\in\operatorname H^2(E;\mathbb R/2\pi\mathbb Z)

를 더하여 '''복소화 켈러 구조'''(complexified Kähler structure^영어)

\mathcal K

를 생각할 수 있다.

:

\mathcal K=\mathrm iK+\frac1{2\pi}B\in\frac{\operatorname H^2(E;\mathbb C)}{\operatorname H^2(E;\mathbb Z)}

복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다.

:

\langle[E],\mathcal K\rangle\in\mathbb H/\mathbb Z = \mathrm i\mathbb R^+ + (\mathbb R/\mathbb Z)

즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간('''복소화 켈러 뿔''' complexified Kähler cone^영어)은

\mathbb H/\mathbb Z

이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이

\mathbb H/\mathbb Z

로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡA종 초끈 이론이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.

5. 2. K3 곡면

K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론은 거울 대칭을 통해 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론과 동형이다.^[146] 이는 4차원 원환면 위에 축소화한 잡종 끈 이론과 동치이다.

6. 역사

거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 필립 칸델라스와 모니카 링커, 롤프 심리크는 4차원 끈 이론 축소화를 연구하기 위하여 가중 사영 공간 속의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 컴퓨터를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 $\chi = 2h^{1,1} - 2h^{2,1}$ 와 초다중항 수 $h^{1,1}+h^{2,1}$ 를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 $\chi\mapsto-\chi$ 에 대하여 거의 대칭이 되는 현상을 발견하였다.^[147] 거의 동시에, 브라이언 그린 · 로넨 플레서^[148]와 폴 스티븐 애스핀월 · 카르스텐 안드레브 뤼트켄 · 그레이엄 갈런드 로스^[149] 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다.^[150]^[151]

1994년에 막심 콘체비치는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다.^[140] 이후 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로가 거울 대칭을 T-이중성의 특별한 경우로 해석하였다.^[152]

7. 응용

거울 대칭은 수리 기하학의 문제, 특히 기하학적 질문의 해답 수를 세는 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 칼라비-야우 다양체에 있는 유리 곡선의 수를 세는 문제가 있다. 또한 끈 이론에서 계산을 수행하는 기본적인 도구이기도 하다.

수리 기하학의 초기 문제 중 하나는 고대 그리스 수학자 아폴로니우스가 기원전 200년경에 제기한 것으로, 평면에 주어진 세 개의 원에 접하는 원이 몇 개나 되는지 묻는 문제였다. 일반적으로 아폴로니우스의 문제의 해는 그러한 원이 여덟 개 있다는 것이다.^[37]

수학의 계수 문제는 종종 다항식의 소멸에 의해 정의되는 대수적 다양체라는 기하학적 대상의 클래스와 관련된다. 예를 들어, 클레브쉬 3차 곡면은 네 변수에 대한 특정 3차 차수의 다항식을 사용하여 정의된다. 19세기 수학자 아서 케일리와 조지 샐먼의 유명한 결과에 따르면 그러한 표면 위에 완전히 놓여있는 직선이 정확히 27개 존재한다.^[38]

이 문제를 일반화하여, 위의 그림과 같이 5차 다항식으로 정의된 5차 칼라비-야우 다양체에서 몇 개의 선을 그릴 수 있는지 물을 수 있다. 이 문제는 19세기 독일 수학자 헤르만 슈베르트에 의해 해결되었으며, 그는 그러한 선이 정확히 2,875개 존재한다는 것을 발견했다. 1986년, 기하학자 셸던 카츠는 2차 다항식으로 정의되고 5차 곡면 안에 완전히 놓여있는 원과 같은 곡선의 수가 609,250개라는 것을 증명했다.^[37]

1991년까지 계수 기하학의 대부분의 고전적인 문제가 해결되었고, 계수 기하학에 대한 관심은 줄어들기 시작했다. 수학자 마크 그로스에 따르면, "오래된 문제가 해결되면서 사람들은 슈베르트의 수를 현대적인 기술로 다시 확인했지만, 이는 상당히 지루해지고 있었다."^[39] 1991년 5월, 물리학자 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파크스가 거울 대칭을 사용하여 5차 칼라비-야우 상의 3차 곡선의 수를 셀 수 있음을 보여주면서 이 분야는 다시 활기를 띠게 되었다. 칸델라스와 그의 연구자들은 이러한 6차원 칼라비-야우 다양체가 정확히 317,206,375개의 3차 곡선을 포함할 수 있다는 것을 발견했다.^[39]

칸델라스와 그의 연구자들은 5차 3차원 다양체에서 3차 곡선의 수를 세는 것 외에도, 수학자들이 얻은 결과를 훨씬 뛰어넘는 유리 곡선의 수를 세는 더 일반적인 결과를 얻었다.^[40]

위상 끈 이론의 A-모델에서 물리적으로 흥미로운 양들은 계산하기 매우 어려운 그로모프-위튼 불변량으로 표현되지만, B-모델에서는 고전적인 적분으로 계산이 가능하여 훨씬 쉽다.^[41] 거울 대칭을 적용하면 A-모델의 어려운 계산을 B-모델의 더 쉬운 계산으로 변환할 수 있다.

거울 대칭은 양자장론의 측면, 특히 게이지 이론을 이해하는 데에도 사용된다. 기본 입자를 설명하는 표준 모형에는 포함되지 않지만, 이론적인 이유로 중요한 일부 게이지 이론은 특이한 배경에서 전파되는 끈에서 발생한다. 이러한 이론에서 거울 대칭은 유용한 계산 도구이다.^[43]

7. 1. 수리 기하학

거울 대칭은 수리 기하학의 문제, 특히 기하학적 질문의 해답 수를 세는 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 칼라비-야우 다양체에 있는 유리 곡선의 수를 세는 문제가 있다.

수리 기하학의 가장 초창기 문제 중 하나는 고대 그리스 수학자 아폴로니우스가 기원전 200년경에 제기한 것으로, 평면에 주어진 세 개의 원에 접하는 원이 몇 개나 되는지 묻는 문제였다. 일반적으로 아폴로니우스의 문제의 해는 그러한 원이 여덟 개 있다는 것이다.^[37]

수학의 계수 문제는 종종 다항식의 소멸에 의해 정의되는 대수적 다양체라는 기하학적 대상의 클래스와 관련된다. 예를 들어, 클레브쉬 3차 곡면은 네 변수에 대한 특정 3차 차수의 다항식을 사용하여 정의된다. 19세기 수학자 아서 케일리와 조지 샐먼의 유명한 결과에 따르면 그러한 표면 위에 완전히 놓여있는 직선이 정확히 27개 존재한다.^[38]

이 문제를 일반화하여, 위에 그림과 같이 5차 다항식으로 정의된 5차 칼라비-야우 다양체에서 몇 개의 선을 그릴 수 있는지 물을 수 있다. 이 문제는 19세기 독일 수학자 헤르만 슈베르트에 의해 해결되었으며, 그는 그러한 선이 정확히 2,875개 존재한다는 것을 발견했다. 1986년, 기하학자 셸던 카츠는 2차 다항식으로 정의되고 5차 곡면 안에 완전히 놓여있는 원과 같은 곡선의 수가 609,250개라는 것을 증명했다.^[37]

1991년까지 계수 기하학의 대부분의 고전적인 문제가 해결되었고, 계수 기하학에 대한 관심은 줄어들기 시작했다. 수학자 마크 그로스에 따르면, "오래된 문제가 해결되면서 사람들은 슈베르트의 수를 현대적인 기술로 다시 확인했지만, 이는 상당히 지루해지고 있었다."^[39] 1991년 5월, 물리학자 필립 칸델라스, 제니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파크스가 거울 대칭을 사용하여 5차 칼라비-야우 상의 3차 곡선의 수를 셀 수 있음을 보여주면서 이 분야는 다시 활기를 띠게 되었다. 칸델라스와 그의 연구자들은 이러한 6차원 칼라비-야우 다양체가 정확히 317,206,375개의 3차 곡선을 포함할 수 있다는 것을 발견했다.^[39]

5차 3차원 다양체에서 3차 곡선의 수를 세는 것 외에도, 칸델라스와 그의 연구자들은 수학자들이 얻은 결과를 훨씬 뛰어넘는 유리 곡선의 수를 세는 더 일반적인 결과를 얻었다.^[40] 이 작업에 사용된 방법은 물리적 직관에 기반했지만, 수학자들은 거울 대칭의 예측 중 일부를 엄밀하게 증명하기 시작했다. 특히, 거울 대칭의 계수적 예측은 이제 엄밀하게 증명되었다.^[34]

7. 2. 이론 물리학

거울 대칭은 끈 이론에서 계산을 수행하는 기본적인 도구이다. 위상 끈 이론의 A-모델에서 물리적으로 흥미로운 양들은 계산하기 매우 어려운 그로모프-위튼 불변량으로 표현되지만, B-모델에서는 고전적인 적분으로 계산이 가능하여 훨씬 쉽다.^[41] 거울 대칭을 적용하면 A-모델의 어려운 계산을 B-모델의 더 쉬운 계산으로 변환할 수 있다. 이러한 계산은 끈 이론에서 다양한 물리적 과정의 확률을 결정하는 데 사용된다. 거울 대칭은 다른 이중성과 결합하여 한 이론의 계산을 다른 이론의 동등한 계산으로 변환할 수 있으며, 이를 통해 이중성을 사용하지 않고는 계산할 수 없는 양을 계산할 수 있다.^[42]

거울 대칭은 양자장론의 측면, 특히 게이지 이론을 이해하는 데에도 사용된다. 기본 입자를 설명하는 표준 모형에는 포함되지 않지만, 이론적인 이유로 중요한 일부 게이지 이론은 특이한 배경에서 전파되는 끈에서 발생한다. 이러한 이론에서 거울 대칭은 유용한 계산 도구이다.^[43] 네이선 세이버그와 에드워드 위튼의 연구에서, 거울 대칭은 도널드슨 불변량과 관련된 4차원 시공간의 게이지 이론 계산에 사용되었다.^[44] 또한, 3차원 시공간에서 양자장 이론 쌍을 관련시키는 3D 거울 대칭도 존재한다.^[45]

참조

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